1.1.1 空间向量及其线性运算

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算基础过关练题组一空间向量的基本概念1.(2022重庆开州中学月考)下列说法正确的是()A.若两个空间向量相等,则表示它们的有向线段的起点相同,终点也相同B.若向量AB,CD满足|AB|>|CD|,且AB与CD同向,则ABC.空间四边形ABCD中,AB,CD为相反向量D.同一条直线上的单位向量不一定相等2.(多选)(2022广东佛山三中质检)下列说法不正确的是()A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面C.若两个非零空间向量AB,CD满足AB+CD=0,则ABD.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb3.(2022湖南长沙周南中学月考)如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是()A.AD与CBC.AC与DB题组二空间向量的加法与减法运算4.(2022山东济宁邹城二中月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量B1①A1D1-A1A-AB;②BC③AD-AB1+DD1;④B1A.①②B.②③C.③④D.①④5.(2022湖北武汉华中科技大学附属中学月考)已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是()A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形6.(2022北京十三中期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,则|CC1-BD7.(2022广东佛山顺德一中期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1题组三空间向量的数乘运算8.(2022广东广州执信中学期中)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设AB=a,AD=b,AA1=c,则A.-12C.129.(2021山东泰安一中月考)如图,在三棱锥O-ABC中,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=()A.12C.12题组四空间向量共线、共面问题10.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D11.(多选)(2020广东广州二中月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是()A.OP=OA+OB+OCB.OPC.OP=-PAD.PA=2PB+PC12.(2021北京人大附中段考)在四面体ABCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足AP=xAB+yAC,AQ=sAB+tAC+uAD,若xy=A.AQ与DP所在直线是异面直线B.AQ与DP所在直线平行C.线段AQ与DP必相交D.线段AQ与DP延长后相交13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+j-2k,c=7i+j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于.

14.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,请判断EF与AD+15.(2022海南师大附中月考)如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=13B1(1)求证:A,E,C1,F四点共面;(2)若EF=xAB+yAD+zAA

答案全解全析基础过关练1.D两个空间向量相等,则其模相等且方向相同,与表示它们的有向线段的起点和终点的位置无关,故A中说法错误;向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,故B中说法错误;空间四边形ABCD中,AB,CD不共线,模也不一定相等,故C中说法错误;同一条直线上的单位向量的模相等,但方向相同或相反,故不一定相等,故D中说法正确.2.ABD若b=0,则a与b共线,b与c共线,但a与c不一定共线,故A中说法错误;共面向量是平行于同一平面的向量,但它们所在的直线不一定共面,故B中说法错误;因为AB+CD=0,所以AB=-CD,所以AB与CD共线,所以AB∥CD,故C中说法正确;若b=0,a≠0,则不存在λ,使a=λb,故D中说法错误.故选ABD.3.D因为AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形.结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,AD=BC,OA=CO,DO=OB.故选D.4.CA1D1-A1A-AB=ABC+BB1-D1C1=BC+CC1-DAD-AB1+DD1=B1B1D1-AA1+DD1=B5.B由已知可得AB=DC.由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形.无法判断其是不是矩形.故选B.6.答案5解析|CC1-BD1|=|BB1-BD1|=|7.答案b-a-c解析如图,连接CA1,则A1B=CB-CA1=CB-8.B由题意知M为AC的中点,∴MC1=MC+CC1=12(AB+AD)+CC1=12AB+12AD9.A连接OM,ON,则MN=ON-OM=12(OA+OB)-(OC+CM)=12(OA+-OC-13CB=12(OA+OB)-OC-13(OB-OC)=12OA+16OB-小题巧解本题可应用如下结论:如图,在△ABC中,D为BC上一点,若BDDC=mn,则AD=mm连接OM,ON,则MN=ON-OM=12(OA+OB)-13OB+-23OC=12a+110.A因为BC+CD=BD=2a+4b=2(a+2b)=2AB,所以A,B,D三点共线.11.BD若点P,A,B,C满足PA=mPB+nPC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.故选BD.12.C若x=s=0,则AP=yAC,AQ=tAC+uAD,所以AQ=tyAP+uAD,所以A,P,D,Q四点共面;若x≠0,s≠0,则由xy=st得sx=ty,令sx=t13.答案6解析若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,∴2i-j+3k=x(-i+j-2k)+y(7i+j+λk),∴2=-x14.解析共线.理由如下:取AC的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AB,CD的中点,∴GF=12AD,EG=∴EF=