直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系学习目标：1：掌握直线与椭圆的位置关系和判断方法2：学会应用弦长公式解决有关问题3:掌握处理弦中点问题的两种处理方法怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？d>r（相离）d<r（相交）d=r（相切）∆>0（相交）∆<0（相离）∆=0（相切）几何法：代数法：问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：椭圆与直线的位置关系？不能！所以只能用代数法------解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。问题2：椭圆与直线的位置关系？例1：已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。x2+4y2=2解：联立方程组消去y∆=36>0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦AB的长是多少？弦长公式：则原方程组有两组解-----(1)由韦达定理故直线与椭圆有两个交点。二、直线与椭圆相交的有关问题：1、直线与椭圆相交形成的弦长问题：弦长公式：二、直线与椭圆相交的有关问题：1、直线与椭圆相交形成的弦长问题：弦长公式：小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的。∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数,得到关于x或y的一元二次方程。（3）判断方法:通法1、直线与圆相交的弦长A（x1,y1）小结：直线与二次曲线相交弦长的求法dr2、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式:|AB|=k表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得x1+x2与y1+y2通法B（x2,y2）=设而不求椭圆的两个焦点为F1、F2

，过左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，若直线AB的倾角为30度，求△

AB

F2

的面积。例2xyB（x1,y1）F1F2o（x2,y2）A法一：利用d联立方程组{d=2过作到直线AB的垂线,设距离为d法二：利用分割思想xyB（x1,y1）F1F2o（x2,y2）A|AB|=法三：xyB（x1,y1）F1F2o（x2,y2）A法四：变题:△AB

F2

的面积为，其它条件不变，求直线AB的方程。焦半径公式若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆方程。例3解：设联立方程组{设M(x,y),则{{若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆方程。①因为：OA⊥OB所以②由①②可得椭圆方程设而不求{{巩固性练习：

（1）当时，直线与椭圆相交（2）当时，直线与椭圆相切（3）当时，直线与椭圆相离1、判断直线与椭圆的位置关系Kx-y+3=0,2.椭圆中有定点M(0,1)过M的直线与椭圆交于AB两点,求AB弦中点P(X,Y)的轨迹方程.（1+4）-8X+4-4=0设中点P（X，Y），X==

故Y=K（X-1）=当Y0

=-4K得K=时，X=,

显然X不恒为0(Y轴),故1=,得4Y+X=X即显然点O(0,0)与M(0,1)均合条件,故(***)为所求P点的轨迹方程(***)----（**），---（*）代入（*）得|AB|=

=（适用于任何曲线）

3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：（1）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（2）弦长公式：

小结4、注意解答的完整性.1、求椭圆被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长。通径3、中心在原点，一个焦点为F（0，）的椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆方程。练习2。y=kx+1与椭圆恰有公共点