长方体和正方体基础+拓展+提高练习题

长方体和正方体基础+拓展+提高练习题在我们的日常生活中，长方体和正方体是最为常见的立体图形之一。从我们居住的房屋到手中的书本，从包装盒到积木玩具，它们的身影无处不在。掌握长方体和正方体的相关知识，不仅能帮助我们解决实际问题，更能培养空间想象能力和逻辑思维能力。本文将从基础概念入手，逐步深入到拓展应用，并辅以精选的提高练习题，帮助你全面掌握这部分知识。一、基础知识回顾与巩固（一）核心概念与性质1.长方体：由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。它有8个顶点，12条棱（相对的棱长度相等，可分为3组，每组4条棱长度相同），6个面（相对的面面积相等）。2.正方体：长、宽、高都相等的长方体，也叫立方体。它的6个面都是正方形，并且6个面的面积都相等，12条棱的长度都相等。正方体是特殊的长方体。（二）重要计算公式1.棱长总和：*长方体棱长总和=(长+宽+高)×4*正方体棱长总和=棱长×122.表面积：立体图形所有面的面积之和。*长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2*正方体表面积=棱长×棱长×6*（注意：在实际问题中，可能会遇到不需要计算所有面面积的情况，如无盖的鱼缸、粉刷墙壁等，需根据具体情况调整计算。）3.体积（容积）：物体所占空间的大小叫做体积；容器所能容纳物体的体积叫做容积。*长方体体积（容积）=长×宽×高*正方体体积（容积）=棱长×棱长×棱长*通用公式：体积=底面积×高(V=Sh)*（体积和容积的计算方法相同，但单位可能不同。体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米；容积单位除了立方分米、立方厘米，还常用升和毫升。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。）（三）基础练习题1.填空题：*一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米。它的棱长总和是（）厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。*一个正方体的棱长是6分米，它的棱长总和是（）分米，表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。*一个长方体的铁盒，长10厘米，宽8厘米，高5厘米。做这个铁盒至少需要（）平方厘米的铁皮。（假设无盖）*一个正方体的魔方，它的底面积是25平方厘米，它的体积是（）立方厘米。2.判断题：*正方体是特殊的长方体。（）*长方体的6个面一定都是长方形。（）*两个体积相等的正方体，它们的棱长一定相等。（）*体积单位比面积单位大。（）3.解决问题：*一个长方体的游泳池，长50米，宽25米，深2米。要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？*一个长方体油箱，从里面量长6分米，宽5分米，高4分米。这个油箱最多能装多少升汽油？二、知识拓展与应用在掌握了基础公式和计算后，我们来看看长方体和正方体知识在更复杂情境下的应用。这部分内容需要我们更灵活地运用公式，并结合实际情况进行分析。（一）拓展知识点1.棱长变化对表面积和体积的影响：*若正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其棱长总和扩大到原来的n倍，表面积扩大到原来的n²倍，体积扩大到原来的n³倍。*长方体的长、宽、高若分别扩大到原来的a倍、b倍、c倍，则体积扩大到原来的a×b×c倍。2.不规则物体体积的测量：利用排水法。将不规则物体放入盛有水的规则容器（如长方体或正方体容器）中，水面上升部分的体积就是该不规则物体的体积。3.立体图形的切割与拼接：*切割：将一个长方体或正方体切割成几个小的立体图形，表面积会增加（增加的是切割面的面积），体积不变。*拼接：将几个小的长方体或正方体拼接成一个大的立体图形，表面积会减少（减少的是拼接面的面积），体积不变。（二）拓展练习题1.一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（）倍，体积扩大到原来的（）倍。2.一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米。如果把它的长增加2厘米，宽和高不变，那么它的体积增加了（）立方厘米。3.一个长方形容器，从里面量长20厘米，宽15厘米，高10厘米，里面水深8厘米。现将一块石头完全浸没在水中，水面上升到9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？4.把两个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？与原来两个正方体的表面积之和相比，减少了多少平方厘米？三、综合提高与思维训练这部分题目需要你综合运用所学知识，进行更深入的思考和分析，有时还需要结合一些数学思想方法，如转化、分类讨论等。提高练习题1.一个长方体木块，长10厘米，宽8厘米，高5厘米。现在要把它锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少？剩下部分的体积是多少？2.一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长6分米，宽4分米，高3分米。*制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？*如果往鱼缸里注入40升水，水深大约是多少分米？（玻璃厚度忽略不计）*再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。这些鹅卵石的体积一共是多少立方分米？3.一个长方体，如果高增加2厘米就变成一个正方体，并且表面积增加了56平方厘米。原来这个长方体的体积是多少立方厘米？4.用三个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？5.一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的小正方体若干块（棱长为原正方体棱长的几分之一）。如果一面涂色的小正方体有6个，那么两面涂色的小正方体有多少个？没有涂色的小正方体有多少个？练习题参考答案与提示一、基础知识回顾与巩固（三）基础练习题1.填空题：*48，94，60*72，216，216*260（提示：无盖，少一个长×宽的面：10×8+(10×5+8×5)×2）*125（提示：底面积=棱长×棱长=25，所以棱长=5）2.判断题：*√*×（可能有两个相对的面是正方形）*√*×（单位不同，无法比较）3.解决问题：*1550平方米（提示：50×25+(50×2+25×2)×2=1250+300=1550）*120升（提示：6×5×4=120立方分米=120升）二、知识拓展与应用（二）拓展练习题1.9，272.12（提示：增加的体积=2×3×2=12）3.300立方厘米（提示：20×15×(9-8)=300）4.表面积：90平方厘米，体积：54立方厘米，减少了18平方厘米。（提示：拼成的长方体长6厘米，宽3厘米，高3厘米。表面积=(6×3+6×3+3×3)×2=(18+18+9)×2=45×2=90；体积=6×3×3=54。减少了两个3×3的面：3×3×2=18）三、综合提高与思维训练提高练习题1.正方体体积：125立方厘米，剩下部分体积：275立方厘米。（提示：最大正方体棱长为5厘米，体积=5×5×5=125；原长方体体积=10×8×5=400，剩下=____=275）2.*84平方分米（提示：6×4+(6×3+4×3)×2=24+(18+12)×2=24+60=84）*约1.67分米（提示：40升=40立方分米，40÷(6×4)=40÷24≈1.67）*7.2立方分米（提示：6×4×0.3=7.2）3.245立方厘米。（提示：高增加2厘米变成正方体，说明原长方体长和宽相等，且比高大2厘米。表面积增加的56平方厘米是4个相同的长方形的面积之和，每个长方形的长为原长方体的长（或宽），宽为2厘米。所以一个面的面积=56÷4=14平方厘米，原长（宽）=14÷2=7厘米，原高=7-2=5厘米。体积=7×7×5=245）4.202平方厘米。（提示：要使拼成的大长方体表面积最小，应把最大的面拼在一起。即把5×4的面拼合。拼成后的大长方体长5厘米，宽4厘米，高3×3=9厘米。表面积=(5×4+5×9+4×9)×2=(20+45+36)×2=101×2=202）5.两面涂色的小正方体有12个，没有涂色的小正方体有1个。（提示：一面涂色的小正方体在每个面的中间。6个面，每个面有1个一面涂色的，说明每个面中间有1个，那么原正方体每条棱上有1+2=3个小正方体（