6.4.3 第2课时 正弦定理（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4.3第二课时正弦定理(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在△ABC中，，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为,所以，故选：C.2．在中，若则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选：D.3．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以由正弦定理可得，则，故选：A.4．设在中，若，且，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定【答案】C【解析】，根据，“角化边”可得：，，即：，是等腰直角三角形,故选：C.5.在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于，且将三角形的面积分成两部分，则A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为的平分线，由角平分线的性质定理可得，而，可得，在中，由正弦定理可得，又，可得，所以，可得，故选：．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A>B，则下列说法正确的是()A.sinA>sinB B.cosA<cosBC.sinA>cosB D.sinB>cosA【答案】ABCD【解析】A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A成立.函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cosA<cosB，故B成立.在锐角三角形中，∵A＋B>eq\f(π,2)，∴A>eq\f(π,2)－B，函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，则有sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，即sinA>cosB，C成立，同理sinB>cosA，故D成立.故选：ABCD7.在中，已知，给出下列结论中正确结论是（）A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．一定是钝三角形C．D．若，则的面积是【答案】BC【解析】可设的周长为，则由，可得，，，又，则，，，故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；由正弦定理，故C正确；由，则，得，故，由，得，的面积是，故D错.故选：BC8．对于，有如下命题，其中正确的有（）A．若，则为等腰三角形B．若，则为直角三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则的面积为或【答案】CD【解析】对于A：，或，或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B:，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；对于C：，，由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；对于D:，，，，又，或，或，或，故D正确.故选：CD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B等于________．【答案】45°【解析】由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2).又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°.故答案为:45°10．在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．【答案】，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，，，所以..故答案为:，11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有两解，则x的取值范围是______.【答案】(2，2eq\r(2))【解析】因为△ABC有两解，所以asinB<b<a，即xsin45°<2<x，所以2<x<2eq\r(2),故答案为:(2，2eq\r(2))四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.【答案】5eq\r(6);5eq\r(2).【解析】∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)，∴R＝5eq\r(2).13．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，则又因为是锐角，故；（2）由余弦定理，得，所以又因为，所以则．14．设的内角、、所对的边分别为、、，且，。(1)求角；(2)若，求。【答案】（1）；（2）10.【解析】(1)在中，，，则两式相除得，又由正弦定理得，即，又，则；(2)由(1)知，则，又，则，又∵，∴，解得，∴。A级必备知识基础练1.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=45°,C=60°,b=2,则c等于()A.32 B.3 C.2 D.2.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=3,A=π4,则B=(A.π6 B.C.π6或53.[探究点四]在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A.35 B.±C.-35 D.±4.[探究点二]在△ABC中,若3asinB=c-bcosA,则B=()A.π6 B.C.π3或25.[探究点二]在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则此三角形(A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定6.[探究点三]在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形7.[探究点一]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于.

8.[探究点一]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=9.[探究点二、四]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=37(1)求sinC的值;(2)当a=7时,求△ABC的面积.B级关键能力提升练10.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D,A=2π3,AC=23,CD=32,则BC=(A.33 B.4C.42 D.611.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+A.833 C.2633 12.在△ABC中,若sinC=2sinBcosB,且B∈π6,π4,则cbA.(2,3) B.(C.(0,2) D.(2,2)13.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sinB=sin2A,S△ABC是△ABC的面积,则()A.sinB=429 B.cosC.c=3 D.S△ABC=2214.在△ABC中,B=π4,BC边上的高AD等于13BC,且AD=1,则AC=,sin∠BAC=15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=14a,2sinB=3sinC,△ABC的面积为3154,则cosA=,16.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B.(1)求角C的大小;(2)若b=1,c=7,求cos(B-C)的值.C级学科素养创新练19.(多选题)锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是()A.sinA>sinB B.cosA<cosBC.sinA>cosB D.sinB>cosA20.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.(1)求sinB(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长参考答案1.B在△ABC中,∵B=45°,C=60°,b=2,∴由正弦定理bsinB=csinC,得2sin45°2.D在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,因为a=2,b=3,A=π4,所以bsinA<a<b又0<B<π,所以B=π3或B=2π3.3.B由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=4.A因为3asinB=c-bcosA,由正弦定理得3sinAsinB=sinC-sinBcosA.因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以3sinAsinB=sinAcosB.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以tanB=33,而B为三角形的内角,故B=π6.故选5.B在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则bsinA=12×12=6,可得bsinA<a<b,可得此三角形有两解.故选6.B由已知,得asinA=b=bsinB,所以sinB=1,所以B=90°,故7.63由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=c8.2113在△ABC中,由cosA=45,cosC=513,可得sinA=35,sinsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365又a=1,故由正弦定理得b=asin9.解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sinC=c(2)因为a=7,所以c=37×7=3由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍)所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=10.D在△ACD中,根据正弦定理得sin∠ADC=AC·因为∠ADC<A,所以∠ADC=π4所以∠ACD=π-2π所以∠ACB=π6,则∠B=π6,所以AB=AC=2在△ABC中,由余弦定理得BC2=(23)2+(23)2-2×23×23×-12=36,所以BC=6.故选D.11.B由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得a+b+csin12.A由正弦定理及已知得cb=sinCsinB=2sinBcosBsinB=2cosB.又π6<B<π4,余弦函数在此范围内是减函数,13.ACD因为sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,即b=2acosA.又a=3,b=2,所以cosA=13,sinA=223,sin又b<a,所以cosB=79cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=13=cosA,所以c=a=3S△ABC=12bcsinA=12×2×3×223=2214.531010如图,由AD=1,B=π又AD=13BC=BD,∴BC=3,DC=2,AC=1由正弦定理知,sin∠BAC=BC·15.-144在△ABC中,∵2sinB=3sinC∴2b=3c,又b-c=14a,∴a=2c,b=3∴由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=9c24+又△ABC的面积为315∴12bcsinA=3154,即12×32c×c×154=16.解由已知,得a2·sinBcosB=b2·sinAcosA.又由正弦定理,得sin2A·sinBcosB=sin所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.17.解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b,即a2+b2-c2=2ab.由余弦定理,得cosC=a2∵C∈(0,π),∴C=π4∴S=12absinC=12×2RsinA·2RsinB=2R2sinAsinB=2R2sinA2=R2(sinAcosA+sin2A)=R21=R222∵A∈0,3π4,∴∴sin2A-π4∈-∴△ABC面积的最大值为2+12R18.解(1)由(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B化简