2025-2026学年河南湘豫联盟高三下册四月阶段检测数学试题【附答案】

/河南湘豫联盟2025-2026学年高三下学期四月阶段检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={y|y=A.⌀ B.{1} C.{0,1} D.{−1,0,1}2.已知复数z=3+4i5，则复数A.0 B.65 C.85 3.已知椭圆C：x2a2+y2bA.14 B.24 C.14.如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点B的坐标为−1,3，另一个前尖端点C、尾突点A均在格点上，则OB−OC与OA的夹角的余弦值为(

)

A.−35 B.−45 C.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“m=4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=Asin(ωxA.π8 B.π4 C.3π7.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//A.30∘ B.45∘ C.8.设f(x)是定义在(0,+∞)上的不恒为0的函数，且满足：①∀x，y∈(0,+∞)，fxyf(A.f(1)=2 B.∀x∈(0,+∞)，f(x)>0

C.f(x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试(单位：秒)，作业时长分别服从正态分布X∼N42,62A.E2X=42 B.D2Y=6410.记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2A.a3=15 B.数列{bn−10}为等比数列

C.a11.已知圆C1：x2+y2=4，双曲线C2：xy=4，经过原点O的直线与C1交于点P，与C2交于点Q.设点R是直线PQA.曲线C的方程为(x2+y2)3=16x2y2(xy>0)

B.C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正数a，b，c均不等于1，且logba=2，logcb13.tanα+1tanα−23的展开式中不含14.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E1为B1C1的中点，从除E1外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某地区教育主管部门为调查当地中小学教师的年龄结构，从当地所有中小学教师中随机抽取100名，整理数据得到下表：

年龄(岁)学段20,3030,4040,5050,60小学122053初中121085高中8872(1)试估计该地区教师年龄的第80百分位数；(2)已知小学、初中、高中教师中骨干教师分别占各学段的25%，20%，16%.若从这100名教师中，任意抽取一位，求这位教师为骨干教师的概率．16.(本小题15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4(1)证明：c−(2)设D为BC的中点，且AD=6，求17.(本小题15分)如图，在圆锥SO中，A，B，C，D为底面圆周上的四个点，且四边形ABCD为正方形，P为母线SC的中点，在线段PD上取一点M，过M和SA作一平面与线段OD交于点N．(1)证明：SA//(2)设SO=2，AB=22，若平面SMNA与平面DMN夹角的余弦值为18.(本小题17分)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，E上的点T到(1)求E的标准方程．(2)设G，H是x轴上在坐标原点O异侧的两点，G1，H1分别为线段OG，OH的中点，过点G，H且与y轴平行的两直线分别与E交于点A，(i)证明：直线AG1，(ii)若直线AG1，BH1交于点P，过点F且垂直于y轴的直线与OA，OB分别交于点M，N，点F在▵19.(本小题17分)已知函数fx(1)若∀x∈0,1(2)若函数Fx=fx(i)求(ii)证明：x1答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.A

6.B

7.C

8.D

9.BCD

10.ABD

11.AC

12.6

13.−20

14.170；215.解：(1)0.8×100=80.因为20,30中的人数为32，30,40中的人数为38，40,50中的人数为20，所以32+38=70<80，32+38+20=90>80，所以教师年龄的第80百分位数应在区间40,50内．区间20,40中的人数的频率为70100区间20,50中的人数的频率为90100所以估计该地区教师年龄的第80百分位数约为40+10×0.8−0.7(2)设事件A=“抽取的教师为骨干教师”，B1=“抽取的教师来自小学”，B而小学、初中、高中教师数分别为40，35，25，所占比例分别为40100=25，所以PB1=25又PAB1=25%，所以P=2

16.解：(1)由已知及正弦定理，得sinB(cosC+2)=sinC(2−cosB)，

即sinBcosC+sinCcosB=2sinC−2sinB.

因为sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

所以sinA=2sinC−2sinB.

由正弦定理及a=4，得2c−2b=4，即c−b=2．

(2)由(1)，得17.解：(1)如图，连接OA，OB，OC.因为四边形ABCD为正方形，O为底面圆的圆心，

所以OA=OB=OC=OD，从而O是对角线AC与BD的交点．

连接PO，则PO是△SAC的中位线，所以PO//SA．

又PO⊂平面POD，SA⊄平面POD，所以SA/​/平面POD．

又SA⊂平面SMNA，平面POD∩平面SMNA=MN，

所以SA//MN．

(2)以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，

则A(2,0,0)，D(0,−2,0)，S(0,0,2)，C(−2,0,0)，P(−1,0,1)．

设N(0,t,0)(t<0)，则SA=(2,0,−2)，AN=(−2,t,0)．

设平面SMNA的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅SA=0,m18.解：(1)根据抛物线的定义得TF=4设T的纵坐标为aa>0，则a+所以T±3p,4−p2所以E的标准方程为x2(2)(i)证明：设Ax1,y1，则G所以直线AG1的方程为y−0=由Ax1,y1联立方程y=2y所以Δ=−2x12−16y1设Bx2,y2，同理可得直线BH1的方程为y故直线AG1，BH(ii)因为直线MN的方程为y=1，直线OA的方程为y同理Nx2y所以线段MN的中点的坐标为2x设直线OP与MN交于点Q，由y=2y1x从而y=2y所以直线OP的方程为x=2x1+所以Q为线段MN的中点，故直线OP平分线段MN．

19.解：(1)方法一：已知对∀∈0,1,ln设函数gx=1对g(x)再令函数φx=x所以φx在0,1上单调递减，从而φx≥所以gx在0,1上单调递增，从而g(x故k的取值范围为12方法二：由fx+kx≥12所以“k≥12接下来证明：当k≥12时，不等式ln因为x>0，且k≥12，所以只需证明lnx+1设函数h(则h'(x所以h(x)在0,1上单调递减，其最小值为所以h(x)≥0对∀x结合之前的放缩lnx+kx≥(2)(i)Fx=当a≤0时，F'x>0，所以所以Fx当a>0时，令F'x=0，得x=55a；令所以Fx在0,55所以x=55a是且F(要使Fx有两个零点，首先，必有F(x此时55a<e−15从而Fx在5又Fa=ln则h'a=1a−从而∀a∈0,又a∈0,1又a<55所以Fx在a,55a综上所述，Fx在0,+∞上有两个零点，故a的取值范围为0,(ii)方法一：由(i由Fxi=0i=1,2令xi5=由(1)，当k=12时，∀由0<t15即−5整理，得t1由0<5at设函数mt=t2+由0<a<1所以Δ=(10a又−10aln5所以方程mt=0有两个正实数根，分别记为则有t3<t由根与系数的关系，得t1+t所以t1故x15+方法二：