第二章 直线和圆的方程

第二章直线和圆的方程(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-3y-1=0的倾斜角α=()A.30°B.60°C.120°D.150°2.已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P(1,-1),若过点P的圆的切线有两条,则实数k的取值范围是()A.(-2,+∞)B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于()A.14B.34C.14或45D.34或144.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若l1∥l2,则实数a=()A.-1或1B.0或1C.1D.-15.已知a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则2aA.2B.4C.8D.96.直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为()A.67.台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动,台风中心30km内的地区为危险地区,若城市B在A地正东40km处,则城市B处于危险区内的时间为()A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.下列说法错误的是()A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为yD.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=010.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,下列结论中正确的是()A.圆O与圆C有四条公切线B.过点C(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5和x-y+1=0C.过点C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0D.P,Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为13+3,最小值为13-311.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l和直线l1的距离与和直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为()A.2x+3y-8=0B.4x+6y+5=0C.2x+3y-5=0D.12x+18y-13=012.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0,则()A.无法判断直线l与圆C的位置关系B.当k=1时,圆C上的点到直线l的距离的最大值为2+2C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,k=0D.如果直线l与圆C相交于M,N两点,则MN的中点的轨迹是一个圆三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0),B(-4,0)两点,则圆C的方程为.

14.在平面直角坐标系中,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.

15.若曲线C1:y=2+-x2-2x与曲线C16.已知点P(0,2),圆O:x2+y2=16上两点M(x1,y1),N(x2,y2),且MP=λPN(λ∈R),则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l过点P(-1,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程;(2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,求△AOB面积的最小值.18.(12分)等腰直角△ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在直线的方程为x+2y-8=0.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB的中点D的坐标.19.(12分)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处,以O为坐标原点,正东方向为x轴正方向,1千米为单位长度建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?20.(12分)在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明:y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.22.(12分)在平面直角坐标系中,直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以原点O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程;(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.

答案全解全析1.A直线x-3y-1=0的斜率k=33.由斜率和倾斜角的关系可得tanα=32.C因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆,所以4+4-4k>0,解得k<2.因为点P在圆外,所以1+1+2-2+k>0,解得k>-2.故-2<k<2,故选C.3.D设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=50-由题意得两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.因为|C1C2|=42+32=5,所以5=1+解得a=34或a=14.故选D.4.D当a=0时,l2的斜率不存在,l1的斜率为0,此时l1⊥l2,不符合题意;当a≠0时,由l1∥l2可得a1=1a≠5.C因为l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1.因为a>0,b>0,所以2a+1b=2a+1b(a+2b)=2+2+4ba+ab≥4+24ba6.D圆M的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆M的圆心为(2,3),半径r=13-k.圆心(2,3)到直线l的距离d=|2由d2+|AB|22=r7.B以A为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则B(40,0).以B为圆心,30为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302.因为过点A且方向为东北方向的直线方程为y=x,所以圆心B到直线y=x的距离为|40-0|12+(-1)2=2028.A依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y9.ACD当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时满足直线互相垂直,故A中说法错误;易知直线的斜率k=-sinα,则-1≤k≤1,即-1≤tanθ≤1,∴θ∈0,π4∪3π4,π,故B中说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y10.AD设圆O的半径为r1,圆C的半径为r2.易得O(0,0),C(2,3),r1=2,r2=1.圆心距|OC|=13>r1+r2=3,所以两圆外离,有四条公切线,故A中结论正确;当直线在两坐标轴上的截距均为0时,直线方程为3x-2y=0;当直线在两坐标轴上的截距相等且均不为0时,设直线方程为xa+ya=1,又点C(2,3)在直线上,所以2a+3a=1,解得a=5,故直线方程为x+y-5=0,故B中结论不正确;易知点C(2,3)在圆O的外部,所以过点C且与圆O相切的直线有两条,故C中结论不正确;|PQ|的最大值为|OC|+r1+r2=13+3,最小值为|OC|-r1-r故选AD.11.BD直线l1的方程可化为4x+6y-2=0.设l的方程为4x+6y+c=0(c≠-2且c≠-9).由题意得|c-(-2)|412.BCD由x2+y2-6x-8y+21=0,得(x-3)2+(y-4)2=4,所以圆心为C(3,4),半径为2.直线l的方程可化为y-3=k(x-4),则直线l过定点(4,3).因为点(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交,故A中说法错误.k=1时,直线l的方程为x-y-1=0,则圆心C(3,4)到直线l的距离为|3-4-1当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,圆心C(3,4)到直线l的距离为1,即|3易知直线l过定点(4,3),记其为A,设MN的中点为P,则PC⊥PA,故点P的轨迹是以AC为直径的圆,故D中说法正确.故选BCD.13.答案(x+3)2+(y-2)2=5解析线段AB的中垂线方程为x=-3.由x=-故圆心C(-3,2).由两点间的距离公式得半径为|AC|=5.∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.14.答案(2,4)解析如图,取平面直角坐标系中任一点P,则P到A,B,C,D的距离之和为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=(|PB|+|PD|)+(|PA|+|PC|)≥|BD|+|AC|,故AC与BD的交点Q即为使所求距离之和最小的点.易得直线AC的方程为y=2x,直线BD的方程为x+y-6=0.由y=2x,15.答案-解析由y=2+-x2-2x得(x+1)2+(y-2)2由(y-2)(y-kx+k)=0得y=2或y=kx-k.显然直线y=2与曲线C1有两个交点,交点为半圆的两个端点,∴直线y=kx-k=k(x-1)与半圆有2个除端点外的交点.易知直线y=k(x-1)恒过点(1,0).当直线y=k(x-1)经过点(0,2)时,k=20-1=-2;当直线y=k(x-1)与半圆相切时,|2+2k|1+k216.答案48解析∵MP=λPN(λ∈R),∴P,M,N三点共线.又∵圆O:x2+y2=16过点M(x1,y1),N(x2,y2),∴M,N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点.|3x1设线段MN的中点坐标为(x0,y0),则2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,∴|3x1+4y∵M,N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点,∴x12+y12=16,x22+由斜率公式可得y1-y2x1-x2=y0-∴(x0,y0)到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为|4+25|5∵|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|=5|3∴(|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|)min=5×2×24517.解析(1)由题意得直线l的斜率存在且不为0.(1分)设直线l的方程为y-2=k(x+1)(k≠0),即kx-y+2+k=0,则它在两坐标轴上的截距分别为-1-2k由题意得-1-2k∴直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0.(5分)(2)结合(1)不妨设A-2∴△AOB的面积S=12-2k-1·|k+2|=故△AOB面积的最小值为4.(10分)18.解析(1)顶点C到斜边AB所在直线的距离d=|0+2×(-1)-8所以|AB|=2d=45.(4分)故△ABC的面积S=12×|AB|×d=12×45×2(2)连接CD.由题意知CD⊥AB,又kAB=-12,所以kCD所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0.(10分)由x+2y-19.解析(1)易知O(0,0),A(40,40),B(20,0).(1分)设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则F=0,4所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.(5分)(2)有.理由如下:船D初始位置的坐标为(-20,-203),且该船航线所在直线的斜率为1,(7分)所以船D的航线所在直线的方程为x-y+20-203=0.(8分)由(1)可得圆C的圆心为(10,30),半径为1010.(9分)圆心C到直线的距离d=|10-30+20-20故该船有触礁的危险.(12分)20.解析(1)由题意可知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d=|-3k-化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724所以直线l的方程为y=0或y=-724(2)设P(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k'(x-m),y-n=-1k'(x-m),即k'x-y+n-k'm=0,-1k因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即|-3k'-化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n+8)k'=m+n-5.(9分