勾股定理及其应用（第3课时）课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（第3课时）数学人教版八年级下册思考“HL”指的是斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，当时教材中提到：在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？同学们，在八年级上册中我们学习过三角形全等的判定方法，如SSS，SAS，AAS，还有判定直角三角形全等的方法

HL．问题1已知：如图，在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．

证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，BC＝

，B′C′＝

，

又

AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．的点吗？同学们，还记得在学习实数时，我们是如何在数轴上画出表示

思考以单位长度为边长画正方形,

为正方形的对角线长度;以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示

．也可以理解成构造了两条直角边长都为1的直角三角形，利用斜边长得到

．问题2我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示

的点吗？思考：能不能构造一个斜边长为

、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边分别是多少？

斜边直角边直角边问题2我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示

的点吗？斜边直角边直角边11??思考：能不能构造一个斜边长为

、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边分别是多少？

问题2我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示

的点吗？斜边直角边直角边1123思考：能不能构造一个斜边长为

、两条直角边长都是整数的直角三角形呢？如果可以，这个直角三角形的两条直角边分别是多少？

我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示．你能参考上述思路，在数轴上画出表示

的点吗？O123CABl问题20

第一步：O为数轴原点，在数轴上找出表示

3的点

A，则

OA＝3；

第二步：过点

A作直线

l⊥OA，在

l上取点

B，使

AB＝2，连接

OB；

第三步：以原点

O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴正半轴交点C即为表示

的点．问题3类似地，利用勾股定理，可以画出长为

，

，

，…的线段吗？

，

，

，…构造直角三角形斜边可以在数轴上画出表示

，

，

，

，…的点吗？问题3归纳（1）画长为

（n是正整数）的线段：关键是找到两个实数

a，b，使其满足

a2＋b2＝n．构造直角边长分别为

a和

b的直角三角形，斜边长即为

．（2）在数轴上画出

（n是正整数）的点的方法：①构造以实数

a，b（a2＋b2＝n）为直角边长的直角三角形，其斜边长即为

；②以原点为圆心，

为半径画弧，找到与数轴正半轴的交点，该点即为数轴上表示

的点

．解：方法一如图，O为数轴原点，在数轴上找到点

A，使OA＝4．作直线

l垂直于

OA，在

l上取点

B，使

AB＝1，连接

OB．例1在数轴上画出表示

的点

．以原点

O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点

C

即为表示

的点

．O12345ABCl

以原点

O为圆心，OF为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点

E即为表示

的点．ElF例1在数轴上画出表示

的点

．解：方法二如图，OM＝

．作直线

l垂直于

OM，在

l上取点

F，使

MF＝2，连接

OF．O12345M1．如图，等边三角形

ABC的边长为

6．求：（1）高

AD；（2）等边三角形

ABC的面积．解：（1）在等边三角形

ABC中，AD⊥BC，则

BD＝CD＝3．

在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝62－32＝27，故

AD＝

．（2）等边三角形

ABC的面积＝

＝

＝

．

归纳求已知边长的等边三角形的面积问题

（1）转化图形：利用等边三角形“三线合一”的性质，将等边三角形分割为两个全等的直角三角形；

（2）运用定理，求解面积：结合勾股定理，求出直角三角形的高，代入三角形面积公式求解．2．如图，AD是△ABC的边

BC上的高．分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为

S1，S2，S3，S4．请写出关于S1，S2，S3，S4的等式．分析：由正方形的面积公式可知，S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BD2，S4＝CD2．找

AB，AC，BD，CD之间的关系能否利用图中的直角三角形？解：因为

AD是△ABC的边

BC上的高，所以△ABD，△ADC均为直角三角形，由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，又

S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BD2，S4＝CD2，所以