2026年高考数学终极冲刺：专题08 累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式（抢分专练4大热点题型）（原卷版及解析）

4/4专题08累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式题型考情分析考向预测1．累加法 2025年天津卷：第6题考查了递推法求数列通项公式2024年全国甲卷（文）：第17题考查了2024年全国甲卷（理）：第18题考查了2023年北京卷：第8题考查了累加法求数列通项公式递推、构造法求数列通项公式，注意观察是否需要检验。2．累乘法3．构造法4．递推法题型1累加法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：大题注意检验n=1时满足条件.1．（25-26高三上·重庆南岸·期中）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算术·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第8层小球的个数为（

）A．28 B．36 C．45 D．552．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（

）A． B．C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（

）A． B．3 C．4 D．4．已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．5．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．6．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（

）A．3 B．6 C．2 D．4题型2累乘法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．1．已知数列满足，记的前项和为，则（）A． B． C． D．2．已知数列满足，且，则（

）A． B．0 C．1 D．23．若数列满足，，则______，数列的通项公式______．4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（

）A． B． C． D．5．记为首项为1的数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．6．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（

）A． B． C． D．题型3构造法1、形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得（*）法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出2、形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出．3、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；4、还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式1．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．2．已知数列中，，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，对，则（

）A． B．C． D．4．已知数列中，，且，则___________．5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________．6．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项______．7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求．8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．题型4递推法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．2．已知数列的前项和为，若，则（

）A．8 B． C．16 D．3．已知是数列的前项和，且满足，.则（

）A． B． C． D．4．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．5．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知数列的前项和满足：，且，那么（

）A．2 B．4 C．2026 D．20286．设是数列的前n项和，若，则＝（）A． B． C． D．7．记数列的前项和满足，则（

）A． B． C． D．8．若数列满足，则（

）A．32 B．10 C． D．9．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（

）A． B． C． D．10．已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．2．已知为数列的前项和，，，那么（

）A．-64 B．-32 C．-16 D．-83．已知Sn是数列{an}的前n项和，且则（

）A．是等比数列 B．数列是等比数列C． D．4．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列中，，则（

）A．5 B． C．4 D．5．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．7．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（）A． B．C． D．8．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．9．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．52010．已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．11．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．12．（25-26高三上·河北保定·期中）已知为数列的前项和，，则（

）A． B． C． D．13．（23-24高三下·湖北·月考）已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C．是等比数列 D．14．（2027高三·全国·专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式等于（

）A． B．C． D．15．已知数列满足，若数列是递增数列，则（

）A． B． C． D．16．（多选题）已知数列满足，（且），则（

）A． B． C． D．17．已知数列中，，则数列的通项公式______．

专题08累加、累乘、构造、递推法求数列的通项公式题型考情分析考向预测1．累加法 2025年天津卷：第6题考查了递推法求数列通项公式2024年全国甲卷（文）：第17题考查了2024年全国甲卷（理）：第18题考查了2023年北京卷：第8题考查了累加法求数列通项公式递推、构造法求数列通项公式，注意观察是否需要检验。2．累乘法3．构造法4．递推法题型1累加法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：大题注意检验n=1时满足条件.1．（25-26高三上·重庆南岸·期中）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算术·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第8层小球的个数为（

）A．28 B．36 C．45 D．55【答案】B【分析】通过分析找出规律后，利用等差数列求和公式求解.【详解】第1层：，第2层：，第3层：，第4层：，第层：，所以第8层：，所以第8层小球的个数为36，故选：B.2．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式.【详解】当时，，即，而，所以，满足上式，所以所求通项公式为.故选：C3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（

）A． B．3 C．4 D．【答案】C【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系式，再根据累加法求的值.【详解】由，得，所以，所以，，…，，各式两端相加得，故．故选：C.4．已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案.【详解】由题知，，且，，所以，累加可得，所以，所以，当时同样满足，所以.故选：C5．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到.【详解】由，知，所以，即，故，又适合上式，故．故选：C.6．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（

）A．3 B．6 C．2 D．4【答案】A【分析】裂项可得，再分组求和即可得.【详解】，则、.题型2累乘法形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．1．已知数列满足，记的前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求.【详解】由，得，当时，，以上各式相乘，得，又，所以，因为满足上式，所以，因为，所以.故选:A.2．已知数列满足，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】通过累乘法可求出，再利用递推式求出，进而答案可求.【详解】解：，，∴∴，，∴，∴，故选：A.3．若数列满足，，则______，数列的通项公式______．【答案】8【分析】利用递推关系式可求，利用累乘法可求通项公式.【详解】因为，，所以，.由题意，，，，以上各式相乘可得.故答案为：8

4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，得，，．由累乘法，得，即，又，所以．故选：C．5．记为首项为1的数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解.【详解】易得，故，化简得，即，由知，故，累乘可得，即，故，当时，也符合上式，故，故.故选：C.6．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解.【详解】解：由，得，所以，所以，即①．又因为②，①②两式相乘，得．故选：A．题型3构造法1、形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得（*）法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出2、形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：，再用（*）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再转化用（*）便可求出．3、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；4、还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．5、形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式1．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解.【详解】因为，所以．因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故．故选：C2．已知数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解.【详解】由，得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.故选：B.3．（25-26高三上·河南·月考）已知数列满足：，对，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据递推关系式可整理得到，由此可得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果.【详解】因为，，所以为公比为的等比数列，则，故．取，则．故选：C．4．已知数列中，，且，则___________．【答案】【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解.【详解】由，可得，即，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以．故答案为：5．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________．【答案】【分析】由得，构造等比数列即可求解.【详解】由，，，可得，所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，则，；故答案为：.6．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项______．【答案】【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案.【详解】利用待定系数法构造新数列，，又，则，所以．令，是以为首项，公比的等比数列．．即，．当时成立，所以．故答案为：7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求．【答案】【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得.【详解】，所以，又，则是首项为公差为的等差数列，得，故．8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案.【详解】因为，所以，即，又，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即，左右同除得：，所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.题型4递推法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用求解，并检验.【详解】当时，，又，不符合上式，则.故选：D2．已知数列的前项和为，若，则（

）A．8 B． C．16 D．【答案】D【分析】根据的关系求得即可得解.【详解】，解得，当时，，即，所以，所以.故选：D.3．已知是数列的前项和，且满足，.则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据与的关系得到，再求解即可.【详解】当时，；当时，由，可得.两式相减得，所以，且.则数列从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，则，所以，所以.故选：D4．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的关系，转化为关于的递推关系，变形后可构造等差数列，由等差数列的通项公式求解.【详解】因为，则，于是得，因此数列是首项，公差为1的等差数列，则，所以.故选：D5．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知数列的前项和满足：，且，那么（

）A．2 B．4 C．2026 D．2028【答案】A【分析】根据题意，令，求得，再令，即可求解.【详解】由数列满足，且，令，可得，即，再令，可得.故选：A.6．设是数列的前n项和，若，则＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】递推条件后相减构造出，即可将问题转化为，利用幂指数运算与等差数列的前项和即可求解.【详解】由题意得，则，两式相减得，其中，则有，则.7．记数列的前项和满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用与的关系求解即可.【详解】因为，当；所以，当时，，符合上式，所以，故选：C.8．若数列满足，则（

）A．32 B．10 C． D．【答案】C【分析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式，即可求解.【详解】因为①，当时，，当时②，①减②得，所以，当时也成立，所以，所以.故选：C9．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可.【详解】当时，；当时，；，所以，即，当时，不满足；所以所以的前项和为.所以10．已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．【答案】D【分析】用相减法求得的关系，用连乘法求得结论．【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，所以，所以，所以，所以，因为数列为正项数列，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以故选：D．1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出.【详解】由题意，，在等比数列中，，设公比为q，，解得，∴，当时，，解得：，∴是以2为首项，3为公比的等比数列，∴.故选：A.2．已知为数列的前项和，，，那么（

）A．-64 B．-32 C．-16 D．-8【答案】B【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【详解】时，，，可得：，化为．时，．数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．那么．故选：B．3．已知Sn是数列{an}的前n项和，且则（

）A．是等比数列 B．数列是等比数列C． D．【答案】C【分析】先根据得到的递推关系式，然后构造一个等比数列写出的通项公式，再写出的通项公式即可判断各选项.【详解】由，所以，可得.因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，故不是等比数列，且，所以当时，，所以，故不是等比数列，且，综上，ABD选项错误，C选项正确.故选：C4．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列中，，则（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可.【详解】在数列中，即,所以故选：A.5．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可.【详解】由可得，.，，，，，所以（），，又当时，依然成立，所以.故选：B.6．已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可.【详解】由题意知，，所以，即，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，解得.故选：C7．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解.【详解】因为，则，所以，当时，，当时，满足，所以数列的通项公式为.故选：C8．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由得到，利用累加法求出，则.【详解】因为，所以即；所以即；所以，而也符号该式，故故选：D9．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项.【详解】由题设，则，所以，则又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则.故选：C10．已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意求出的通项公式，再根据，利用累乘法求出时的表达式，验证，即可确定的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意知是公比为的等比数列，，则；故当时，，则，当时，也适合上式，故，则.故选：A11．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项