辽宁名校联盟2026届高三5月联考数学+答案

7.双曲、右焦点分别为F₁,F₂,以F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线在

高三数学试卷第一象限的交点为M,O为坐标原点，F₂N⊥OM,垂足为N,若|MN|=√2,且F₂N·F₂O=6,则双曲

线的离心率为

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

A.√3B.√6C.2D.2√2

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。8.定义在[0,+∞]上的函数f(x)满足：若函数g(x)=f(x)一

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

有且仅有3个零点，则实数的取值范围是

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上a(x+1)a

无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

A.1na<0B.2“+2≥2√2

要求的。

C.√a+√b≤√2

1.已知全集U=R,A={x|log₂x<2},则CA=

10.已知复数z1,2,z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,且点A,B,C连接后构成三角形，则下列

A.(0,4)B.(一∞,4)C.(4,+∞)D.[一∞,0]U[4,+∞)

结论正确的是

2.已知直线a,b与平面α,β,y,能使a⊥β的充分条件是

A.若复数z1,之2,z3满足|z₁—z2|=|z3-z2|,则△ABC是一个等腰三角形

A.a⊥γ,β⊥γB.a∩β=a,b⊥a,bCβB.若复数z满足|z—z1|=2|z-z2|,则z在复平面内对应的点的轨迹是以AB为直径的圆

若复数满足|则在复平面内对应的点为△的内心

C.a//β,a//aD.a//α,a⊥βC.zz—z₁|=|z—z₂|=|z-z₃|,zABC

D.若复数z满足,则z在复平面内对应的点为△ABC的重心

3.已知,则sin2α=

11.已知椭圆,其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率为e,过左焦点F₁的直线与

C交于A,B两点，若点A在x轴上方，且AF₁·AF₂=0,则下列说法正确的是

4.某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1,2,3

三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有

C.若点A在第一象限，则D.若E为C的下顶点，则|AE|≥2b

A.30种B.90种C.150种D.180种

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

5.已知随机变量X～N(2,σ²),且P(X<-2)=0.1,P(0≤X≤4)=0.5,则P(4<X≤6)=

12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为

A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25

13.函数f(x)=lnx+a与函数g(x)=x²+b在公共点处切线相同，则b—a=

6.设f(n)=3+3³+3⁵+3⁷+…+32n+1(n∈N*),则f(n)=

14.已知在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2A+cos2B=2cos2C,则

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(3)已知抽取的100份试卷的平均分为x=78,方差为s²=129,求人工批阅试卷的样本平均分x₂

15.(13分)

和方差s2,并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异.,则认

已知数列{an}的前n项和为S„,满足2a=2+S,公差大于零的等差数列{b}满足b₁=a₁-1,az

为b₂与b₈的等比中项.为二者有差异，否则不认为有明显差异)

(1)求数列{a,}和{b}的通项公式；频率/组距

(2)设为数列{的前项和，求T·

cn=(-1)”(a+b),T,cn}n₂₀0.040

0.030

0.010

0.005

050708090100分数/分

18.(17分)

16.(15分)

已知抛物线T:x²=2py(p>0)的焦点F到直线l:x-y-4=0的距离为3√2.

已知函数f(x)=x²+2cosx.

(1)求抛物线T的方程；

(1)证明：f(x)在[0,+∞]上单调递增；

(2)点A(2√p,2)为抛物线I上的一点，在T上任取一点B(与点A不重合),直线AB与直线l交

(2)设函数g(x)=e²(cosx-sinx+2x—2)-af(x)(a∈R),若x=0为g(x)的极小值点，求实

于点C,过点C作x轴的垂线交抛物线I于点D.

数a的取值范围.

(i)求证：直线BD恒过定点E,并求出点E的坐标；

(ii)过点B和D分别作抛物线I的两条切线l₁和l2,l₁和l2交于点G,证明：∠BFG=∠DFG.

19.(17分)

如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC的中点，将△ADE沿着DE翻

折，使点A到点P处，得到四棱锥P-BCED.

(1)设平面PDE∩平面PBC=l,证明：l//平面DBCE;

(2)当PB⊥PC时，求平面PDE与平面PDB的夹角的余弦值；

17.(15分)

(3)若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积

为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%PBCEDBCEDP-BCED

由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅.阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅

2√2),求直线AP被四棱锥P-BCED外接球球O截得的弦长L的取值范围.

的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图.

(1)估计AI批阅试卷的平均分x₁和方差s²(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(2)为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批.若抽到试

卷分数低于70分，则复批的概率为80%;若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概

率为30%;若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%.若某同学试卷被复批，求AI批

阅该同学试卷高于90分的概率；

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高三·数学·

参考答案及解析

一、选择题

以√a+√b≤√2,当且仅当时取等，C项正确；

1.D【解析】A=(0,4)→CvA=(-∞,0)U[4,+∞).故

选D项.

2.D【解析】a与β位置关系不确定，可有夹角，可平行，

且仅当a=√2-1,b=2-√2时取等，D项错误.故选

A项不合题意；α与β不一定垂直，B项不合题意；α与β

ABC项.

可以平行，不一定垂直，C项不合题意；a//a,则在平面α

10.AD【解析】A项，由|z1-z2|=|z3—z2|,知AB=

内存在直线l//a,且a⊥β,则l⊥β,又ICa,则a⊥β,D项

BC,故△ABC为等腰三角形，A项正确；B项，设复数z

符合题意.故选D项.

在复平面内对应的点为P,故PA=2PB,A,B两点显

3.A【解析】由,得然不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的

圆，B项错误；C项，设复数z在复平面内对应的点为

P,则PA=PB=PC,因此点P为△ABC的外心，C项

错误；D项，设A(x₁,y₁),B(x2,y2),C(x₃,y₃),设复数

.故选A项.

z在复平面内对应的点为点P,则

4.C【解析】由已知可得5个人分三个班，每班至少1

人，则不同分配方式共有种.故选,所以点P为△ABC的重心，D项正确.

C项.故选AD项.

5.B【解析】P(4<X≤6)=P(-2≤X<0)=P(X≤2)

11.ACD【解析】AF₁·AF₂=0→S△

,所以cyA=b²→yA=

0.15.故选B项.

6.B【解析】

.故选B项.正确；S△AOB>S△2,B项错误；若

点A在第一象限，则|AF₁I>|BF₁|,设∠AF₁F₂=θ∈

7.C【解析】由题意M(a,b),|OM|=c,F₂N⊥OM于

N→|F₂N|=b,|ON|=a,所以|MN|=c-a,即c-a=

√2①a²=6

②,由①②知c=2√2,a=√2,则

8.A【解析】令h(x)=a(x+1),则h(x)恒过定点(-1,,由点A在第一象限知a<|AF₁|<a+c→

0),将f(x)和h(x)的大致图象画在同一直角坐标系，

有3个零点等价于与图象有个交点，

g(x)f(x)h(x)3,设

设A(-1,0),,由图可知，a∈

,所以

(kAB,kAc),即a.故选A项.

项正确；由A项知,所以x²=

二、选择题

9.ABC【解析】由题意可知a∈(0,1),所以lna<0,A

项正确；24+2⁶=2+2¹-“≥2√2*2¹-a=2√2,当且仅

时取等，B项正确；,所

·1·

·数学·参考答案及解析

设等差数列{b,}的公差为d(d>0),

则

(6分)

所以bₙ=n.(8分)

以|AE|≥2b,D项正确.故选ACD项.(2)当n=2k(k=1,2,…)时，

三、填空题Cn-1+cn=(a—an-1)+(bₙ—bₙ-1)=2”-¹+1,(11分)

12.【解析】设a与b的夹角为α,则a·(a+b)=|a|²

+|a||b|cosa=1+2cosa=0,则,则α(13分)

16.(1)证明：f'(x)=2x—2sinx(x≥0),令h(x)=f'(x)

(x≥0),则h'(x)=2(1—cosx)≥0,

13.)【解析】设f(x)与g(x)的公共点为所以h(x)在[0,+∞]上单调递增，(3分)

所以f(x)≥f(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调

(xo,yo),则在公共点处切线方程为

递增.(5分)

Inxo+a=2x。(x-xo)+x²+b,根据两条直线斜率相等(2)解：g'(x)=e(2x—2sinx)-a(2x-2sinx)=2(x

可解得,b—a=1nxo—sinx)(e—a),

由(1)知当x≥0时，f(x)≥0,即x-sinx≥0,

又∈且所以为奇函数，

【解析】cos2A+cos2B=2cos2C,由二xR,f(-x)=-f(x),f'(x)

其图象关于(0,0)对称，

倍角公式得sin²A+sin²B=2sin²C,由正弦定理得a²

所以当x<0时，f'(x)<0,即x-sinx<0.(7分)

①若a≤0,则eᵗ—a>0,所以当x<0时，g'(x)<0,当

x≥0时，g'(x)≥0,

.sinBcsinAsinBsinA=所以g(x)在(一∞,0)上单调递减，在[0,+∞]上单调

递增，所以x=0为g(x)的极小值点.(9分)

②若0<a<1,当Ina<x<0时，g'(x)<0,

若c=1,则a²+b²=2,由余弦定当x≥0时，g'(x)≥0,

所以g(x)在(Ina,0)上单调递减，在[0,+∞]上单调

递增，

理知,又S-absinC=

所以x=0为g(x)的极小值点.(11分)

③若a=1,则x-sinx与e²-a同号，所以g'(x)≥0,

所以g(x)在(一∞,十∞)上单调递增，无极值点，不合

,又因为△是锐角三角

ABC题意.(13分)

④若a>1,当x<0时，g′(x)>0,当0≤x<Ina时，

形，则有解,且a²+b²=

g'(x)≤0,

2c²,所以,故所以g(x)在(一∞,0)上单调递增，在(0,Ina)上单调

递减，

四、解答题所以x=0为函数g(x)的极大值点，不合题意.

15.解：(1)当n≥2时，S„=2a,-2,S,-1=2aπ-1-2,

综上，实数a的取值范围为(一∞,1).(15分)

所以分)

am=S,-S,-1=2aπ—2aₙ-1→a=2an-1,(217.解：(1)由频率分布直方图可得，90～100分的频率/组

当n=1时，a₁=S₁→a₁=2≠0,

所以an=2”.(4分)

·2·

高三·数学·

=0.015,(1分)

(ii)证明：对求导，得,所以直线L₁

所以平均分x₁=55×0.005×10+65×0.010×10+75

的斜率为2所以直线l:y—8t²=2t(x—8t),

×0.030×10+85×0.040×10+95×0.015×10=80,t₁,₁₁₁

即y=2t₁x-8t²,同理l₂:y=2t₂x—8t2,

(3分)

联立得G(4(t₁+t₂),8t₁t2).(13分)

方差s²=(55-80)²×0.005×10+(65-80)²×0.010

又因为F(0,2),

×10+(75—80)²×0.030×10+(85—80)²×0.040×

则FG·FB=4(t₁+t₂)·8t₁+(8t₁t₂—2)·(8t²—2)

10+(95-80)²×0.015×10=105.(5分)

=16t²+16t₁t₂+64t³t₂+4

(2)设“该同学得分低于70分”为事件A,该同学得

₁“=(4t₁t₂+1)(4+16t²),(15分)

分在70分到90分之间”为事件A₂,“该同学得分高于

所以

90分”为事件A₃,“该同学试卷被复批”为事件B.

由频率分布直方图得P(A₁)=0.15,P(A₂)=0.7,

同理

P(A₃)=0.15,

所求概率为P(A₃|B)所以cos∠BFG=cos∠DFG,

所以∠BFG=∠DFG.(17分)

19.(1)证明：因为AD=DB,AE=EC,所以DE//BC,

又平面所以平面PBC.

(9分)DECPBC,DE//

又平面PDE∩平面PBC=1,DEC平面PDE,所以

(3)x=0.6x₁+0.4x₂=78,解得x₂=75,(11分)

DE//1,IC平面DBCE,所以L//平面DBCE.(4分)

一一

s²=0.6[s²+(z₁x)²]+0.4[s2+(π2z)²]=129,(2)解：取BC中点N,连AN∩DE=M,则M为DE的

解得s2=150.(13分)中点，在平面APN内，过M作Mz⊥AN,

等边△ABC中，BN=NC→AN⊥BC,又DE//BC,所

,故不认为AI

以AN⊥DE,所以AM⊥DE,MP⊥DE,

阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异.(15分)

所以D⊥平面APN,又MzC平面APN,所以

⊥又⊥平面所以两两

18.(1)解：因为到直线l:x-y-4=0的距离为DEMz,MzABC,Mz,AN,DE

垂直，以M为坐标原点，直线MN,ME,Mz分别为x,

y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

(2分)

所以p=4,所以抛物线T的方程为x²=8y.(3分)

(2)(i)解：易知A(4,2),设B(8t₁,8t²),D(8t2,8t),

即

(5分)

设∠AMP=0(0<θ<π),

与y=x-4联立得

A(一√3,0,0),N(√3,0,0),E(0,1,0),D(0,—1,0),

直线BD:y—8t²=(t₁+t2)(x—8t₁),

B(√3,-2,0),C√3,2,0),P(一√3cosθ,0,√3sinθ),

即直线BD的方程为y=(t₁+t₂)x—8t₁t2,((5分)

则PB=(√3+√3cosθ,-2,一√3sinθ),PC=(√3+

又,即,即2t₁t₂=(t₁+t₂)一

√3cosθ,2,一√3sinθ),则PB⊥PCePB·PC=0→

1,(7分)

所以直线BD:y=(2t₁t₂+1)x-8t₁t2,即2t₁t₂(x-4),所以,所以

+(x-y)=0,

,DB=(√3,—1,0),DE=(0,2,

令即所以恒过E(4,4).(10分)

0).(6分)

·3·

·数学·参考答案及解析

设平面PDB的法向量为n₁=(x,y,≈),

令y=√3,得n2=在等腰梯形DECB中，,BC=4,DE=2,ND=

NB=NE=NC=2→N为等腰梯形DECB外接圆圆

(1,√3,一√2).(8分)

心，设球O的半径为R,球心O√3,0,h),

设平面PDE的法向量为n2=(x1,y₁,z1),则

(14分)

令z1=1,得n2=

又因为PA=(√3cosθ—√3,0,一√3sinθ),PO=(√3cosθ

+√3,0,h—√3sinθ),

(-2√2,0,1).(10分)

所以

所以平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为

(16分)

(11分)

(3)解：因为点P在平面BCED内的射影在四边形

BCED内部，所以

所以(17分)

·4·

高三数学多维度细目表

学科素养能力要求预估难度

数

学

运分析

逻数数直接受、探

算问题

辑学学观吸收、究

题号题型分值考查的内容及知识点和解档系

与整合次数

推抽建想决数能

数数学

理象模象学问力