菱形的性质（课件）华东师大版八年级数学下册

菱形的性质菱形

【动手操作】将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ADBC在

□

ABCD

中，当AB=AD

时，四边形ABCD

是菱形.★菱形是特殊的平行四边形.★平行四边形不一定是菱形.菱形也是常见的几何图形.窗格中国结活动挂架你还能举出一些例子吗？思考对称性边角对角线平行四边形的一般性质菱形的特殊性质观察所示的菱形，将你的发现填入下表.ABCD中心对称对边平行且相等对角相等对角线互相平分问题1菱形是中心对称图形吗？菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.ABCD菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.问题2菱形的四边在数量上有什么关系？ABCD用尺子量一量.AB=5cmBC=5cmCD=5cmDA=5cm猜想1：菱形的四条边都相等.已知：四边形

ABCD

是平行四边形，AB=AD.求证：AB=

BC=CD=DA.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC

(平行四边形的对边相等).又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD.ABCD问题3菱形的两条对角线有什么关系？ABCD猜想2：菱形的对角线互相垂直.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：AC⊥BD.证明：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴

AO⊥BD，即AC⊥BD.ABCDO归纳菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD.ABCD菱形的性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直.几何语言：∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AC

⊥

BD.对称性边角对角线平行四边形的一般性质菱形的特殊性质中心对称对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称轴对称四条边都相等对角相等对角线互相平分且垂直现在你会填吗？试一试.问题4你会求菱形的面积吗？ABCD∵菱形是平行四边形.∴菱形的面积=底×高.ES菱形ABCD

=AB·DE已知两条对角线的长，你会求菱形的面积吗？ABCD如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.解：∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD

=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO

=AC·(BO+DO)

=AC·BD.

O菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半例1如图，在菱形ABCD

中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC

是等边三角形.解在菱形ABCD中，∵

∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，∴∠B=60°.在菱形ABCD中，∵

AB=BC(菱形的四条边都相等），

∠B=60°，∴△ABC是等边三角形.BCDA1.关于菱形的性质，以下说法不正确的是()A.四条边相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是中心对称图形B2.如图，四边形ABCD

是菱形，对角线AC、BD

相交

于点O.若AC

＝6cm，BD

＝8cm，则菱形的边长为（）A.5cmB.7cmC.10cmD.14cmA3.中国结寓意团圆、美满．如图，小芳家有一个菱形

中国结装饰，测得BD

＝8cm，AC

＝6cm，

则该菱形的面积为_____cm2．244.如图，在菱形ABCD

中，AE

⊥BC

于点E，AF

⊥CD

于点F．若∠B

＝40°，则∠EAF

的度数为()A.50°B.42°C.40°D.30°C【选自教材第129页练习第1题】如图，在菱形ABCD

中，AB=5，OA=4.求该菱形的周长和两条对角线的长.解:四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD

的周长＝4AB

＝4×5＝20，OA＝OC＝4，OB＝OD，AC

⊥BD，∴AC＝8，∠AOB＝90°.ACBDO

∴BD＝2OB

＝6.∴菱形的周长为20，两条对角线的长分别为8和6.【选自教材第129页练习第2题】2.试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.解:如图.在菱形ABCD中，AC⊥BD，S菱形ABCD

＝S△ACD

+S△ABC

即菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.

OBDAC解:如图，设AC与BD的交点为O.∵四边形ABCD是菱形，BD＝12，3.如图，在菱形ABCD

中，AB=10，BD=12.求该菱形的面积.【选自教材第129页练习第3题】

∴AC＝2OA＝16.

两组对边分别平行有一个角是直角四边形平行四边形矩形一组邻边相等菱形性质边对角线面积菱形性质的运用菱形菱形的性质定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.特殊性质四条边都相等对角线互相垂直是轴对称图形菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半例2如图，已知菱形ABCD

的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD

相交于点O.求这个菱形的两条对角线AC

和BD

的长（保留根号）.ADBCOADBCO解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，

AB=AD（菱形的四条边都相等）.又∵AO=AO，∴△ABO≌△ADO.

在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=2(cm).在菱形ABCD中，∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直），∴△AOB为直角三角形.

ADBCO例3如图，菱形ABCD

的对角线AC

与BD

相交于点O，AE

垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD

的大小.解:∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等）.又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD.∴AC=AD=DC=CB=BA，即△ADC和△ABC都是等边三角形.∴∠ACD=∠ACB=60°.∴∠BCD=120°.BACDOE1.如图，在菱形ABCD

中，对角线AC

与BD

交于点O，

OE

⊥AB，垂足为点E．若OE

＝3，菱形ABCD

的

面积是48，则菱形的边长为_____.82.如图，在菱形ABCD

中，E

是边AB

上一点，DE

＝AD，

连结EC．若∠ADE

＝36°，则∠DEC

的度数为()A.72°B.54°C.50°D.48°B3.如图，在菱形ABCD

中，P

是对角线AC

上一动点，

过点P

作PE⊥BC

于点E，PF⊥AB

于点F.

若菱形ABCD

的周长为10，面积为12，

则PE+PF

的值为______.4.8【选自教材第130页练习第1题】如图，已知菱形ABCD

的边AB=5cm，一条对角线

AC=6cm.求这个菱形的周长和它的面积.解:如图，设AC、BD相交于点O.在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5

cm，AC

⊥BD，∴菱形的周长＝4AB＝20

cm.

在Rt△ABO中，

ACBD∴BD＝8cm，

O【选自教材第130页练习第2题】2.如图，已知菱形ABCD

的一条对角线BD

恰好与其边AB

的长相等.求这个菱形各内角的大小.解:在菱形ABCD中，AB＝AD，AB∥

CD.又∵BD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠C＝∠A＝60°.∵DC∥AB，∴∠A+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠ABC＝∠ADC＝120°.ABCD3.如图，在菱形ABCD

中，E

是AB

的中点，且DE

⊥AB，AB=4.

（1）求两条对角线AC、BD的长（保留根号）；（2）求菱形ABCD的面积（精确到0.1）.【选自教材第130页练习第3题】解:（1）如图，AC交BD于