《余弦定理》课件

第6章平面向量及其应用6.4.3第1课时余弦定理千岛湖

CBA110.8°700m1338m创设情境

量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.已知：边AB、AC和角Ａ(两条边、一个夹角)求边BC创设情境千岛湖

已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？CBAabc

已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？勾股定理你能利用向量证明勾股定理吗？即证建立数学模型特殊化在ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,∵AC=AB+BC∴|AC|=|AB+BC||AC|=|AB+BC|22

∴|AC|2=

AB+2AB•BC+BC2222=|AB|+2|AB|•|BC|cos（180-B）+|BC|0小组合作探究余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCCBAabc

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。建构数学如何将上述符号语言转化为文字语言？应用一：已知两边及其夹角求第三边变形：注意:余弦定理适用任何三角形.应用二：已知三条边求三个角．

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC余弦定理建构数学本题已知条件和问题分别是什么？数学应用例1.开头引例千岛湖

应用一：已知两边及其夹角求第三边

量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.数学应用例1:答案:1.7;2.90°;3.7.变式训练

在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状思考：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角三角形应用二：判断三角形的形状题型二余弦定理的应用数学应用思路分析数学应用应用：1.已知两边及其夹角求第三边２.已知三条边求三个角3.判断三角形的形状回顾小结余弦定理变形：思想与方法（1）化归转化，方程思想，数形结合．（2）利用余弦定理实现边角关系的相互转化是解题关键.回顾小结123456789101112131415161718192021A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=(

)A.1 B.2 C.4 D.6C解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).1234567891011121314151617181920212.[探究点二]若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则

的值为(

)A.19 B.14 C.-18 D.-19D1234567891011121314151617181920213.(多选题)[探究点一]在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(

)A.1 B.2 C.3 D.4ACD123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021B1234567891011121314151617181920216.[探究点三]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB,则△ABC的形状是

.

等腰三角形∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形.1234567891011121314151617181920217.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=a,则cosA=

.

1234567891011121314151617181920218.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3b,则cosB的最小值是

.

1234567891011121314151617181920219.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则此三角形的最大边长为

.

14解析

已知a-b=4,则a>b且a=b+4.又a+c=2b,则b+4+c=2b,所以b=c+4,则b>c,从而知a>b>c,所以a为最大边,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14,即此三角形的最大边长为14.123456789101112131415161718192021(1)b的值;(2)角A的大小.123456789101112131415161718192021利用c2=a2+b2-2abcos

C,整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),故b=5.123456789101112131415161718192021B级关键能力提升练AC解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A,∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,∴b=2或b=4.经检验,b=2与b=4均符合题意.123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形C12345678910111213141516171819202114.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是(

)A12345678910111213141516171819202115.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于(

)A.60° B.45°或135°C.120° D.30°B解析

∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,12345678910111213141516171819202116.(多选题)在钝角△ABC中,若c=8,A=,则边a的值可能为(

)A.7 B.9 C.12 D.16AD12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202117.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则A=

,AC边上的高为

.

12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202119.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.1234567891011121314151617181