江西省上饶市高三第二次高考模拟考试数学试卷

江西省上饶市2025届高三第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，明确集合，再求其并集即可.【详解】由，所以；由，所以.所以.故选：D2.已知复数，若为实数，则（）A2 B.5 C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件求出复数，进而求出其模.【详解】由复数为实数，得，即，则，所以.故选：C3.命题“”的否定为（）A.“” B.“”C.“” D.“”【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.【详解】因为，是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即，故选：D.4.已知向量，若，则（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合垂直关系的向量表示列式求解.【详解】由，得，而，所以.故选：C5.已知为等差数列，，则（）A.12 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，结合对数的运算法则求值.【详解】因为为等差数列，设公差为.则，，所以.所以.故选：A6.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以，故选：D．7.下列选项中，曲线与在上的交点个数不一样的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用和角的正弦公式及二倍角公式化简函数，再逐项求出方程解的个数即可.【详解】依题意，，，曲线与的交点个数，即方程解的个数，对于A，，由，得或，当时，由，得，方程有4个解，共7个；对于B，，由，得或，当时，，共5个；对于C，，由，得或，当时，方程有3个解，方程有4个解，共7个；对于D，，由，得或，当时，方程有3个解，方程有4个解，共7个，所以交点个数不一样的是.故选：B8.若不等式恒成立，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可.【详解】设，则，.原不等式可化为：.因为，所以，.当时，，所以在恒成立，所以；当时，，所以成立；当时，，所以在上恒成立，所以.综上可得：.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若正实数满足，则（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最大值是 D.的最小值是【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求出最小值判断D.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，则，当且仅当时取等号，D错误.故选：ABC10.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据给定的等式，利用赋值法求解判断AC；利用二项式定理求出判断B；对等式两边求导，再利用赋值法求解判断D.【详解】对于A，令，得；令，得，因此，A错误；对于B，，因此，B正确；对于C，令，即，得，C错误；对于D，原等式两边求导得，令，得，D正确.故选：BD11.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.直线与曲线没有交点B.已知点，则曲线上存在点，使得C.若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是D.点是曲线上在第四象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则【答案】BCD【解析】【分析】分段探讨曲线的形状及性质，再结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系逐项判断得解.【详解】曲线，当时，曲线，表示焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，曲线，表示焦点在轴上的双曲线在第四象限的部分，其渐近线方程为，焦点为，，当时，曲线，表示焦点在轴上双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为，当时，曲线，不表示任何图形，对于A，由，解得，直线与曲线交于点，A错误；对于B，当曲线上的点的坐标满足时，，B正确；对于C，观察图形知，直线与曲线有三个不同的交点，直线的斜率，其方程为，由消去得，由，得，而此时，直线过点时，，因此当时，直线与（）交于2点，而曲线（）的渐近线为，直线与直线相交，则直线与曲线（）必有1个交点；由消去得，由，得，而此时，因此当时，直线与曲线（）交于2点，与曲线（）必有1个交点，从而过点直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是，C正确；对于D，设，则，则，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，则数列的前4项的和为________．【答案】0.8【解析】【分析】根据给定的递推公式求出数列的前4项，再利用裂项相消法求和.【详解】数列中，由，得，而，则，所以.故答案为：13.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】画出曲线的图象，数形结合判断直线与曲线的交点个数.【详解】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆，直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，，当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去），要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足，故答案为：.14.如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是．已知正方体棱长为1，则该正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积为________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正方体及球的结构特征，结合球的体积公式及球缺的体积公式求解.【详解】依题意，正方体与以为球心，为半径的球的公共部分是球体的，去掉3个不含点的正方体的面所在平面截球所得球缺的，球的体积，高为的球缺体积，所以所求公共部分的体积为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角所对的边分别为．（1）求角；（2）若，，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求角.（2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可.【小问1详解】由正弦定理：，所以，所以，得.因为为三角形内角，所以，所以.又，所以.【小问2详解】如图：因为，所以为的重心.延长交与点，则为中点.因为，所以.因为，所以，即①在中，由余弦定理得：②由①②得：.所以.16.如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且．（1）证明：平面平面ACD；（2）若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直判定、面面垂直的判定推理得证.（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.【小问1详解】在中，由，得，在中，，而，由余弦定理，得，则，即，由，得，则，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】连接，由分别为的中点，得，由（1）得平面，由，得，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，由点在PD上，令，设平面的法向量，则，取，得，而平面的法向量，则，解得，于是，而，则点到平面的距离，所以点到平面的距离为.17.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时成立．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）等价变形不等式，利用不等式性质将问题转化为证在恒成立，结合导数分段推理证明.【小问1详解】函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为.【小问2详解】函数的定义域为，不等式，当时，，则，令函数，当时，，令函数，求导得，函数在上单调递减，，；当时，，令，求导得，函数在上单调递减，在上单调递增，而，则存在，使得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，则当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，又，则；当时，，函数在上单调递增，，因此，，则，所以当时，成立.18.已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．（1）求双曲线的标准方程；（2）为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由；（3）在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为；（3）存在定点，该定点坐标为.【解析】【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用焦点到渐近线的距离及过的点求出参数值即可.（2）求出双曲线的渐近线方程，求出过点与其中一条渐近线平行的直线并求出与另一条渐近线的交点，再利用平行四边形面积公式计算求解.（3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及已知求解.【小问1详解】设双曲线的标准方程为，右焦点，双曲线的渐近线，点到渐近线的距离，又，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】双曲线：的渐近线为，由在双曲线上，得，即，过点与直线平行的直线方程为，由，解得，得交点，依题意，四边形是平行四边形，，点到直线的距离，所以四边形的面积为定值.【小问3详解】假设存在点，由（1）知，，由直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，由消去得，设，，解得或，由，得，而，于是，则平分，因此直线的斜率互为相反数，即，，解得，所以在轴上存在定点，使恒成立.19.“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门.（1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案；（2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高；（3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，