2026年高考数学终极冲刺：压轴17 圆锥曲线的定义及性质的4大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及解析）

压轴17圆锥曲线定义及性质的4大核心题型1.圆锥曲线的定义及性质是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分.2.一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.题型01圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.1.（2020·全国III卷T11）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（

）A．1 B．2 C．4 D．82.（2022·全国甲卷T11）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．题型02椭圆、双曲线的几何性质及应用技法技法指导1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系（1）在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－（2）在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1+2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标（1）双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，焦点坐标为F1（－（2）双曲线y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标为F1（0，－3.（2023·新课标Ⅰ卷T5）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．4.（2024·新课标Ⅰ卷T12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．5.（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．题型03抛物线的几何性质及应用技法技法指导1.抛物线的焦点坐标与准线方程（1）抛物线y2＝±2px（p＞0）的焦点坐标为（±p2，0），准线方程为x＝∓p（2）抛物线x2＝±2py（p＞0）的焦点坐标为（0，±p2），准线方程为y＝∓p2.抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是直线AB的倾斜角，则(1)x1x2=p24，y1y2=-p(2)|AB|=x1+x2+p=2p(3)1|FA|+1(4)以线段AB为直径的圆与准线x=-p26.（2025新高考2卷T6）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（

）A．3 B．4 C．5 D．67.（多选）（2023·新课标Ⅱ卷T10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形题型04圆锥曲线的切线问题技法技法指导圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论（1）过椭圆+=1上一点Px0,y0（2）过椭圆+=1外一点Px0,y0（3）过双曲线−=1上一点Px0,y0（4）过双曲线−=1外一点Px0,y0（5）抛物线上一点Px0,（6）抛物线外一点的切线方程8.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆：，其焦距为，且过点.点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（

）A． B． C． D．9.过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．1.（2021·新高考全国Ⅱ卷T3）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．42.（2025·新高考1卷T3）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．3．（2022·全国乙卷T6）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．4.（2023·全国甲卷T5）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．55.（2022·全国甲卷T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．6.（2025·天津卷T9）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（

）A．2 B．5 C． D．7.椭圆：的左、右焦点分别为，，若与抛物线的焦点重合，椭圆与过点的幂函数的图像交于点，且幂函数在点处的切线过点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．（多选）（2025·湖南娄底·期末）已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（

）A．的虚轴长为 B．的离心率为C．的最小值为 D．直线的斜率不等于9.〔多选〕（2025·辽宁沈阳·三模）设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为8B．椭圆的离心率C．面积的最大值等于12D．以线段为直径的圆与圆相切10.（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．11.（2024·天津卷T12）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为．12.（2021·全国甲卷T15）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．13.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围14．（2025·广东揭阳·模拟）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求和的标准方程；(2)若和交于不同的两点，求的值.15.（2025·江西抚州一模）已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线C于点M，且(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为求的值.

压轴17圆锥曲线定义及性质的4大核心题型参考答案压轴题型精讲题型01圆锥曲线的定义及标准方程1.【答案】A【解题指导】双曲线的定义→三角形面积公式→勾股定理→离心率列方程求a.【解析】根据双曲线的定义可得，，即，，，，，，即，解得，故选A.法二:由题意得，，得b2＝4，【技巧】椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝12｜PF1｜｜PF2｜sinθ＝b2tan又且c2＝a2＋b2，所以a＝1.2.【思维探究】看到什么想到什么椭圆的离心率为联想椭圆离心率的定义,将文字语言转化为符号语言，提取数量关系分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点将文字语言转化为图形语言，作出椭圆图形并标出各个顶点的坐标考虑数量积的坐标运算公式，实现几何条件代数化【答案】B【解析】因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为，故选B.题型02椭圆、双曲线的几何性质及应用3.【思维探究】看到什么想到什么过作平行于轴的直线交C于A，B两点将文字语言转化为符号语言,联想离心率的定义表示建立参数的方程，实现几何条件代数化双曲线C的离心率解关于参数a的方程【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以，故选A【技巧】b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（不等式）求解4.【思维探究】看到什么想到什么过作平行于轴的直线交C于A，B两点将文字语言和符号语言翻译为图形语言，作出图形；将平行条件代数化由长度表示为定义的形式从而得到关系式双曲线C的离心率根据所给a，b，c的值直接代入离心率公式【答案】【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，，【技巧】二级结论：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)又，得，解得，代入得，故，即，所以.5.【答案】A【解题指导】垂直关系向量表示→→为等边三角形→双曲线定义以及余弦定理→，→求出渐近线方程.【详解】由，得，即，又，得为的中点，则，又，于是为等边三角形，设的边长为，由双曲线定义知，，，则，，又，则，解得，在中，由余弦定理得，即，得，，，所以双曲线的渐近线方程为.【易错提醒】先双曲线焦点的位置，再求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程，两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.故选A题型03抛物线的几何性质及应用6.【解题指导】由直线BF求出焦点和→抛物线的方程→抛物线的准线方程和点B→求出和→由焦半径公式求解.【答案】C【解析】对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得.所以.故选：C7.【思维探究】看到什么想到什么直线过抛物线的焦点将文字语言和符号语言转化为图形语言，整合已知信息得焦点坐标，明晰抛物线方程直线与C交于M，N，求为抛物线焦点弦，联想焦点弦的几何性质与结论l为C的准线，以MN为直径的圆与l相切结合抛物线的定义联想到与准线相关的几何性质，联想直线与圆位置关系判断方法为等腰三角形联想到抛物线的对称性以及等腰三角形的等价条件【答案】AC【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.【技巧】焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.【技巧】以焦点弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误，故选AC.

【解后反思】应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性题型04圆锥曲线的切线问题8.【答案】B【解析】根据题意得，根据待定系数法得，解得，所以椭圆的方程为，设点，由题知过点与椭圆相切的切线的方程为：，所以，，所以的面积为，因为，当且仅当时等号成立；所以，所以面积的最小值为，故选B.9.【答案】C【解析】设，由于双曲线在点处的切线方程为，故切线的斜率；因为，则，则，即双曲线的离心率，故选C．1.【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选B.2.【答案】D【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，于是，则，即.故选：D3.【答案】B【解析】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选B4.【答案】B【解析】方法一：因为，所以，从而，所以．故选B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以，故选B.5.【答案】A【解析】设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.6.【答案】A【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则，由双曲线的定义及已知条件可知，则，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即离心率为2.故选A7.【答案】B【解析】

由题意，抛物线的焦点为，则，又因为幂函数过点，则，则，所以幂函数为，设，则在点处的切线斜率为，则可得切线方程为，由幂函数在点处的切线过点，可得，解得，即，又点在椭圆上，则，且，解得，则，所以，故选B8.【答案】ABD【解析】因双曲线的渐近线为，由题有，得到，对于A，因为虚轴长为，正确，对于B，因为的离心率为，正确，对于C，因为直线，，所以到直线的距离为，所以的最小值为，错误，对于D，因为过点且斜率为的直线方程为，即与直线平行，又是上一点，所以直线的斜率不等于，正确，故选：ABD.9.【答案】ACD【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，对于A，的最大值为，A正确；对于B，椭圆的离心率，B错误；对于C，设点，则，而，因此面积的最大值等于，C正确；对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径，圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，