2025-2026学年湖北武汉二中高一下册数学4月周练（二）试题【附答案】

/武汉二中2028届高一下数学周练(二)试卷(A)一、单选题1.在复平面内,复数z1对应的点与复数z2=21A.−1+iB.−1−i2.在△ABC中,已知a=13,bA.12B.22C.23.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,BA.两解B.一解C.无解D.无穷多解4.已知复数z满足zz2=11A.1−2iB.1+5.已知平面内两个不共线的向量a和b,a=2b=2，且a和b的夹角为π3，若a+bA.−∞,−12B.−126.设O是△ABC的外心，点P满足OA+OB+OC=OP，则PA.内心B.任意一点C.垂心D.重心7.在非直角□ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c，若asinA+bsinB−csinCA.34B.13C.18.已知锐角□ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+bc，若cosA.0,2B.1,3二、多选题9.已知非零复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A.当z1+z2B.当z1+z2C.若z1+z2=z1+D.若z1+1=10.在□ABC中，角A,B,C所对的边分别为A.若a2+c2−bB.若□ABC为锐角三角形,则C.若sin2A=sin2BD.若c=2acosB11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为A.若ab≥c2B.若ac=4,2a−cC.若a2+b2D.若C>π2三、填空题12.在平行四边形ABCD中,A,B,C三点对应的复数分别是1+313.在□ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c14.平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，四、解答题15.计算:(1)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(2)−1(3)−216.已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c，向量(1)求角A；(2)若a=2，求b17.如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=(1)若∠ADB=π6,C(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos18.如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30∘相距6+2海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45∘的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船19.人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理:n∈N∗次复系数多项式方程fx=0至少有一个复数根,且在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.比如:(1)写出方程x4−(2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成ω0=cos0+isin0ω(i)根据上述探究,请你猜想并证明1的5次方根;提示:若z1=cosθ1(ii)求cos2−nπ2n⋅cos4武汉二中2028届高一下数学周练(二)试卷(A)答案题号1234567891011答案CABADCDCACBDAC1.因为z2=21+i=21−i1+i1−i=1−i,故复数z2在复平面内所对应的点的坐标为1,−1,因为在复平面内,复数z2.在□ABC中,已知a由余弦定理得:cosA=43.∵a∴9∵0<33当120∘<C<180∘则C只有一个解,故此三角形只有一个解.4.由复数的运算性质,可得z2=z⋅z所以1z=11−5.a⋅向量a+b与2kb−a夹角为钝角，则数量积小于展开:2ka⋅b−再排除共线或反向的情况:若两向量共线反向,则a+b1由于a,b不共线,则系数必为0,即1+λ=0⇒λ=−1,代入1−2kλ6.由题可得OA+由于O是△ABC的外心，设D为线段AB故OA+OB=2OD且OD所以CP⊥AB,同理BP⊥AC,AP⊥BC,故7.由已知asin根据正弦定理得a2则cosC∵□ABC为非直角三角形,∴cos又∵S∴12b⋅2∵C∴sinC∴cosC=28.由余弦定理可得a2=b2+由正弦定理可得sin=sinA因为□ABC为锐角三角形,则0<A<π又因为函数y=sinx在−π2,π2内单调递增,所以,由于□ABC为锐角三角形,则0<A<π20<BcosC因为π3<2B<π2，则0<cos2B<12，因为9.对A,z1+z2=z1−z2对B,取z1=1,z2=i,则对C,z1+z2=z1+z2即OZ1+OZ2=OZ1+OZ2,两边平方可得OZ1⋅OZ2=OZ110.对于A,若a2+c2−b2>0不能判定□ABC为锐角三角形，故A对于B,若□ABC为锐角三角形,则A+B>π所以sinA>sinπ2−B对于C,因为sin2所以2A=2B或2A+2B=所以□ABC是等腰三角形或直角三角形,故C对于D,因为c=2acosB即sinA+B=2因为A,B∈0,π,所以所以□ABC是等腰三角形,故D正确.故选:BD11.对于A,因为ab≥c2,所以当且仅当a=b故当a=b=c时,cosC=对于B,根据余弦定理的推论有2a−c=2整理得a2+c2−b2=ac故△ABC的面积为12对于C,由正弦定理和余弦定理的推论得cosC所以tanC=sin2对于D,若C>π2,则a2+b2<c2,则2次复系数多项式方程fx=0至少有一个复数根,且在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.比如:(1)写出方程x4−(2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成ω0=cos0+isin0ω(i)根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示:若z1=cosθ1+isinθ(ii)求cos2−nπ2n⋅cos4−nπ2(3)原式=i16.【正确答案】1(1)∵m=a,3由正弦定理asinA=bsinB代入上式得sinA−∴tanA=3,又(2)在△ABC中，a=2，由正弦定理得asin∴b又A+∴=2∵B∴4即b+c的取值范围为17.【正确答案】17(1)在△ABD中,∵∴BD在△BCD中,由正弦定理得,BC∴sin∠BDC∵BC∴cos∠BDC(2)在△ABD、BDBD从而4cosA由S△ABD4sin22+222∴cosA18.【正确答案】(1)两船相距、3海里.(2)巡逻艇应该北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船.(1)由题意知,当走私船发现了巡逻艇时,走私船在D处,巡逻艇在C处,此时BD=由题意知∠BAC=90∘−30∘=由余弦定理得B=6+22在□ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=所以sin∠ABC=22,∴∠ABC=45又∠CBD=180∘−45∘−由余弦定理得CD故当走私船发现了巡逻艇时,两船相距3海里.(2)当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船,则CE=32t,DE=3t,CD=3,在△BCD中,由正弦定理得:CDsin∠CBD=BDsin∠BCD=BCsin∠BDC(150°舍)∠故巡逻艇应该北偏东75∘19.【正确答案】(1)x=1,i(1)由题意有