专题强化练4 直线系方程及其应用

专题强化练4直线系方程及其应用1.(2022广东佛山顺德期中)直线l:(k+1)x+2ky+3k-1=0经过定点A,则A的纵坐标为()A.-2B.-1C.1D.22.(2022江苏南京鼓楼月考)两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=()A.89C.133.(2022福建福州八县(市)协作校期中)已知直线mx-ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为13A.4,3B.-4,3C.-4,-3D.4,-34.(2022江西南昌湾里一中六校期中联考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与2x+y-5=0垂直的直线方程是()A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=05.(2021福建厦门一中月考)设m∈R,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,直线l1与l2相交于点P(异于点A,B),则△PAB周长的最大值为()A.2+2C.2+16.(2022北京房山月考)直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线l的方程为.

7.(2022甘肃金昌永昌第一高级中学期中)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,则l2的方程为.

8.(2022四川成都外国语学校期中)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,使得:(1)l'与l平行,且过点(-1,3);(2)l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4.9.(2021山西怀仁一中月考)已知直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0.(1)求证:无论m为何实数,直线l恒过一定点M;(2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.10.(2021上海建平中学期中)直线l过点P(3,2)且与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点.(1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积;(2)若△AOB的面积S满足12≤S<754(3)如图,若点P分向量AB所成的比的值为2,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点的坐标.

答案全解全析1.A直线l:(k+1)x+2ky+3k-1=0可化为k(x+2y+3)+x-1=0.由x+2y∴直线l过定点A(1,-2).∴A的纵坐标为-2.故选A.名师指点直线系是指具有某种共同属性的一类直线的集合,它的方程称为直线系方程.几种常见的直线系方程:(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但不包括x=x0.(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(A,B不同时为0,λ≠C).(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(A,B不同时为0).(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但不包括l2.2.C直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2).(2a-1)x+5ay-1=0可化为a(2x+5y)-x-1=0,由2x+5y=0,所以|AB|=(-1-03.B设与直线4x+3y+5=0平行的直线方程为4x+3y+t=0(t≠5),即y=-43x-t3(t≠5).令-t34.D解法一:由x+y∴两直线的交点为(1,2).易知直线2x+y-5=0的斜率为-2,∴所求直线的斜率为12∴所求直线的方程为y-2=12解法二:设要求的直线方程为(x+y-3)+λ(2x-y)=0,即(1+2λ)x+(1-λ)y-3=0.∵该直线与直线2x+y-5=0垂直,∴2(1+2λ)+1×(1-λ)=0,解得λ=-1.∴所求直线方程为-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.故选D.5.D直线l1:x+my-1=0过定点A(1,0).直线l2:mx-y-2m+3=0,即m(x-2)=y-3,∴l2过定点B(2,3).由于1·m+m·(-1)=0,∴l1⊥l2,又P是直线l1,l2的交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4.易知2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2,∴|PA|+|PB|≤2×4=22,当且仅当|PA|=|PB|=2时取等号,∴△PAB周长的最大值为2+22.故选D.6.答案17x+17y+12=0或17x-17y-8=0解析设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0.∵直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线l的斜率为±1.∴2+3m=±(3-4m),解得m=17∴直线l的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.7.答案x+y-3=0解析因为直线l2平行于直线l1,所以设直线l2的方程为x+y-b=0,b>1,则B(b,0),C(0,b),A(1,0),D(0,1),所以S梯形ABCD=S△OBC-S△OAD=12b2-12=4,解得b=±3,又b>1,故b=3,故直线l8.解析(1)设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),由点(-1,3)在l'上,知-3+12+m=0,解得m=-9.∴直线l'的方程为3x+4y-9=0.(2)设l'的方程为4x-3y+λ=0.令y=0,得x=-λ4;令x=0,得y=λ∴三角形的面积S=12·-λ4·λ3=4,即λ∴直线l'的方程是4x-3y±46=0.9.解析(1)证明:直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0可化为(x-y+2)+m(2x+y+7)=0.由x-y故无论m为何实数,直线l恒过点M(-3,-1).(2)当直线l1的斜率不存在或等于零时,显然不合题意.当直线l1的斜率存在且不为零时,设直线l1的方程为y=k(x+3)-1,k≠0.设直线l1与y轴,x轴的交点分别为A,B,令x=0,则y=3k-1;令y=0,则x=1k∴A(0,3k-1),B1k∵夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,∴点M为线段AB的中点,即3k-1故直线l1的方程为y=-1310.解析(1)由题意可得直线l的方程为y-2=-2(x-3),即y=-2x+8.令x=0,可得y=8;令y=0,可得x=4.故△AOB的面积为12(2)设直线l的斜率为k(k<0),则直线l的方程为y-2=k(x-3).令x=0,则y=2-3k;令y=0,则x=3-2k故S=12(2-3k)3-2由12≤S<754,得12≤-(3k-2)2所以k的取值范围是-8(3)因为点P分向量AB所成的比的值为2,所以AP=2PB.设A(a,0),B(0,b),又P(3,2),则