2026年高考数学终极冲刺：限时预测03（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国一卷适用）（原卷版）

1/19限时预测03（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．16．（15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若直线与曲线相切，求的值．17.（15分）在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点．（1）证明：平面平面；（2）若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值．18.（17分）某高中使用AI学情诊断系统对学生数学薄弱知识点进行检测．根据前期学业数据，将学生分为基础扎实与基础一般两类：基础扎实的学生，每道题答对的概率为；基础一般的学生，每道题答对的概率为．现从这两类学生中各随机抽取1人，每人连续独立完成3道同类型试题，规定：至少答对2道题，则判定为“该知识点达标”．（1）分别求基础扎实学生与基础一般学生单独检测一次达标的概率；（2）求这两名学生中恰有1人达标的概率；（3）若从该校基础一般的学生中随机抽取3人，记达标人数为X，求X的数学期望．19．（17分）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点.过作直线与交于点，．当垂直于轴时，．点．按照如下方法依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.（1）求数列的通项公式.（2）求的面积.（3）将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．（1）若，求大小；（2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度.16.（15分）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，，证明：．17.（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，．（1）证明：平面平面；（2）已知平行于的平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值；（3）若二面角的大小为，求的余弦值．18.（17分）已知椭圆的焦距为2，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求点到直线距离的取值范围．19．（17分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，，，，且，，如，所以在三进制下可写为.（1）将五进制数转化成三进制数.（2）对于任意两个不同的位二进制数，，，记.①若，求随机变量的分布列与数学期望；②证明：.（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16．（15分）如图，四棱锥中，底面，，平面，，．（1）证明：；（2）若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值．17.（15分）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．（1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；（2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．①求，；②求．18．（17分）如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，