2026年高考数学终极冲刺：专项05 导数及其应用7大题型 （大题专练）（全国适用）（原卷版）

1/2专项05导数及其应用内容导航【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分根据近五年全国卷考情，函数中导数的应用是高考解答题必考题目，通常作为压轴题的形式出现,考查的内容主要还是以含参为主;小题则重点考查三次函数的性质、导数的几何意义及利用导数比较大小等考点，分值约20-32分．命题趋势：解答题：稳定考查导数与函数的综合应用（常为第18至19题），核心是利用分类讨论、转化与化归、构造函数等策略解决导数的综合应用问题．2026年预测：解答题极可能仍会以含参形式的出现，热门考向为利用导数研究不等式恒成立、证明不等式及研究函数的零点．备考核心：夯实导数基础题型，掌握分类讨论、构造函数法，专攻极值最值与零点问题，限时训练规范步骤，总结易错点，真题限时演练提升速度．题型01利用导数解决不等式恒（能）成立问题析典例·建模型1．（2026·山东滨州·一模）已知函数．(1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．2．（25-26高三下·重庆·月考）已知，其中．(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围．研考点·通技法对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围.一般采用参编分离的思想，将参数移到一边，从而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围.对于含有两个参数的，一般是将两个参数转换成一个参数处理.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.破类题·提能力1．（2026·河北张家口·一模）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：；(3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围．2．（2026·云南·模拟预测）已知函数．(1)当时，证明：在上存在唯一零点；(2)证明：在上恒成立的充要条件是．题型02利用导数证明不等式析典例·建模型1．（2026·江苏·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的零点个数；(3)当时，证明：．2．（2026·广东深圳·一模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：.研考点·通技法利用导数证明不等式，核心是构造函数+单调性+最值.先移项构造新函数，求导判断其单调性，找到区间内的最值，证其恒正或恒负.复杂不等式可拆分证明、适当放缩，或利用常见不等式（如lnx≤x−1）间接推导；含参不等式要结合分类讨论，通过单调性确定参数范围，转化为最值问题求解.注重步骤规范，先构造再求导、定号、得单调性、证最值，逻辑清晰即可得分.破类题·提能力1．（2026·河北保定·一模）已知函数(1)当时，求的极值.(2)已知.（i）证明:；（ii）若在上恒成立，求实数t的取值范围.2．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，直线与曲线和都相切．(1)求的值；(2)若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．题型03极值点偏移问题析典例·建模型1．（2026陕西西安·模拟预测）已知函数，记．(1)讨论函数的单调性；(2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围；(3)已知，且，求证：．2．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)已知函数有两个零点，，且.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.研考点·通技法极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.破类题·提能力1．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知函数的导函数为.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，，求的取值范围；(3)设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：.2．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若在上有两个零点，求实数的取值范围；(3)若函数有两个极值点，，证明：．题型04利用导数研究隐零点问题析典例·建模型1.（2025·江西萍乡·模拟）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若=0，求的值；(3)证明：.研考点·通技法隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.基本步骤：第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:（1）要么消除最值式中的指对项（2）要么消除其中的参数项;从而得到最值式的估计.二、函数零点的存在性定理函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.三、隐零点的同构实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.四、一般思路针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间.破类题·提能力1.（2026·浙江·开学考试）已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：．2．（2026·陕西商洛·二模）已知函数，其中．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；(3)若R，对任意的恒成立，求的最小值．题型05利用导数研究函数的零点（方程的根）问题析典例·建模型1．（2026·云南·模拟预测）已知函数，．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若，都成立，求的取值范围；(3)若函数，证明有且仅有两个零点．2．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（是自然对数的底数）．(1)求曲线在原点处的切线方程；(2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围；(3)时，讨论关于的方程的根的个数．研考点·通技法利用导数研究函数零点（方程根），核心是数形结合、单调性、极值与端点效应.1.转化：将方程根的与函数零点互相转化，或分离参数转化为直线与曲线交点问题.2.求导分析：求定义域，求导并因式分解，判断单调性与极值点，确定函数图像走势.3.零点存在定理：计算极值与区间端点函数值，利用符号判断零点个数：极值正、负、零分别对应不同交点情况.4.分类讨论：含参问题按导数零点的大小、是否在定义域内分类，逐段分析单调性与最值.5.找点技巧：若函数值不易判断，可适当放缩、取特殊值，证明存在正负两点，锁定零点区间.整体思路：单调定趋势，极值定个数，符号定存在，参数分类论.破类题·提能力1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围．2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数．(1)若恰有两个零点，求实数的取值范围；(2)当时，证明：．题型06导数与数列的综合问题析典例·建模型1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数，，记的零点为.(1)求；(2)求数列中的最小项；(3)证明：2．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.(1)求;(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；(3)证明：对任意的，均有.研考点·通技法导数与数列综合题是高考导数压轴常见类型，核心思路为函数搭桥、赋值放缩、累加求和.1.先证函数不等式：利用导数研究函数单调性与最值，证明关键不等式，如lnx≤x−1、ex≥x+1等，这是解题基础.2.对变量赋值：将x替换为数列通项、相邻项比值等特殊形式，得到数列项之间的不等式关系.3.累加或累乘转化：对赋值后的不等式进行累加、累乘，转化为数列求和、求积问题，实现放缩目标.4.规范答题步骤：先完成导数部分的函数证明，再逐步赋值、变形、放缩，分步书写得分点，避免逻辑跳跃.此类题目本质是用导数工具得到放缩模型，再借助数列方法完成证明，分步拆解即可突破.破类题·提能力1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数.(1)证明：；(2)证明：；2．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数．(1)当时，①求的最小值；②设，求证:；(2)设，，是的两个极值点，求证：．题型07导数的新定义问题析典例·建模型1．（25-26高三上·广东汕头·期末）某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意与任意，总有成立.(1)设，求证：；(2)设，求证：；(3)某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中均为正数.研考点·通技法导数新定义题的核心是读懂定义、转化为常规导数问题.1.翻译定义：准确理解新符号、新运算、新性质，将其转化为函数、导数、单调性等熟悉语言.2.构造函数：依据定义构造合适函数，转化为求导、单调性、极值最值、零点等常规题型.3.分类讨论：对含参问题按定义域、导数零点、单调性分段讨论，结合定义约束条件求解.4.数形结合：借助图像理解新定义几何意义，判断交点、范围与存在性.整体策略：先翻译定义，再化归旧知，用导数工具求解，规范书写步骤.破类题·提能力1．（25-26高三上·宁夏银川·期末）定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）．(1)若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围；(2)证明：函数在上为“下凸函数”；(3)已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）．2．（25-26高三下·吉林长春·月考）已知函数．(1)求在点的切线方程；(2)，求实数的取值范围；(3)请阅读下列两段材料：材料1：阶导数定义：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即．材料2：一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：，且满足，．请根据以上材料回答下列问题：记为在处的阶帕德逼近函数，当时，求函数的最小值；并证明：．（其中为自然对数的底数）．（建议用时：100分钟）刷模拟1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有且仅有一个零点，求的值.2．（2026·河南南阳·一模）已知函数，其中，且．(1)当时，讨论的零点个数；(2)若恒成立，求的取值范围．3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数.(1)讨论的图象与直线的交点个数.(2)已知函数，有五个不同的零点，且，求的取值范围.4．（2026·天津河东·一模）已知函数（）.(1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围；(2)函数（），有三个不同的极值点，，，；（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明.5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若，.（ⅰ）求；（ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.6．（2026·江苏扬州·一模）已知函数的一个极值点是．(1)求a与b的关系式；(2)求出的单调区间；(3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围．7．（25-26高三上·广西·期末）已知函数，．(1)求在内的单调性；(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．8．（25-26高三上·四川成都·月考）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（IsaacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.

(1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值；(2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题：（i）求数列的通项公式，并将的长度用表示；（ii）求证：.刷真题1．（2026·上海·春季高考）已知函数.(1)当，，求函数在处的切线方程；(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数.证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．3．（2025·