自控原理课件-第三章线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法3-1基本概念3-2一阶系统的时域分析3-3二阶系统的时域分析3-4高阶系统的时域分析3-5线性系统的稳定性分析3-6线性系统稳态误差计算1对于线性系统，常用的分析方法有三种：时域分析方法；根轨迹法；频率特性法。引言

时域分析方法，是一种直接分析方法，具有直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。2

时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。

Input(Typical)ControlSystem(DifferentialEquation)LaplaceTransform

OutputResponseStabilityTheoremAccuracyessTransientResponseSpecification33-1基本概念系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；典型输入信号的选取：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得；典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号。一、典型输入信号41、阶跃函数A为常数，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。表达式：拉氏变换：)(0ttr-：称为延迟t0时刻阶跃函数52、斜坡函数（速度函数）拉氏变换：A为常数，A=1的斜坡函数称为单位斜坡函数。表达式：6A为常数，A=1的加速度函数称为单位等加速度函数。3、加速度函数表达式：拉氏变换：74、脉冲函数表达式：拉氏变换：且R=1时称为单位脉冲函数。记为理想脉冲：îíì==¥¹=ò¥¥-Rdt)t(f)t(f且

0

t0

t085、正弦函数表达式：

分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。正弦函数主要用来求取频率响应。9典型输入信号汇总表

单位阶跃函数r(t)=l(t),t≥0R(s)=1/s单位斜坡函数r(t)=t,t≥0R(s)=1/s2tr(t)单位加速度函数r(t)=1/2t2,

t≥0R(s)=

1/s3tr(t)单位脉冲函数r(t)=δ(t),t=0R(s)=1tr(t)tr(t)正弦函数r(t)=AsinωtR(s)=Aω/(s2+ω2)tr(t)信号名称时域表达式复域表达式关系曲线10对于线性定常系统，输入为：，输出为：用微分方程描述如下：二、动态过程和稳态过程11

为的极点。为的极点。系统的输出：时间响应：动态过程—从初始态到接近稳态的响应。稳态过程—t趋于无穷大时的输出状态。由微分方程可以得到传递函数12如果和是互异的，那么系统的零状态响应为：其中第一项为系统零状态响应的暂态分量，第二项为系统零状态响应的稳态分量。系统的时域性能指标可以从零状态响应中求取。131动态过程：系统从刚加入信号到系统输出量达到稳定值之前的响应过程。也称过渡过程、暂态过程、暂态响应)

2稳态过程：当t→∞时的系统输出，称为稳态过程，又称静态过程。它表征系统输出最终复现输入量的程度，用稳态性能描述。收敛过程等幅振荡过程发散过程很明显：一个可实际运行的系统，其动态过程应为衰减的。或说：应该是稳定的。14一个系统的响应均由动态过程和稳态过程组成。（响应过程=动态响应+稳态响应）可分别表示：响应速度、阻尼等情况和系统输出量复现输入能力。（稳态误差信息）它们用动态性能、静态性能表征。15三、性能指标1.动态性能：又称为暂态性能，通常在阶跃函数作用下定义。实际中：阶跃信号被认为是一种最严峻信号。且假设：外界信号作用前，系统是静止。（输出量及其各导数均为零）16第一次达到其终值一半所需的时间。

上升时间tr：振荡——第一次上升到终值所需时间；非振荡——从终值10%上升到终值90%所需的时间。峰值时间tp：超过其终值到达第一个峰值所需的最短时间。调节时间ts：到达并保持在终值±2%（±

5%）内所需的最短时间。th(t)hs0.5hshmaxtdtrtptsth(t)hs0.1hs0.9hstr稳态误差ess±2%或±5%稳态误差ess±2%或±5%ts0.5hstd延迟时间td：17若h(tp)<h(∞)（即无振荡响应）,响应无超调，Mp（σ

%）=0实际中，常用tr,tp,ts和Mp

（σ%）tr，tp——评价系统的响应速度；Mp（σ%）——评价系统的阻尼程度；值越小、响应快、性能好ts——评价速度和阻尼程度的综合指标。超调量Mp（σ%）：响应的最大偏离量

h(tp)

与终值h(∞)之差的百分比，即：余差ess±2%或±5%th(t)hs0.5hshmaxtdtrtpts振荡次数N：

调节时间内，输出偏离稳态的次数。182.稳态性能：又称静态性能稳态误差是稳态性能的一种性能指标。通常在阶跃函数、斜坡函数、加速度函作用下，进行测定或计算。（单位阶跃输入下的稳态误差也称为余差）

(将在后面专节讨论。§3-3)19=其中为单位脉冲响应函数可见：时间响应c(t)是单位脉冲响应函数和输入函数的卷积分。

四.系统在任意外作用下的时间响应C(s)=G(s)R(s)

r(t)为任意作用函数C(t)=k(t)*r(t)

称为k(t)、r(t)卷积分203-2一阶系统的时域分析

用一阶微分方程描述的控制系统3-2-1一阶系统数学描述RCr(t)c(t)+__+例如RC电路，其微分方程为：其中：c(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数由原理图得系统结构图。R(s)-URIC(s)当初始条件为零时，其传递函数为:R(s)C(s)-一阶惯性环节21系统输出：L-1变换，得：R(s)C(s)-系统输入：th(t)10.632T63.2%2T86.5%3T95.0%4T98.2%5T99.3%阶跃响应的特点：3)c(t)的终值为1，即该系统在阶跃作用下，稳态误差为零。2)动态性能与时间常数T有关，其指标：1)在t=0时的斜率最大，为：3-2-2一阶系统单位阶跃响应22系统输入：R(s)＝1L-1变换，得：系统输出：脉冲响应记作g(t)，即：tc(t)1/T0.368/TT脉冲响应的特点：1)响应曲线的斜率为：在t=0时最大：2)c(t)的终值为0,即该系统在脉冲输入作用下,稳态误差为零。动态响应过程由T决定3-2-3一阶系统的单位脉冲响应斜率-1/T223拉氏反变换，得：误差：一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为：减少时间常数T①可以加快瞬态响应速度;

②可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。系统输入：系统输出：结论：tc(t)r(t)ess3-2-4一阶系统的单位斜坡响应24跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。系统输入：系统输出：拉氏反变换，得：误差：3-2-5一阶系统的单位加速度响应251

典型输入信号的响应2等价关系:t1(t)1系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；注意：积分常数由零初始条件确定。3动态特性:T↑→响应速度↓，即响应时间↑，反之亦然4跟踪能力:阶跃输入：无稳态误差，即能够跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T；

斜坡输入：有位置误差，且稳态误差等于时间常数T；加速度输入：稳态误差无穷大，即一阶系统不能跟踪加速度信号。由时间常数T决定。输出响应输入信号稳态误差00T∞3-2-6一阶系统时域分析小结tc(t)263-3-1二阶系统的数学描述1标准二阶系统微分方程2标准二阶系统传递函数——自然频率（或无阻尼振荡频率）

——阻尼比（阻尼系数）

用二阶系统微分方程描述的控制系统3标准二阶系统结构图R(s)C(s)_开环传递函数：4非标准二阶系统的标准化|ζ|>1

过阻尼，|ζ|<1

欠阻尼|ζ|=1

临界阻尼3-3二阶系统的时域分析R(s)C(s)_275二阶系统参数与特征根的分布二阶系统的特征方程：特征根：显然，的取值决定特征根的性质：实根过阻尼复根欠阻尼纯虚根无阻尼，正实根两个相等的正实根负实根实部为正的共轭复根实部为负的共轭复根[s]ReIm两个相等的负实根即：s1,2=±jωn28(1)欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

——衰减系数——阻尼振荡频率

拉氏反变换，得：欠阻尼：单位阶跃作用下，其输出：其中：tC(t)1包络线衰减振荡过程瞬态分量稳态分量3-3-2二阶系统单位阶跃响应[s]××ωd-σβ29其中：ωn——无阻尼振荡频率自然振荡频率过渡过程为等幅振荡过程。即：s1,2=±jωn无阻尼单位阶跃作用下，其输出：拉氏反变换，得：

(3)临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应

临界阻尼即：s1=s2=-ωnthth

(2)无阻尼二阶系统的单位阶跃响应

30过阻尼即：其中：(4)过阻尼二阶系统的单位阶跃响应th(t)说明：1）ζ↑，响应速度↓；2）二阶系统的过阻尼过程与一阶系统不同。31(1)欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

(2)无阻尼二阶系统的单位阶跃响应

(3)临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应

(4)过阻尼二阶系统的单位阶跃响应小结：

1）ζ>0时，其阶跃响应为衰减过程；2）ζ=0时，其阶跃响应为等幅振荡过程；3）ζ<0时，其阶跃响应为发散过程；ζ≤-1：非振荡发散-1<ζ<0：发散振荡ζ=0：等幅振荡0<ζ<1：衰减振荡ζ≥1：非振荡衰减32020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82欠阻尼衰减振荡左半平面共轭复根纯虚根无阻尼等幅振荡负实轴两相等实根临界阻尼单调收敛（收敛速度较快）负实轴两不等实根过阻尼单调收敛（收敛速度较慢）根的位置阻尼过渡过程××××××××××标准二阶系统不同阻尼时的单位阶跃响应曲线

331欠阻尼1)（上升时间）

求得响应速度越快一定，[s]ReIm-σωdβωntc(t)1tr一定，即3-3-3二阶系统性能分析及计算34根据峰值时间定义，应取：一定时，

（闭环极点离负实轴距离越远）

tC(t)1tp12)××××××353)（超调量）时，时，时，当时，

tc(t)1tp1××××××364)(调节时间)令Δ为实际响应与稳态输出之间的误差，则有：

tc(t)1±5%时，并在上述不等式右端分母中代入

××××××σ↑37性能指标计算公式与特征根分布的关系上升时间tr与β及虚部有关，当ζ一定时，与ωn成反比峰值时间tp与根的虚部成反比与根的实部成反比延迟时间td超调量σ%只与ζ有关，ζ越大，超调量越小调节时间ts标准二阶系统欠阻尼过程性能指标计算小结当ζ一定时，与ωn成反比38例3-2(P60)系统如图所示，要求超调量σ%=20%，峰值时间tp=1s，试确定参数K及τ，并计算单位阶跃响应的ts

及tr

。R(s)C(s)_解：由系统框图，得：39上升时间tr与β及虚部有关，当ζ一定时，与ωn成反比峰值时间tp与根的虚部成反比与根的实部成反比延迟时间td超调量σ%只与ζ有关，ζ越大，超调量越小调节时间ts标准欠阻尼二阶系统阶跃响应小结当ζ一定时，与ωn成反比性能指标计算公式与特征根分布的关系0<ζ<1402过阻尼1）上升时间3）调节时间

当

当

按10%—90%的定义：

瞬态分量稳态分量2）延迟时间

th(t)hs0.1hs0.9hstr稳态误差ess±2%或±5%ts0.5hstd41RC_解：闭环特征方程：按题意，要有尽量快的响应速度，且无超调，020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82又ζ=1，所以T1=T2=0.2s∴ts=4.75T1=0.95s例3-3系统如图。其中T=0.1，K开环增益。若要求系统在单

位阶跃作用下无超调，且ts<1s，问K应取多大？并计算tr，td。

应取：ζ=1,∴2ωｎ=10423-3-4二阶系统的单位斜坡响应

系统C(s)即系统对斜坡的响应等于该系统对阶跃响应的积分：欠阻尼过程：瞬态分量稳态分量临界阻尼过程：过阻尼过程：稳态分量稳态分量43对于单位反馈系统，误差为：

e(t)=r(t)-c(t)当时间t→∞时，误差响应e(t)的稳态值称为稳态误差。对于单位斜坡响应，其稳态误差为：误差响应为：44

系统如图，输入信号

，放大器增益KA分别取13.5,200,1500(rad/s)2。试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。解：系统开环传递函数为解得当KA=13.5(rad/s)2时——过阻尼二阶系统当KA=200(rad/s)2时——欠阻尼二阶系统当KA=200(rad/s)2时——欠阻尼二阶系统例3-4451）开环增益↑→稳态误差↓，但系统阻尼比↓→振荡↑；

但实际中，ζ不宜太小。——超调量与稳态误差的矛盾2）要提高系统精度，就要保持足够大的K，但K=ωn/2ζ，

但KA↑→ωn↑的同时,阻尼比↓→振荡↑——比例控制无法实现动静态性能兼顾

。系统斜坡响应曲线如下461比例-微分控制（PD控制）R(s)C(s)_Tds其中：即引入微分，可实现ωn不变，Td↑→ζd↑→振荡↓，ts

↓。增加微分作用的实质：增加系统闭环零点。注意：输入端噪声较强时,不宜使用。闭环传递函数：3-3-5

二阶系统性能改善

开环传递函数开环增益47例3-5设单位反馈系统开环传递函数其中K为开环增益。已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差为ess=1/K。若要求ess≤0.2(rad)，ζd=0.5，试确定K与Td，并估算在单位阶跃作用下的动态性能。R(s)C(s)_Tds1说明：影响系统稳态误差的因素开环增益K和系统型别，

与开环零点无关。解：Td=0时，系统闭环特征方程：Td≠0时，系统闭环传递函数：要求ζd=0.548R(s)C(s)_Kts_开环增益结论：引入测速反馈→ωn不变，Kt↑→ζt↑→振荡↓但开环增益K↓→斜坡的ess

↑（思考E3-10(a)）ζt2测速反馈控制49R(s)C(s)_(a)R(s)C(s)_Kts_(b)解：系统(a)闭环传递函数：单位斜坡函数作用下，单位阶跃作用下，其动态性能例3-6系统如图，试确定系统阻尼比为0.5的Kt值，并计算系统(a)，(b)的各项性能指标。

50系统(b)闭环传递函数：R(s)C(s)_Kts_(b)系统开环增益单位斜坡函数作用下，单位阶跃作用下，其动态性能：结论：测速反馈可改善系统的动态性能，但稳态误差↑为减小稳态误差，必须增加K，而使Kt单纯增大系统阻尼。511）附加阻尼的来源PD：误差微分测速：输出微分2）使用环境输入端噪声较大时，应采用测速反馈控制。3）对开环增益K的影响PD：开环增益K与ωn均无影响测速：等效开环增益减小，ωn不变斜坡作用下的稳态误差较大4）对动态性能的影响相同阻尼比的情况下，PD的超调大于测速反馈的3PD控制与测速反馈控制比较

PD与测速反馈均可再不改变ωn的情况下提高阻尼比523-4-1高阶系统数学描述高阶系统闭环传递函数的一般形式为：其中：-zi

—i=1,2,…,m

闭环实数零点-pj

—

j=1,2,…,q

闭环实数极点ζk，ωnk

—k=1,2,…,r

闭环r对共轭复数极点q+2r=n3-4高阶系统的时域分析53当已知高阶系统的各个闭环极点后，可以通过因式分解将其化为部分分式和的形式：

振荡过渡过程非振荡过渡过程结论：1)高阶系统时域响应可以看成一阶、二阶系统响应的叠加；2)特征根具有正实部，则系统的过渡过程为发散的(不稳定)；特征根具有负实部，则系统的过渡过程为收敛的(稳定的)；3)衰减或发散的速度取决于根的实部的值。

3-4-2动态过程分析54闭环极点位置对系统的影响设三阶系统单位阶跃作用下的L变换：结论：实部为负的极点，越靠近虚轴，衰减速度越慢，对过渡过程的影响越大；越远离虚轴，衰减速度越快，对过渡过程的影响越小。s2s3s1s2s3s155

定义：靠近虚轴，且附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上的闭环极点称为高阶系统的闭环主导极点。工程上往往要求高阶系统有一对共轭复数的主导极点。应用主导极点的概念，可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式：其中：s1、s2

为共轭复根。对上式进行反L变换：注意：上式考虑了闭环零点及非主导极点对过程的影响，与欠阻尼二阶系统不同。3-4-3闭环主导极点56（1）峰值时间tp

结论：1)闭环零点的作用:使tp↙，即系统响应速度↗；闭环零点越靠近虚轴，作用↗；2)非闭环主导极点的作用：使tp

↗

，即系统响应速度↙；3)闭环极点与零点靠近，则对系统响应速度的影响相互消减；4)当系统不存在零点和非闭环主导极点时，

tp为二阶欠阻尼的tp

ReIm[s]s13-4-4动态性能估算57结论：1)ReIm[s]s1其中：3)无闭环零点和非主导极点时，σ%为二阶欠阻尼的。2)闭环零点影响修正系数闭环非主导极点影响修正系数（2）超调量σ%58结论：ReIm[s]s1其中：非主导极点对系统动态性能的总影响是增大峰值时间，但可减小超调量和调节时间。

1）闭环零点靠近虚轴，Q↑总之，2）闭环非主导极点靠近虚轴，F↓→ts↑→ts↓（3）调节时间ts59稳定的摆不稳定的摆一、稳定的基本概念3-5线性系统的稳定性分析稳定性的定义：控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态,称系统稳定。只适用于线性定常系统。60（b）稳定（c）不稳定注:稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入信号和初始状态无关。（a）外加扰动61大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。否则系统就是小范围稳定的。（a）大范围稳定（b）小范围稳定注意：对于线性系统，小范围稳定

大范围稳定。(c)不稳定62临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；

(2)实际系统参数的时变特性；

(3)系统必须具备一定的稳定裕量。63假设：系统外作用前为平衡状态，即c(t)

0

设r(t)=

(t)(按定义：相当于给扰动并马上取消)则其中1+G(s)H(s)=0

为特征方程改写为：

考察一个系统如图所示：二、控制系统稳定的充要条件

G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)64假设P1，…，Pn为特征根其中P1，…，Pk为实根

Pk+1，…，Pn为共轭复根，

则：

65共轭复根（复极点）与二阶振荡环节相对应。

66可见：因为Pi为实根，为复根实部结论：线性定常系统稳定特征根均具有负实部事实上：稳定性判断只须利用特征多项式（闭环极点均具负实部）所以：特征根均具有负实部是作为系统恢复到原平衡状态的条件。67ReIm[s]不稳定区稳定区临界稳定系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都位于[s]的左半平面，当特征根位于虚轴——临界稳定状态只要求出系统的全部特征根，便可确定其稳定性。681劳斯阵列（劳斯表）（要领：表头+填充）设n阶线性系统的闭环特征方程为：注意：n阶系统的劳斯阵共有n+1行三、劳斯（Routh）稳定判据691）稳定的必要条件系统特征方程：稳定的必要条件：即系统特征方程不缺项且各系数同号。若系统满足稳定的必要条件，则系统可能稳定，但需要通过充分条件最后确定。2）稳定的充分条件（个别教材为充要条件）：如果系统满足稳定必要条件，且劳斯阵列的第一列系数全部大于零，则系统稳定。3）劳斯阵列的第一列系数的符号改变的次数等于正实部根的个数。

2劳斯稳定判据70例3-7已知系统特征方程：试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性。解：1)特征方程中各项系数>0——满足必要条件2)构造劳斯阵列：第一列系数符号变化两次，系统不稳定即有两个不稳定特征根1215-35由“+”到“-”符号变化1次由“-”到“+”符号变化1次注：某行同乘或同除一个正数，结果不变71例3-8已知系统特征方程：试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：1)特征方程中各项系数>0——满足必要条件2)构造劳斯阵列：第一列系数全部大于0，所以系统稳定13151035/151072特殊情况1：劳斯阵列中某导出行的第一项为零，而该行不全为零或没有余项则：方法1：以很小的正数ε代替零项，继续计算劳斯阵列。令：ε→0，检验劳斯阵列第一列符号的变化：①有符号变化：符号变化次数为正实部根的个数，系统不稳定②无符号变化：有纯虚根存在，系统临界稳定（不稳定）方法2：用(s+a)乘以原方程，其中a>0，再对新方程应用劳斯判据。特殊情况2：劳斯阵列中某导出行全为零，用全零行上行各元素构造辅助多项式，并对辅助多项式求导，用其系数代替全零行，继续计算劳斯阵列。①有等值反号根存在，且符号变化次数为正实部特征根的个数，系统不稳定；②由辅助方程可求出这对等值反号的根。3劳斯判据特殊情况73例3-9已知系统特征方程：

试用劳斯稳定判据判断其稳定性。解：1)特征方程中各项系数>0——满足必要条件2)构造劳斯阵列：1310261505/2ε152/515由“+”到“-”符号变化1次由“-”到“+”符号变化1次令ε→0：该系统不稳定，且符号变化两次，即有两个实部为正的特征根存在。方法1：用ε代替074例3-10已知系统特征方程，试确定不稳定特征根。解：1-2-7-41-3-41-3-4004-6-1.5-4-12.5/1.5-4不稳定特征根为：2-375判断系统稳定性确定给定系统参数范围说明：1）稳定性问题；2）给定稳定度问题或称为相对稳定性问题。解：1）确定K，首先确定闭环传递函数：4劳斯判据应用例3-12系统如图所示1）确定满足系统稳定的K。2)如果要求闭环特征根（闭环极点）位于s=-1垂线之左，K=?

R(s)C(s)_76闭环特征方程：劳斯阵列：1401440K

40K

系统稳定的充要条件：14-K>0K>0∴0<K<

14772）将[s]的纵轴向左平移劳斯阵列：1151140K-27

40K-27

根据稳定充要条件：∴0.675<K<

4.8[s]-1[s]即令：s=s1-1，代入闭环特征方程，得：78设n阶线性系统的闭环特征方程为：线性系统稳定的必要条件：特征方程各项系数大于0稳定的充分必要条件：由特征方程各项系数构成的主行列式：及其顺序主子式全部为正。四、赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据

P112例3-779一、误差定义及稳态误差计算G(s)H(s)_R(s)C(s)1/H(s)E’(s)R’(s)G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)1两种误差的定义定义1：从输入端定义误差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)（给定-测量）定义2：从输出端定义误差：E’(s)=R’(s)-C(s)（希望的输出-实际输出）应指出：E(s)是有实际意义的，而E’(s)只有数学意义。2两种误差的关系对单位反馈系统，有：3-6线性系统稳态误差803误差传递函数及稳态误差计算G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)应用条件：

E(s)

除原点外，在虚轴和右半平面解析.瞬态分量稳态误差显然，利用L变换终值定理只能求出误差终值(确定值或∞)，无法获得稳态误差随时间的变化ess(t)。81设系统开环传递函数为：对于反馈系统，有：其中：K为开环增益；τi，Tj分别为一阶微分环节和惯性环节的时间常数；为开环传函包含的积分环节个数(即原点处开环极点的个数)二、系统类型ess与开环增益K

、输入形式R(s)、（系统型别）有关82定义：开环传递函数包含积分环节的个数称为系统的型别，或类型。——零型系统

——Ⅰ型系统

——Ⅱ型系统

注意：1）除了复合系统外，的系统一般难以稳定，2）系统型别(systemtype)——开环包含积分环节个数；系统阶次(如：First—ordersystem,second—ordersystem,higher—ordersystem）——闭环传函分母最高阶次所以除航空航天外，Ⅲ型及以上系统一般不采用。831阶跃输入Kp定义为静态位置误差系数：结论：0型系统能跟踪阶跃输入但有位置误差Ⅰ型及以上系统能完全跟踪阶跃输入三、典型输入作用下的稳态误差及静态误差系数842斜坡输入Kv定义静态速度误差系数：

0型系统不能跟踪斜坡输入；Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但有稳态误差；Ⅱ型及以上系统，能准确跟踪斜坡输入，无稳态误差。结论：853加速度输入Ka定义为静态加速度误差系数：0,Ⅰ型系统不能跟踪加速度输入；Ⅱ型系统能跟踪加速度输入，但有稳态误差；Ⅲ型及以上系统，能准确跟踪加速度输入，无稳态误差。结论：86表3-1典型输入作用下的稳态误差

系统型别0ⅠⅡⅢ静态误差系数典型输入作用下的稳态误差K∞∞∞0K∞∞00K∞000∞00∞∞0①系统型别越高，跟踪信号能力↑但稳定性↓，动态性能↓；②静态误差系数定量描述系统对各种典型输入的跟踪能力，在设计时，在输入形式及容许误差确定后，可根据静态误差系数确定系统型别和开环增益K。注：87系统稳态误差。R(s)C(s)_50.8s_1s(5s+1)E(s)解：开环传递函数G(s)即本系统为K=1的Ⅰ型系统，其静态误差系数：例3-14系统如图，计算当r(t)=1(t)，t，t2/2时,88主要应用：研究非典型输入下的稳态误差，也称广义误差系数。1定义系统误差传递函数：

当上述级数收敛于s=0时，称为误差级数。注意：它收敛于s=0，即相当于t→∞时成立。当所有初始条件为零时，拉氏反变换：——s的函数四、动态误差系数（略）89——动态误差系数2几点说明①“动态”是指可完整描述ess(t)的变化规律，而不是指ets(t)。描述的误差级数是在t→∞时才成立，②——动态位置误差系数

——动态速度误差系数

——动态加速度误差系数

所以在r(t)中随t↑趋于0的分量不应包含在这个式子中。③c0，c1，c2亦可作为性能指标。习惯称

903动态误差系数的计算

①按定义计算（当系统阶次较高时，计算较繁）②用长除法

设系统开环传递函数：在一个特定的系统中，动态误差系数与静态误差系数的关系：零型系统：

Ⅰ型系统：

Ⅱ型系统：

误差传递函数：

利用长除法：

91求r(t)=sin5t时的ess(t)。解：其中，ω0=5，对上述级数求和：即在正弦输入作用下，其稳态误差为幅值=0.055的余弦信号，且K↑→ci↓。s+0.01s2+0.001s30.09s2-0.001s30.09s2+0.0009s3+0.00009s4s+0.09s2-0.0019s3-0.0019s3-0.00009s4例3-15单位反馈系统开环传函：921扰动作用下误差的定义

R(s)C(s)_++G1(s)G2(s)H(s)N(s)1）从输入端定义2）从输出端定义r(t)=0时，理想的系统输出为零：

2在扰动作用下，系统稳态误差的计算

①用L变换终值定理②用动态误差系数的方法

——反映系统抗扰能力

五、控制系统在扰动作用下的稳态误差93R(s)C(s)_++K1N(s)解：由结构图知该：系统为Ⅰ型的。当N(s)=0，R(s)=R0/s时，ess=0

当R(s)=0时，系统在扰动下的输出：而希望的输出为零，因此误差信号为：例3-16系统如图,R(s)=R0/s,N(s)=n0/s,求稳态误差.

该例说明ess=0时，essn并不一定为零。94R(s)C(s)_++K1K2

(0.1s+1)(0.2s+1)(0.5s+1)N(s)n(t)=1(t)，K2=10，试问是否可以选择合适的K1值，使系统