矩形的判定（课件）华东师大版八年级数学下册

矩形的判定矩形问题1：矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.问题2：矩形有哪些性质？边角对角线对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.思考：你还有其他的判定方法吗？平行四边形矩形一个角是直角ABCDABDC

【思考】有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？作一个三个角都是直角的四边形.试一试1.任意作两条互相垂直的线段AB、AD；2.过点B作垂直于AB的直线l；3.过点D作垂直于AD的直线m，

与直线l相交于点C.四边形ABCD即为所要求作的四边形.ABDClm观察你所作的图形，它是一个矩形吗？怎么证明？已知：如图，在四边形ABCD

中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD

是矩形.

证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形

ABCD

是平行四边形.∴四边形

ABCD

是矩形.ABCD归纳几何语言：矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.如图，∠AOB

是一个直角，任意一点P

到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______．121.对角线相等的四边形是矩形吗？思考不一定，等腰梯形的对角线也相等.2.需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形

是矩形吗？作一个对角线相等的平行四边形.试一试作法：1.任意作两条相交的直线，交点记为O；OABCD2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，

在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；3.顺次连结所得的四点.四边形ABCD

的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形.你能证明吗？已知:四边形ABCD

是平行四边形，AC=DB.求证:四边形ABCD

是矩形.DABC证明：∵

四边形ABCD

是平行四边形，∴AB=DC.又∵AC=DB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB.∵

AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.∴四边形ABCD

是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).归纳几何语言：矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求.例4如图，点O

是矩形ABCD

的对角线AC

与BD

的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO

上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH

是矩形.ABCDOEFHG分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证.证明

∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AC=BD；

∴

AO=BO=CO=DO.ABCDOEFHG∵

AE=BF=CG

=DH，∴

OE=OF=OG=OH.∴

四边形

EFGH

是平行四边形.∵

EO+OG=FO+OH，∴

EG=FH.∴四边形

EFGH

是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.1.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）DABCD2.如图，在Rt△ABC

中，∠A

＝90°，AB＝3，AC

＝4，

D

是斜边BC

上的一个动点，过点D

分别作DM⊥AB

于点M，DN⊥AC

于点N，连结MN，则线段MN

的

长的最小值为_______.ABDCMN2.4【选自教材第119页练习第1题】如图，AB、CD

是⊙O

的两条直径，四边形ACBD

是矩形吗？证明你的结论，解:四边形ABCD是矩形.证明如下:∵

AB、CD是☉O的两条直径，∴

OA＝OB，OC＝OD，∴四边形ACBD是平行四边形.又∵

AB＝CD，∴四边形ACBD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).ADBCO【选自教材第119页练习第2题】2.如图，在□ABCD

中，∠1=∠2.此时，四边形ABCD

是矩形吗？为什么？解:四边形ABCD是矩形.理由如下：

又∵∠1＝∠2，∴

OA＝OB.∴

AC

＝BD.∴

四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.∵四边形ABCD是平行四边形，ABDCO21解:∵AC与EF互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF.又∵∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE.∴AF＝CE，∠OAF＝∠OCE.∴CD∥AB.∵BF＝DE，∴BF+AF＝DE+CE，即AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).3.如图，在四边形ABCD

中，BF=DE，AC与EF互相平分

并相交于点O，∠B=90°.求证：四边形ABCD是矩形.【选自教材第119页练习第3题】DABCFEO矩形的判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.矩形性质与判定的综合运用矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形性质判定矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.例5如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD

和BCD

组成的，M、N

分别为BC、AD

的中点.求证：四边形BMDN

是矩形.ABCDMN分析：由已知条件，可知BN⊥

AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB=∠CDB=60°.又∵M、N分别为BC、AD的中点，

∴∠DNB=∠DMB=90°,∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°.∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形.ABCDMN例6如图，在△ABC中，AB=AC，AD

⊥BC，垂足为点D，AG

是△ABC

的外角∠FAC

的平分线，DE//AB，交AG

于点E.求证：四边形ADCE

是矩形.分析：根据已知条件AB=AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.ABCDEGF证明∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠ACB，BD=DC.又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，

又∵DE//AB，∴AE//BC.∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD，AB=DE.∴AC=DE，AE=DC.∴四边形ADCE是平行四边形.∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.ABCDEGF如图，在▱ABCD

中，过点B作BE

⊥CD于点E，点F

在边AB上，AF＝CE，连结DF、CF.（1）求证:四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB

时，若CE

＝3，BE

＝4，求CD的长.ABCDEFABCDEF（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD，AB＝CD.∵AF＝CE，∴AB－AF

＝CD－CE，即BF

＝DE，∴四边形

DFBE

是平行四边形.∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∴▱DFBE是矩形.ABCDEF（2）解:在Rt△BEC中，∵BE＝4，CE＝3，

∵CF平分∠DCB，∴∠DCF

＝∠BCF.∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴CB＝BF.∴DE＝BF＝CB＝5，∴CD＝CE+DE＝3+5＝8.【选自教材第120页练习第1题】如图，AD、AE

分别是△ABC

的内角∠BAC

和外角∠BAF

的平分线，BE

⊥AE，DA

⊥

BC，求证：四边形AEBD

是矩形.ACFBDE提示：已知有两个直角，再找出一个直角，就能运用判定定理1.∵BE⊥AE，DA⊥BC，∴∠AEB＝∠ADB＝∠DAE

＝90°.∴四边形AEBD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).即∠DAE＝90°.证明:∵AD、AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，

∵∠BAC＝∠BAF＝180°，

ACFBDE【选自教材第120页练习第2题】2.一个四边形满足：它的每个顶点到其他三个顶点的距离

之和相等，试证明该四边形为矩形.解:已知:在四边形ABCD中，AB

+AC

+AD＝BA

+BC

+BD

＝CA+CD+CB＝DA+DB+DC.求证:四边形ABCD是矩形.ABDC证明:∵AB+AC+AD＝CA+CD+CB，∴AB+AD＝CD+CB①.∵BA+BC+BD

＝DA+DB+DC，∴BA+BC＝DA+DC②.①＋②，得2AB+AD+BC＝2CD+AD+BC，即AB＝CD.∵AB+AD＝CD+BC，∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).∵AB+AC+AD＝BA+BC+BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).ABDC3.如图，将□

ABCD

的边DC

延长到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC=2∠D，连结AC、BE.

求证：四边形ABEC

是矩形.【选自教材第120页练习第3题】ABCDEF证明:如图.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC.∵CD＝CE，∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形.∴AE＝2EF，BC＝2CF.∵AD∥BC，∴∠D

＝∠2.∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AFC＝2∠D，∴2∠D

＝∠1+∠2，∴2∠2＝∠1+∠2，∴∠１＝∠2，∴EF＝CF.∴

AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).ABCDEF12灵活运用定理进行计算和证明直角三角形斜边上的中线的性质矩形问题：矩形的对角线有哪些性质？ABCDOAC=BD，AO=OC，BO=OD.擦去半个矩形ABCOBO

与斜边AC有什么关系？例4如图，在RtABC

中，BO为斜边AC

上的中线.

证明：如图，延长

BO至点D，使OD=OB，连结AD

和CD.在四边形ABCD中，∵

OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形.

ABCOD归纳几何语言：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO为斜边AC上的中线，

试一试直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.写出上述结论的逆命题，试判断该逆命题是否成立.条件结论原命题逆命题如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半.那么这个三角形是一个直角三角形.如果一个三角形是直角三角形.那么这个三角形斜边上的中线等于该边的一半.ABCO

∴

BO=OA=OC，∴

△OAB和△OBC

都是等腰三角形，∴∠1=∠2，∠3=∠4，1234又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°所以△ABC

是直角三角形.归纳几何语言：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形.

∴△ABC为直角三角形.ABCO1.如图，在Rt△ABC

中，∠ABC

＝90°，∠C

＝60°，

D

为边AC

的中点，且BD

＝2，则BC

的长为()A.4

B.3

C.2

D.1ABCDC2.如图，BN

、CM

分别是△ABC

的两条高，D

、E分别是BC、MN

的中点．（1）求证:DE⊥MN；ABCDMEN证明:如图，连结DM

、DN．∵BN

、CM