2026年高考数学终极冲刺：专题10 空间向量与立体几何解答题题型全突破（抢分专练7大热点题型）（原卷版）

4/4专题10空间向量与立体几何解答题题型全突破题型考情分析考向预测1．求线面角及已知线面角求其他量 2025年全国二卷：第17题考查了求二面角2024年新高考卷Ⅱ：第17题考查了求二面角2024年全国甲卷（文）：第19题考查了距离问题求二面角以及已知二面角求其他量问题2．求二面角及已知二面角求其他量3．线面角、二面角中的探索性问题4．距离及其相关的探索性问题5．翻折条件的技巧6．立体几何新定义问题7．建系技巧强化训练题型1求线面角及已知线面角求其他量1、垂线法求线面角（也称直接法）：（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.2、公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.公式为：sinθ=hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便3、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.1．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．(1)求证：平面；(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．2．（25-26高三下·湖南·月考）如图，在矩形中，为的中点.现将沿折起到的位置，使得.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.3．（25-26高三下·安徽·月考）已知等腰梯形与等腰梯形如图所示，其中，过点作，垂足为．现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图所示．(1)求证：平面平面；(2)在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值．4．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，且，．(1)证明：平面．(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．5．（2026·广东惠州·二模）如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接.(1)证明：平面；(2)若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值.6．（2026·山东济宁·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值.题型2求二面角及已知二面角求其他量1、几何法（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.（4）射影面积法求二面角2、向量法：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则1．（2026·河北沧州·二模）如图，四棱锥中，底面是梯形，，.(1)证明:平面平面；(2)若,求平面与平面所成二面角的正弦值.2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现.(1)求点P到平面的距离；(2)求二面角的正弦值.3．（2026·广西北海·一模）如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．4．（25-26高三下·贵州·月考）如图，在四棱锥中，.(1)证明:平面平面；(2)若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求.

5．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，四棱锥中，底面.(1)证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值.6．（2026·河南周口·模拟预测）如图为半径为2的圆的直径，点为圆上的两点，且.如图2，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接.(1)若为的中点，证明：；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.题型3线面角、二面角中的探索性问题1、用向量法处理立体几何中的探索性、存在性问题探索性、存在性问题是条件不完备、结论不确定的问题,利用向量的方法将这类问题由立体几何问题转化为代数的方程(不等式)的解的问题,考查了化归、转化的数学思想,培养了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.2、用向量的坐标运算解决几何问题用向量的坐标运算解决几何问题,使几何问题代数化,以数助形,体现了数形结合的思想.同时本题还运用了方程的思想,通过列方程、解方程使问题得以解决.这足以说明“向量的坐标运算”是“几何”与“代数”间的一座新的桥梁.这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立,解决这类问题的基本策略是假设题中的数学结论成立,在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定证明.3、对于存在判断型问题：通常应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.4、对于位置探究型问题：通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，三棱柱的底面是等边三角形，平面平面，，，，O为的中点．

(1)求证：平面；(2)试问在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由．2．（2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点．(1)求证：平面平面；(2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由．3．（25-26高三下·浙江宁波·月考）如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形，，，，，M，N，K分别为的中点．(1)求证：平面；(2)棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由．4．如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.5．某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．题型4距离及其相关的探索性问题1、几何法求点面距（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．2、向量法求空间距离（1）点面距：已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（2）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量.（3）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量.1．（23-24高三下·天津南开·月考）如图，棱柱的底面是菱形，，所有棱长都为，，平面为的中点.

(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到直线的距离.2．（2026·山西太原·二模）如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，为线段上靠近的三等分点，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.3．（25-26高三下·云南曲靖·月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，PA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC．(1)求证：AD⊥PC；(2)求平面PCD与平面PAB的夹角；(3)在线段PB上是否存在一点M，使得直线PC与平面ADM垂直，如果垂直，求此时点M到平面PCD的距离，如果不垂直，说明理由．4．如图所示，四边形为平行四边形，四边形为直角梯形，，，平面平面ABEF.(1)若为DF的中点，证明：平面ACP；(2)若，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点到EF的距离.题型5翻折条件的技巧翻折问题的两个解题策略1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算1．（25-26高三上·湖北随州·期末）如图1，在中，，，D，E，F分别是，，的中点．将沿着线段翻折至的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，连接．(1)证明：．(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．2．（25-26高三上·重庆·月考）如图1，在平行四边形中，，，.现将沿着翻折至，使得点到达点的位置且平面平面（如图2），点是线段的中点，点在线段上.(1)求证:平面平面;(2)若平面，求二面角的余弦值.3．如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）.

(1)求证：平面；(2)若直线上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，求的值.4．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

(1)若为的中点，证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.5．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．

(1)求证：平面；(2)若，，则在线段上（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请指出点位置；若不存在，请说明理由．题型6立体几何新定义问题面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合.明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式.在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题.对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明.同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象.最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对.1．在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面的一般式方程.(2)求到直线的距离.(3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；(2)已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值.3．（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知；(1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）；(2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为.（ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值；（ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长.4．如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且.(1)证明：；(2)已知三棱锥，外接球球心为.①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值.5．（24-25高三下·甘肃白银·月考）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．(1)如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，．①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率．题型7建系技巧强化训练建立直角坐标系的原则1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意.4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的.5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略.1．（2026·陕西安康·三模）如图，圆台的上、下底面半径分别为2，3，侧面积为．(1)求圆台的高；(2)半轴截面与侧面交于PQ，且为下底面圆周上一点，．（i）求证：；（ii）求平面与平面CDR夹角的余弦值．2．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．3．（2026高三上·湖北孝感·专题练习）在三棱锥中，，，与平面所成的角为．(1)若，如图，过点作平面，分别交，于点，．求证：平面；(2)若，，求二面角的取值范围．4．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面．

(1)证明：；(2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；(3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值．5．（2026·安徽合肥·二模）如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.(1)证明：；(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值；(3)当时，求四棱锥体积的最大值.6．（2026·广东茂名·二模）如图，在矩形中，，，为的中点，把沿翻折至，为线段上的动点．(1)当为的中点时，证明：平面；(2)在翻折过程中，若在平面内的投影落在边上，且三棱锥的各个顶点均在球的球面上．（ⅰ）求球的半径；（ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值．1．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在五面体中，，，两两平行，，，．

(1)若为的中点，证明：平面；(2)若平面，，求二面角的正弦值．2．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形是一个梯形；其中，，现在沿着把折起到的位置，连接，，且使得，如图2所示.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.3．（25-26高三下·河北衡水·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，．

(1)求证：平面；(2)设，点为棱的中点，若二面角的正弦值为，求的值．4．（25-26高三上·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，平面，M，N分别是，的中点，平面．(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值．5．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，平面平面是边长为2的等边三角形，．(1)证明：；(2)若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离．6．（2026·广东肇庆·二模）如图，在三棱锥中，.(1)证明：；(2)若二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值.7．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，①求二面角的正弦值;②求点F到平面ADB的距离.8．（25-26高三上·黑龙江·月考）四棱锥，面，，，，，，M是PD中点.(1)求证：平面；(2)若，①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.9．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，为中点，．

(1)证明：平面；(2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．10．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点.

(1)求证：；(2)线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.11．（2026·山西吕梁·二模）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上一点，正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点.(1)证明：；(2)求四棱锥外接球的表面积；(3)若平面平面，平面平面，当直线与平面所成角的余弦值为时，求的长.12．（2026·湖北·二模）如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于.(1)求证：；(2)若三棱锥的体积为，（i）求直线与平面所成的角；（ii）当时，求二面角的余弦值.13．（2026·广东江门·一模）如图，在三棱柱中，，，，平面平面.(1)求证：；(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值.14．（25-26高三上·河南郑州·月考）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，为等边三角形，，平面平面，为棱的中点，为棱上一点（不含端点），，．(1)若，证明：平面；(2)是否存在，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．15．（25-26高三上·河北邯郸·月考）如图1，在平行四边形中，，，为的中点．现将沿折起，连接与，如图2．

(1)当时，证明：平面平面；(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．16．（2026·湖北·二模）如图1，在直角梯形中，，，，，点E是上靠近点D的三等分点，现将沿着折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；(2)若P，A，B，C在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面内；(3)若点F为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．17．（25-26高三下·重庆·开学考试）如图，在四棱锥，平面平面，，，(1)