3.2.1 双曲线及其标准方程

.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程基础过关练题组一双曲线的定义及其应用1.(2022广东汕头金山中学月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是()A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支2.设θ∈3π4,πA.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆3.双曲线x2-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=3,则|PFA.5B.1C.3D.1或54.已知双曲线x24-y2A.3或7B.6或14C.3D.75.设F1,F2为双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PFA.1B.56.(2022甘肃庆阳期末)已知双曲线x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F题组二双曲线的标准方程7.已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于2,则该双曲线的标准方程为()A.x2C.x2-y215=18.(2022河北张家口四中期中)已知双曲线的一个焦点为F1(-5,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是()A.x2C.x29.已知方程x2A.(-1,1)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)10.求经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)的双曲线的标准方程.11.已知某双曲线与双曲线x216-12.已知双曲线C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点A在C上,且关于原点O的对称点为B,|AB|=|F1F2|,四边形AF1BF2的面积为6,求双曲线C的标准方程.题组三双曲线的综合运用13.(2022浙江金华期中)已知△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),其内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是()A.x2C.x214.(2022江西南昌一模)许多建筑融入了数学元素后更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=2010米,上底面直径CD=202米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为()图1图2A.10米B.20米C.103米D.105米15.已知某双曲线与椭圆x2能力提升练题组一双曲线的定义及其应用1.(2022北京丰台月考)已知F1,F2为双曲线x24-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PFA.22.(2022江西宜春月考)已知方程x2A.(0,3)B.(0,3)C.(-1,3)D.(-1,3)3.(2021广东东莞期末)已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,直线l分别与以F1为圆心,|FA.27B.6C.8D.104.(2022山西怀仁期末)已知F1,F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点,A,B是过点F题组二双曲线的标准方程及其应用5.已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),P是双曲线上一点,且PF1·PF6.(2022重庆育才中学月考)数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与(x-a)2题组三双曲线的综合运用7.(2022四川成都外国语学校期中)已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线CA.6B.8C.10D.128.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品,现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.

答案全解全析基础过关练1.A因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.方法总结已知定点M,N及动点P,||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线;||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.2.C因为θ∈3π4,π,所以-cosθ>sinθ>0,所以关于x,y的方程x3.A依题意得,a=1,b=3,因此c=10.因为|PF1|=3∈(c-a,a+c),所以点P在双曲线的左支上,因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故选A.易错警示已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|<c-a,则点P不存在;若c-a≤|PF1|<c+a,则点P只能在左支上;若|PF1|≥c+a,则点P既能在左支上,又能在右支上.4.A连接PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF25.A由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=4,易知|F1F2|=25,∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,∴|PF1|·|PF2|=2,则△F1PF2的面积是12|PF1|·|PF26.答案9解析因为点P在双曲线x24-y212=1的右支上,所以|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=|PF又Q(1,4),F2(4,0),所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+4=9,当且仅当Q,P,F2三点共线时取“=”.故|PQ|+|PF1|的最小值为9.7.C由题意设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).易得c=4,a=1,所以b2=c2-a8.B设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),易知c=5,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),F1(-5,0),所以点P的坐标为(5,4).将(9.A由题意得(1+k)(1-k)>0,所以(k-1)(k+1)<0,所以-1<k<1.故选A.10.解析设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则9m+28故双曲线的标准方程为y225-11.解析由双曲线x216-y2设所求双曲线的标准方程为x2a2∵所求双曲线与双曲线x216-y29=1共焦点,∴b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为∵点-5∴-522化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-y212.解析设双曲线C的标准方程为x2a2-y2b所以四边形AF1BF2为平行四边形,又因为|AB|=|F1F2|,所以平行四边形AF1BF2为矩形.因为四边形AF1BF2的面积为6,所以|AF1||AF2|=6,又因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=16,||AF1|-|AF2||=2a,所以4a2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=16-12=4,解得a2=1,所以b2=c2-a2=3.故双曲线C的标准方程为x2-y213.C如图,设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义,所求轨迹是双曲线的右支,除去点(3,0),方程为x29-14.B取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.易知D(102,20),B(1010,-60).设双曲线的标准方程为x2a2-y2b15.解析由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),且a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得此交点的坐标为(15,4)或(-由a2+b2=9,16能力提升练1.D不妨设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y).易得c=5,a=2,b=1.∵点P在双曲线上,∴x-y=4.①∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=20.②由①②得xy=2,∴S△F1设△F1PF2斜边上的高为h,则12·2c·h=5解得h=55,故点P到x轴的距离为52.D因为双曲线两焦点间的距离为4,所以c=2.当焦点在x轴上时,方程x2m2+n+y2n-3m2=1可化为因为x2m2+n-y2解得-1<n<3,故n的取值范围是(-1,3).当焦点在y轴上时,方程x2m2+n+y2n-3m2=1可化为综上,n的取值范围是(-1,3).故选D.3.B依题意得a=4,b=3,c=a2不妨设点P在双曲线的右支上,如图所示.过F2作F2D⊥AF1于点D.易得四边形ABF2D为矩形.∵|AF1|=|PF1|,|BF2|=|PF2|,∴|F1D|=|AF1|-|AD|=|AF1|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.又∵|F1F2|=2c=10,∴在Rt△F1DF2中,|F2D|=|F1F∴|AB|=|F2D|=6.4.答案26解析由题意得|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,即|AF2|+|BF2|-|AB|=16.因为|AB|=5,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.5.答案x24-y解析由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且|F1F2|=2c=25.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4a2.由PF1·PF2=0知PF∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.又|PF1|·|PF2|=2,∴a2=4,∴b2=c2-a2=1,∴该双曲线的标准方程为x24-y6.答案x=±2解析由|x2+4x+5-得|(x+2)平面内与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设双曲线的方程为x2a2由题意得a=1,b=22-1所以双曲线的方程是x2-y2令y=1,解得x=±237.C不妨设C1:x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF易知点F1,F2恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径均为1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.故选C.8.信息提取①沿道路PA,PB运送药品到矩形灾民区ABCD中去;②PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°;③界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.数学建模以救援员运送救灾药品距离最短为背景建立双曲线模型.设M为界线上的任意一点.由|PA|+|MA|=|PB|+|MB|得|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,确定点M在以A,B为焦点的双曲线的右支上,利用双曲线的定义确定其方程.解析灾民区ABCD中的点可分为三