小学数学五年级下册410最小公倍数（指向核心素养的单元整体教学设计）

小学数学五年级下册-410最小公倍数（指向核心素养的单元整体教学设计）

一、教学内容解析与基准定位

本课“最小公倍数”是人教版五年级下册第四单元“分数的意义和性质”的种子课，隶属于“数与代数”领域。在此之前，学生已经掌握了倍数、公因数与最大公因数的概念及求法，这为本课的学习提供了扎实的认知基础和方法的正迁移可能。在此之后，最小公倍数是学习通分、进行异分母分数大小比较和加减运算的关键前提，也是后续学习“解决问题”中涉及周期性事件的基础。

从数学本质上看，公倍数是倍数概念的延伸，体现的是两个或多个自然数在无限集合中的一种包含关系；而最小公倍数则是这种关系的“界点”，具有唯一性和最优性。从核心素养角度切入，本课不仅仅是一个计算技能的习得，更是培养学生数感、推理意识、模型意识和抽象能力的绝佳载体。因此，本课的教学设计不应仅停留在“会求”的操作层面，而应引导学生经历数学化的过程，深刻理解公倍数的内涵，体会知识的产生与发展价值。

【重要-高频考点】本课的核心在于概念的理解与方法的建构。需明确两点：一是公倍数是指两个数公有的倍数，由于倍数的无限性，公倍数个数无限，因此不存在最大公倍数，只有最小公倍数；二是最小公倍数的求法多样，包括列举法、筛选法、分解质因数法、短除法等，这些方法之间具有内在一致性，本质是寻找两个数质因数集合的并集。

【难点】学生易将最小公倍数与最大公因数的概念混淆，尤其是在解决实际问题时，难以准确判断是求公因数还是公倍数。此外，对于特殊关系的两个数（如倍数关系、互质关系）的最小公倍数规律的总结，需要经历充分的归纳过程。

二、教学目标分层设计

基于课程标准的学段目标与核心素养导向，结合学生认知发展水平，本课教学目标设定如下：

（一）基础目标（面向全体，落实双基）

1.知识与技能：理解公倍数和最小公倍数的意义，能在集合圈或数轴上准确表示两个数的公倍数。

2.过程与方法：掌握求两个数的最小公倍数的基本方法（列举法、筛选法），能熟练求出100以内两个数的最小公倍数。

3.情感态度：在探究活动中感受数学与生活的联系，初步形成合作交流的意识。

（二）发展目标（面向多数，培养关键能力）

1.【重要】思维与推理：通过“铺砖问题”的探究，经历观察、操作、猜想、验证的过程，发展合情推理和演绎推理能力，建立数形结合思想。

2.抽象与概括：在对比不同求法的过程中，提炼出求最小公倍数的本质，并能归纳出特殊情况下（倍数关系、互质关系）求最小公倍数的简便规律。

（三）高阶目标（面向学有余力，培育核心素养）

1.【非常重要】模型意识：能够从现实情境中抽象出公倍数模型，区分“公因数”模型与“公倍数”模型的本质差异，并运用模型解决简单的实际问题。

2.结构认知：构建知识网络，厘清“因数-公因数-最大公因数”与“倍数-公倍数-最小公倍数”两条知识链的平行与交织关系，为后续学习约分、通分奠定结构化基础。

三、教学准备与资源整合

1.学具准备：每小组配备若干张长3厘米、宽2厘米的长方形卡纸（模拟墙砖）；方格纸（模拟墙面）；彩笔。

2.教具准备：交互式电子白板课件，内置可拖拽的长方形模型、数轴动画演示、集合圈动态生成效果。

3.前置性小研究（导学案前置）：请写出几个2的倍数和3的倍数，并观察它们有什么共同的数？你能找到最大的一个吗？能找到最小的一个吗？

四、【核心环节】教学实施过程深度设计

（一）唤醒经验，冲突引入—激活“公”的意识

1.游戏热身，唤起旧知

上课伊始，组织学生进行报数游戏。请学号是2的倍数的同学起立，再请学号是3的倍数的同学起立。

【基础】观察：哪些同学起立了两次？为什么？

学生发现，起立两次的同学，他们的学号既是2的倍数，又是3的倍数。教师顺势引导：6、12、18……既是2的倍数，又是3的倍数，我们可以说它们是2和3“公有”的倍数，简称为“公倍数”。

2.设疑引入，激发探究

课件出示生活情境：王叔叔家的卫生间地面要铺瓷砖。瓷砖有两种规格，一种是长3分米、宽2分米的长方形，另一种是长5分米、宽3分米的长方形。他想用一种规格的瓷砖铺成一个正方形（要求整块数，不切割），你们猜猜，他该选哪一种？为什么？

【热点】这一设问立即引发认知冲突。学生凭借直觉可能猜测第一种可以，但说不出所以然；也可能有学生提出疑问，从而自然过渡到探究环节。教师不急于给出结论，而是将问题聚焦于第一种瓷砖。

（二）操作探究，建构概念—经历“数学化”过程

1.明确任务，聚焦问题

出示例3核心问题：用长3dm、宽2dm的长方形墙砖铺一个正方形。铺成的正方形边长可以是多少分米？最小是多少分米？

【非常重要】引导学生仔细审题，圈画出关键条件：“整块”“正方形”。组织学生用自己的语言解释“整块”的含义——不能切割，必须用完整的长方形铺满。

2.动手操作，数形结合

（1）小组合作探究：利用手中的长方形纸片在方格纸上摆一摆、画一画，尝试拼出一个正方形，并记录拼出的正方形的边长。

（2）教师巡视指导，捕捉典型资源：有的小组可能摆出边长6厘米的正方形；有的可能摆出边长12厘米的；还有的可能没有成功，只摆出了长方形。

（3）汇报展示，对话思辨

请成功摆出正方形的组上台展示。

教师追问：你用长3、宽2的长方形，怎么拼出的正方形？用了多少块？

学生演示：长边3，要拼成正方形，需要2个长边并排，但宽边2要拼成同样的长度，就需要3排。所以拼出的正方形边长是6。

教师结合多媒体演示，动态呈现铺满的过程。引导学生观察：6与2和3有什么关系？

【难点突破】学生通过观察不难发现，6既是2的倍数，也是3的倍数。

继续追问：如果不用学具，你能想象出边长是12的正方形怎么铺吗？需要多少块？12与2、3又有什么关系？

学生在脑海中建构图形，推理得出：12也是2和3的倍数。

3.抽象概念，揭示内涵

（1）归纳特征：大家拼出的6、12、18……这些正方形的边长，在数学上就是2和3的“公倍数”。（板书：公倍数）

（2）集合圈建模：利用课件动态展示2的倍数集合、3的倍数集合，然后将其重叠，突出交集部分就是2和3的公倍数。

（3）【高频考点】追问：能拼出边长是4的正方形吗？9呢？为什么？

生：4只是2的倍数，不是3的倍数；9只是3的倍数，不是2的倍数。所以不行。这深刻揭示了“公”字的含义——必须同时具备，缺一不可。

（4）引出最小公倍数：在这些公倍数中，6是最小的一个，我们称之为2和3的最小公倍数。（板书完整课题）

（三）方法建构，优化策略—实现“算法”与“算理”融合

1.回顾求法，暴露思维

出示问题：怎么求6和8的最小公倍数？

【基础】鼓励学生独立尝试，用自己喜欢的方法找出6和8的最小公倍数。

预设学生可能出现以下方法：

【1】列举法：分别列出6和8的倍数，再找公倍数。这是最基础、最直观的方法，也是理解概念的根本。（重要）

【2】筛选法：先列出8的倍数，再看这些倍数中哪些是6的倍数，第一个找到的就是最小公倍数。这种方法更具优化意识。

【3】分解质因数法：6=2×3，8=2×2×2，将共有的和一个独有的因数相乘，2×3×2×2=24。

【4】短除法：用公因数连续去除，除到商互质，将所有除数和商相乘。

【非常重要】引导学生对比这些方法，发现它们的本质联系：无论是哪种方法，本质都是将两个数分解，然后取它们所有质因数的“最大集合”（即并集）。

2.观察比较，发现规律

出示几组有特殊关系的数，快速说出它们的最小公倍数：

3和6、5和10（倍数关系）

2和3、4和5（互质关系）

【热点】学生通过口算，能快速说出答案。小组讨论：你发现了什么秘密？

总结规律：

（1）【高频考点】当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。

（2）【高频考点】当两个数互质（公因数只有1）时，它们的乘积就是它们的最小公倍数。

教师强调：这是在特定条件下的简便算法，但不能替代对概念本质的理解。

3.深度辨析，区分模型

【重要-难点】出示对比题组：

（1）把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪成边长是整厘米数的正方形，刚好剪完，没有剩余。正方形的边长最大是多少厘米？这是求什么？（最大公因数）

（2）用一种长18厘米、宽12厘米的长方形瓷砖铺成一个正方形，刚好铺满，不切割。正方形的边长最小是多少分米？这是求什么？（最小公倍数）

引导学生从“剪”（分割）与“铺”（拼组）的不同动作中，辨析公因数与公倍数的现实意义。剪是求小的，是求因数；铺是求大的，是求倍数。

（四）分层练习，综合应用—实现“知识”向“素养”转化

1.基础练习（面向全体，巩固概念）

（1）直接说出下列每组数的最小公倍数：4和6；8和6；9和18；7和8。

（2）判断：两个数的公倍数一定比这两个数都大。（）（强调：可能等于较大数）

2.综合练习（面向多数，情境应用）

【热点】生活中的公倍数：

（1）公交调度：3路公交车每6分钟发一班，5路公交车每8分钟发一班。早上6：00两车同时发车，下一次同时发车是什么时刻？

（2）浇花问题：李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，月季每4天浇一次，君子兰每6天浇一次。至少多少天后需要再次给这两种花同时浇水？

（3）【非常重要】辨析：小刚每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆。今天两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们再次相遇？

引导学生在问题中提炼关键词“至少”“再次同时”，明确这就是在求最小公倍数。

3.拓展练习（面向学优生，挑战思维）

【高频考点】想一想：两个数的最小公倍数是12，这两个数可能是多少？你能全部找出来吗？

（引导学生有序思考：考虑互质关系、倍数关系、一般关系，列举出所有数对，如3和4、4和6、2和12、3和12、1和12等，培养思维的缜密性和全面性。）

（五）课堂总结，构建网络—实现“碎片”向“结构”跃迁

1.回顾梳理

引导学生从知识和方法两个层面回顾：

今天我们研究了什么？我们是怎样研究的？（从生活问题出发—动手操作—抽象概念—探究方法—应用规律）

2.对比联系

对比“最大公因数”的学习过程，你有什么发现？

【非常重要】引导学生自主构建知识树：我们学习“数”的关系，就像爬山，有两条路：一条是因数之路（因数—公因数—最大公因数），一条是倍数之路（倍数—公倍数—最小公倍数）。这两条路在约分和通分那里汇合了。这种结构化认知，将为后续学习打下坚实基础。

五、导学案设计（指向自主探究的前置学习）

【导学目标】通过前置学习，唤醒已有知识经验，初步感知公倍数的存在，为课堂深度探究提供起点。

【导学流程】

（一）知识链接（我回顾）

1.写出20以内2的倍数：_______________

2.写出20以内3的倍数：_______________

3.观察上面两组数，你发现哪些数既出现在2的倍数中，又出现在3的倍数中？______________________________

这些数叫做2和3的（）。

（二）新知初探（我尝试）

1.【基础】阅读课本第68-69页，试着用自己的话说一说什么叫公倍数？什么叫最小公倍数？

2.【操作】请你画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，想一想，如果用若干个这样的长方形拼成一个正方形，拼出的正方形的边长可能是多少厘米？（可以画图，也可以计算）

（三）质疑问难（我提问）

在预习过程中，你遇到了什么困惑？或者你想提醒大家注意什么？

我的困惑：__________________________________

六、作业设计（指向素养发展的分层作业）

【设计理念】作业设计摒弃机械重复的单纯计算，注重基础性、应用性与探究性的统一，体现“教-学-评”一致性。

（一）基础性作业（必做，巩固概念）

【基础】求下列每组数的最小公倍数。

12和1815和207和911和33

（二）应用性作业（必做，发展模型意识）

【重要】

1.暑假期间，小华和小明都去参加游泳培训。小华每3天去一次，小明每4天去一次。7月20日两人同时去了，下一次两人同时去是几月几日？

2.一种学生用的长方形记事本，长20厘米，宽15厘米。如果用这种记事本拼成一个正方形展示墙，至少要多少本？

（三）探究性作业（选做，培养高阶思维）

【热点】【非常重要】

1.已知a是b的3倍，那么a和b的最小公倍数是（）。

2.已知a和b是互质数，那么a和b的最小公倍数是（）。

3.思维拓展：有一盒糖果，无论是平均分给8个小朋友，还是平均分给10个小朋友，都正好剩3块。这盒糖果至少有多少块？

（提示：先思考如果没有剩余应该是多少块，