6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知平面向量，，若，则实数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.2．已知向量，，满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为向量，，，所以，则，解得（正值舍去）.故选：A.3．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．12【答案】C【解析】∵(a+2b)·(a−3b)=−72，∴|4．在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增所以故,故选：A5.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】四边形是边长为2的菱形，，可得，则，故选:A.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列说法错误的是（）A.若(a⋅b)c=a(b⋅c)

B.若a⋅b=b⋅c，且b≠0，则a=【答案】ABD【解析】对于选项A，(a⋅b)c表示与向量c共线的向量，a(b⋅c)表示与向量a共线的向量，故A错误；

对于选项B，若a⋅b=b⋅c，且b≠0，则有b⋅a−c=0，此时可能有b⊥a−c

或a=c

两种情况，故B错误；

对于选项C，在△ABC中，由|7.下列说法错误的是(

)A.若a//b，b//c，则a//c

B.在C.若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb

D.已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb【解析】对于选项A：两个向量ab，如果b=0，则a//b，b//c，则a,c不一定为共线向量，故A错误；

对于选项B：在△ABC中，过点B作BD⊥AC于D，

由BC⋅CA=CA⋅AB，可得，

即，即CD=DA，

则△ABC为等腰三角形，故B正确．

对于选项C：若a//b，则a=λb

，如果a=b=0，则实数λ不唯一，故C错误；

对于选项D：已知a=1,2，b=1,1，且a与a+λb的夹角为锐角，

可得a·a+λb>0，即a2+λa·b8．下列说法中正确的是(

)A.已知a=(1,2)，b=(1,1)且a与a+λb夹角为锐角，B.若a与b平行，a在b方向上的投影为|aC.已知a=(2,−3)，b=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底

D.若非零a，b【答案】ABC【解析】对于选项A,∵a=(1,2),b=(1,1),a与a+λb的夹角为锐角，

∴a·(a+λb)=(1,2)·(1+λ,2+λ)

=1+λ+4+2λ=3λ+5>0，

且λ≠0(λ=0时a与a+λb的夹角为0)，

所以λ>−53且λ≠0，故A正确对于选项C.∵向量a=(2,−3)=4b，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，C正确；

对于选项D.因为|a|=|a−b|，两边平方得，|b|2=2a·b，

则a·a+b=|a|2+三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知向量，，，其中，且，，则_________【答案】【解析】设，由，则，因为，则，，故，，故.故答案为：-210．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为__________;的值为__________.【答案】,【解析】，，，，即，又，则，，，，则，故答案为：．11．若均为单位向量，且，则的取值范围为______________【答案】【解析】∵均为单位向量，，∴，∴，即，，∴的取值范围为，故选:C.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在中，底边上的中线，若动点满足.（1）求的最大值；（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.【答案】（1）8；（2）-5.【解析】（1）且三点共线，又在线段上为的中点，设，则，，当时，取最大值（2）为等腰三角形，且为底边的中线以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系由（1）可得，又，则13．已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，eq\r(3))，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈R.(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；(2)当θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，若存在两个不同的θ，使得|a＋eq\r(3)b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．【答案】（1）eq\r(7)；（2）eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，\f(2＋\r(3),2))).【解析】(1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝eq\r(7).(2)由|a＋eq\r(3)b|＝|ma|，得|a＋eq\r(3)b|2＝|ma|2.即|a|2＋2eq\r(3)a·b＋3|b|2＝m2|a|2，即4＋2eq\r(3)a·b＋3＝4m2，7＋2eq\r(3)(cosθ＋eq\r(3)sinθ)＝4m2.所以4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝4m2－7.由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得θ＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))∈[6，4eq\r(3))，即6≤4m2－7＜4eq\r(3)，即eq\f(13,4)≤m2＜eq\f(7＋4\r(3),4)，又m＞0，所以eq\f(\r(13),2)≤m＜eq\f(2＋\r(3),2).即实数m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，\f(2＋\r(3),2))).14．已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且OP=λPB,点Q是边AB上一点,且OQ·AP=0.(1)求实数λ的值与点P的坐标;(2)求点Q的坐标;(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求RO·(RA+RB)的取值范围.【答案】(1)-74,(14,-7);（2）(4,3)；（3）【解析】(1)设P(14,y),则OP=(14,y),PB=(-8,-3-y),由OP=λPB,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-74∴点P的坐标为(14,-7).(2)设Q(a,b),则OQ=(a,b),由(1)得AP=(12,-16),∵OQ·AP=0,∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①∵点Q在边AB上,∴AQ∥AB,又AB=(4,-12),AQ=(a-2,b-9),∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②联立①②,解得a=4,b=3,∴Q点坐标为(4,3).(3)由(2)得OQ=(4,3),∵R为线段OQ上的一个动点,∴设OR=tOQ=(4t,3t),且0≤t≤1,则R(4t,3t),RO=(-4t,-3t),RA=(2-4t,9-3t),RB=(6-4t,-3-3t),∴RA+RB=(8-8t,6-6t),∴RO·(RA+RB)=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50t-122-252故RO·(RA+RB)的取值范围为-25A级必备知识基础练1.[探究点一(角度2)]在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则AD·BD等于(A.4 B.-4 C.2 D.-22.[探究点一(角度1)·2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=()A.-5 B.-3 C.3 D.53.[探究点一(角度2)]在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是(A.[2,14] B.[0,12]C.[0,6] D.[2,8]4.[探究点三]设向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3).若b⊥c,则a-b与c的夹角为()A.0° B.30° C.60° D.90°5.[探究点二]设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.

6.[探究点二]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.

7.[探究点二、三]设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=,cosθ=.

8.[探究点二、三]已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.9.[探究点三]已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为()A.-23 B.C.3±132 11.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是()A.若a∥b,则t的值为-1B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2C.|a+b|的最小值为1D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2)12.已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点,若AB=2,∠BAD=60°,则AB·DE=(A.-2 B.-12 C.-72 13.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为()A.3 B.5 C.7 D.814.(多选题)如图,4×6的方格纸中有一个向量OA(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有()A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA是相反向量的共有11个B.满足|OA−OB|=10的格点C.满足OA·OB=1的格点D.存在格点B,C,使得OA15.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=.

16.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为.

17.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且c与a方向相反,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ18.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由C级学科素养创新练19.已知向量a,b满足|a|=5,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.20.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sinx,cosx),x∈0,(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值参考答案1.A如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC−AB=(1,2),BD故AD·BD=(1,2)·(0,2)=0+4=2.B∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.3.A如图,A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0≤x≤23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范围是4.D根据题意,设a-b与c的夹角为θ,b=(x,-3),c=(1,-3),b⊥c,则b·c=x+33=0,解得x=-33,则b=(-33,-3),a-b=(43,4),则(a-b)·c=(43,4)·(1,-3)=43-43=0,所以(a-b)⊥c.因为θ∈[0°,180°],所以θ=90°.故选D.5.5因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=226.-2(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.7.21设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),∴2x-3=-1,2y-3=-1,解得x8.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.综上,|a-b|=2或25.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).9.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴AB=(1,1),AD=(-3,3).又AB·AD=1×(-3)+1×3∴AB⊥AD,∴AB(2)解∵AB⊥AD,四边形ABCD为矩形,∴设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).又AB=(1,1),∴x+1=1,∴点C的坐标为(0,5).∴AC=(-2,4),BD=(-4,2),∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+8=16.设AC与BD的夹角为θ,则cosθ=AC10.ABC∵AB=(2,3),AC=(1,k),∴BC=AC−AB=(-若A=90°,则AB·AC=2×1+3×k=0,∴k=-若B=90°,则AB·BC=2×(-1)+3(k-3)=0,∴k=若C=90°,则AC·BC=1×(-1)+k(k-3)∴k=3±13故所求k的值为-2311.D选项A中,若a∥b,则-2×t=1×1,即t=-12,选项A正确选项B中,若|a+b|=|a-b|,两边平方并化简,得a·b=0,即-2+t=0,即t=2,选项B正确.选项C中,|a+b|=|(-1,1+t)|=(t+1)2+1,当t=-1时,有最小值选项D中,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0,-2×t12.B如图,以点O为坐标原点,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由AB=2,∠BAD=60°,得A(0,3),B(-1,0),D(1,0),E0,32,所以AB=(-1,-3),DE=-1,32,所以AB·DE=1-32=-12.故选13.B如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5,故|PA+3PB|的最小值为5.14.BCD对于A,分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与OA是相反向量的共有18个,故A错误;以O为原点建立平面直角坐标系,则A(1,2),设B(m,n)(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z).对于B,若|OA−OB|=10,则(1-m)2+(2-n)2=10(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(0,-1),(2,-1),(-2,1),共三个,故B对于C,若OA·OB=1,则m+2n=1(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2),共4个,故C对于D,根据向量加法的平行四边形法则可知,当B,C的坐标满足B(1,0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)时,OA=OB+OC成立,故D正确15.12,32设b=(x∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y∵a·b=3x+y=3,∴x2+[3(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=12,∴y1=0,y2=3∵当b=(1,