高三数学一轮复习课时作业第七章第三节空间点直线平面之间的位置关系

课时作业A组——基础对点练1．若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．答案：D2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()A．4个 B．3个C．2个 D．1个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．答案：A3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案：D4．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.答案：B5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交，充分性成立；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行，则A，B，C，D四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件．答案：A6．(2018·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析：依题意知，A、B、C均不能得出α⊥β.对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.答案：D7．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1DA．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．答案：A8．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，直线m，n可能异面；易知②正确；对于③，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，错误；对于④，当直线n∥l时，不能推出两个平面垂直．故真命题的个数为1.故选B.答案：B9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：将α，β分别换成直线a，b，则命题变为“a∥b，a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题；将α，γ分别换成直线a，b，则命题变为“a∥β，a⊥b⇒β⊥b”是假命题；将β，γ分别换成直线a，b，则命题变为“α∥a，α⊥b⇒a⊥b”是真命题，故真命题有2个．答案：C10．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β，所以①正确；若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α，所以②正确；设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.答案：①②11.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)①EF与GH平行②EF与GH异面③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上④EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝eq\f(1,2)BD，FG＝eq\f(2,3)BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．答案：④12．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．答案：3B组——能力提升练1．(2018·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．故选B.答案：B2．(2018·贵阳监测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：A：m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；D：只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B.答案：B3．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是()①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.A．1 B．2C．3 D．4解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故①正确；由于不能确定直线m，n相交，不符合线面垂直的判定定理，故②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故③正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，可得l∥n，故④正确．答案：C4．(2018·宁波模拟)下列命题中，正确的是()A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条解析：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.答案：D5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D6．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故①错误；②因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故②正确；③过直线m作平面γ交平面β于直线c，因为m，n是两条异面直线，所以设n∩c＝O.因为m∥β，m⊂γ，γ∩β＝c，所以m∥c.因为m⊂α，c⊄α，所以c∥α.因为n⊂β，c⊂β，n∩c＝O，c∥α，n∥α，所以α∥β，故③正确；④由面面垂直的性质定理可知④正确．答案：C7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F.则下列命题中真命题有()①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1BED1F的体积均不变．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：当点E为棱CC1中点时，A1C1∥EF，可得A1C1∥平面BED1F；因为B1D与BD1不垂直，因此B1D⊥平面BED1F不成立；因为正方体的体对角线BD1与平面A1C1D垂直，因此平面A1C1D⊥平面BED1F；四棱锥B1BED1F的体积等于2VB1BED1＝2VD1BEB1＝2×eq\f(1,3)·D1C1·eq\f(1,2)·BB1·BC为定值，故选D.答案：D8．直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CCA.eq\f(1,10) B．eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10) D．eq\f(\r(2),2)解析：如图，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊eq\f(1,2)B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝eq\r(6)，AN＝eq\r(5)，AD＝eq\r(5)，因此cos∠AND＝eq\f(ND2＋NA2－AD2,2ND·NA)＝eq\f(\r(30),10).答案：C9．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.eq\f(1,6) B．eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3) D．eq\f(\r(3),3)解析：设正四面体ABCD的棱长为2.如图，取AD的中点F，连接EF，CF.在△ABD中，由AE＝EB，AF＝FD，得EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD＝1.故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角．在△ABC中，CE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)；在△ADC中，CF＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\r(3).在△CEF中，cos∠CEF＝eq\f(CE2＋EF2－CF2,2CE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋12－\r(3)2,2\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),6).所以直线CE与BD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6).答案：B10．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m与n是异面直线，故D不正确．答案：D11．在长方体ABCDA1B1C1D1中，过点A，C，B1的平面与底面A1B1C1D解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，平面A1B1C1D1∩平面ACB1＝l，由面面平行的性质定理得AC∥l.答案：平行12．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③