几何画板 课件设计 三维旋转坐标系在立体几何中的应用

摘要

作为优秀的专业学科平台软件，几何画板合用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，

立体几何）教学，物理教学，以及天文教学等。一方面，它不仅能使教师在教学过程中使用现

代化教育技术，以动态的形式更直观、更准确的传授学生知识。另•方面，学生在实际操作几

何画板时能够把握学科的内在实质。同时，也可自行设计并制作课件。这样的训练不仅能培养

学生的观察能力，问题解决能力，而且对其思维的发展也有很大的匡助。可以说，几何画板代

表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。

现有的几何画板仅仅提供了解决二维O-XY坐标系口的几何问题，而在我们的实际生活中

却存在着大量的三维问题。如空间曲线、空间曲面和立体几何图形等等。如何将二维工具扩充

到三维空间中呢？在学习了几何画板后，我利用相关知识制作了四个课件。这些课件主要通过

构造任意旋转的三维O--XYZ坐标系建构，以便从多方位、多视角观察图形。同时还可以采用

动态效果演示这吟图形的旋转及其各种变化。所作课件密切的与教学相结合，区别于以往传统

的教学模式，真正体现了现代教育技术与数学教学的整合性。

全文由三部份组成：第一部份是几何画板课件制作的选题原则。第二部份详细介绍了我所

选择制作的课件及其详细制作过程。第三部份：我学习及应用几何画板的体味。

关键i司：几何画板立方体三棱锥异面直线空间直线

旋转标记向量挪移显示隐藏闪烁

Abstract

Asexcellentprofessionakubjectplatfonnsoftware,Geometer^Sketchpadappliesto

geometry(planegeometrj\analyticgeometr)/,projectiongeometry,solidgeometry)teaching,partia/

hysicalteachingsa,ndastionomicaleaching.Ontheonehand,itcannotonlymaketeacheruse

modemeducationaltetchenoclougryseinof

teachingbutalsopassonstudentsknowledgemorevisual,moreaccuratewiththeformmotion

.Ontheotherhand,studentcanholdtheinnersubstanceofsubjectwhentheyoperateGeometer's

Sketchpad.Atthesametime,theycanalsodesignandmakecoursewareindepencientlyT.hesepracticesan

notonlytrainthestudenttheabilit^o

observeandsolveproblem,andhasgotgreathelpforthedevelopmentoftheiridcatGeometer's

Sketchpadrepresentsthedevelopingdirectionoftheeducativetoolsoftwar

ExistedGeometer^Sketchpadcanonlysolvethegeometryproblemintwo-dimensionO-XY

coordinatesystemdepartments,butinfact,thereareplentyofthree-dimensionalproblems,suchasspace

scpuarcve,cur\;edsurface,solidfigureandsoon.Howcanweexpandtwo-dimensiondrawingtoolsto

three-dimensionalspace?Thepapermakes4piecesofcoursewareonthebaseofknowledge

ofsGeSokmeetliipad.This

paperconstructsathree-dimensionalO-XYZcoeyrdticatChatcanjqxiiyiangl.c

Andmakecoursewareonitordertoobservefigurefrommanybearingsanddifferentvisualang.ldt

thesametime,itcandemonstratetherevolvingandvariouschangeso

thesefigure»ithmotioneffectA.ilthecoursewareisclosetoleaching.Andtheyaredistinguished

romteachingpatterninfbnnertraditionT.hisembodiedmoderneducationaltechnology

reallywithmathematicsteachingintegration.

Thepaperiscomposedofparts:Inthefirstpart,itdescribesomefundamental

whatkindsofproblemwecanmakethecoursewarebythe'GseSketchpad.Inthesecondpart,four

piotecsoursewarendthecourseofmakingareintroldnuctehde.

lastpart,theexperiencesofstudybyusing,stliSekeGtecohmpeatderarerelated.

Keyword：Geometer'sSkelchp、a<hibe、triangiikamon-nniplanarkinespace

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Revolvingsmarkvecto、rremove>show、hide>twinkle

目录:

摘要

Abstract

第一部份几何画板课件制作的选题原则.........................

第二部份课件设计与制作。..........................

第一个课件：三维坐标系与旋转。.........................

小课件一：任意旋转的三维O-XYZ坐标系。........................

小课件二：旋转。...................................

第二个课件：旋转体中的异面直线。........................

小课件一：两条异面直线所成的角。............................

小课件二：两条异面直线的距离。............................

小课件三：异面直线应用举例。..............................

第三个课件：空间直线的投影............................

第四个课件：三垂线教学课件............................

小课件一：三垂线定理..................................

小课件二：三垂线定理证明................................

小课件三：三垂线定理的逆定理..............................

小课件三：三垂线定理的逆定理证明.............................

第三部份学习几何画板的体味。..........................

参考文献：

第一部份几何画板课件制作的选题原则

教学经验表明：变动的图形或者事物是非常容易引起人们注意的，因为这样可以使其在

人脑中形成较深刻的印象。在教学过程中，若像以往那样使用常规工具（如纸，笔，圆规或

者直尺等）画图，是有一定局限性的，并且所画的图形很容易掩盖极其重要的本质。但如果

使用几何画板作图，则可以在很大程度上解决这一问题。固然，并非所有教学都要利用几何

画板来完成。应用几何画板制作课件，首先应该注意课题的选择。

第一：几何画板可以很好的表现图形的任意性。在我制作的绝大部份课件中，主要是通过

圆来构造任意旋转的三维坐标系，从而构建可以任意旋转的正方体等立体几何图形。例如：在

课件”旋转的正方体”中，学生可由正方体的旋转从不同角度观察异面直线之间的关系。正因为

这种任意性，学生可以更好地理解异面直线的相关概念。第二：几何画板可以动态演示图形

的挪移过程。例如：在课件”空间直线的投影“中，就利用了几何画板的这个动态效果，演示了

在空间中的一条线段投影到三个面的过程。

总之，几何画板在教学中特别是几何教学中有很广泛的应用，有关几何画板的课件选题原

则就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清晰的图形，用动态效果展

现给学生。

第二部份课件设计与制作。

第一个课件：三维坐标系与旋转。

选题：在立体几何教学过程中，从多角度观察几何图形是非常必要的。通过传统教具的演

示，虽然能够使学生观察图形的角度有所转变，但通过人手转动始终不容易把图形的旋转联贯

进行。若采用几何画板教学，可以更联贯、更清晰的看出立体几何图形的旋转过程，以便更好

的观察到几何图形中的各种几何关系。

制作过程：

小课件一：任意旋转的三维O-XYZ坐标系。

步骤一：构造任意旋转的三维O-XYZ坐标系

1.过点A、B作圆cl,在圆上取点C,过点A、C作直线j；

2.让点C以点A为中心旋转90）得到点C1让点A按标记向量CA平移，得到点A处

接C'N；

3.圆上取一点D,过点D作C，A，和直线j的垂线彳导垂足H、F；

4.在圆c与取一点G,过点G作UA，和直线j的垂线，得垂足H、I；连接

HC,,过点F作HC平行线，交UA于点J；

5.让点E以点A为中心旋转90。得点E，，过点E，作HC平行线，交UA，于点K；

6.让点F按标记向量AK平移得点F,连接AF1让点E，按标记向量JA平移得点E,

连接AE；

7.让点I以点A为中心旋转90。得点I'；

8.另画一点O,让点O按标记向量AE平移两次得点X,让点O按标记向量AF，平

移两次得点Y,让点O按标记向量AF平移两次得点Z；

9.以点O为中心，分别让点X、Y、Z旋转1曲,得点Xf、Y'、Z'；

图一

步骤二：动态效果

拖动点D,O-XYZ坐标系绕OZ轴旋转;

拖动点G,O-XYZ坐标系统OX轴旋转;

拖动点C,O-XYZ坐标系绕点O旋转；

拖动点B,放大O-XYZ坐标系。

小课件二：旋转。

长方体的旋转

步骤一：构造长方体

1-9.如“小课件一”的作图步骤，先构造任意旋转的三维O-XYZ坐标系。

10.用直线连接ZZ、XX、YY；分别在直线ZZ、XX、YY找一动点，L、M、N,

用线段连接OL、OM、ON：

11.构建长方体：让点N按标记向量OL平移得点N，，连接NN\LN］让点L按

标记向量0M平移得点U,连接LL、MU；让点M按标记向量ON平移得点

1*4\连接乂乂,、NM1让点M，按标记向量NN，平移得点M，连接M，M、N

'M、L，M。分别将六个面涂上不同的颜色。

步骤二：动态效果

如“小课件一”的动态效果；若想改变长方体的大小，也可拖动点L、M、N。

第二个课件：旋转体中的异面直线。

选题:在立体几何教学过程中，“两条异面直线所成的角”和“两条异面直线的距离”是学生

们首先遇到的难理解的问题。特别对于异面直线交角和距离的求法更是学生学习的重点和难

点，同时，它们也是后面学习的基础。因此，利用几何面板的优势在笫一个课件的基础上，制

作此课件来匡助学生更好理解和掌握“异面直线”的相关知识。

制作过程：

小课件一：两条异面直线所成的角。

1.作平行四边形DEFG,连接对角线DE；

2.在线段DE上取一动点M,以点M为端点在平行四边形上作线段MN；

3.在平行四边形外仔取•点0,并作“隐藏/显示”按钮，改标签为“固定点0”,连接N0；

过点M作NO的立行线，过点。作MN的平行线，两条平行线交于点Q；在线段MQ

上任取一点R,隐藏直线MQ,连接MR、RQ；

4.在线段N0上任取一动点P,作MN的平行线，池动这条平行线，分别与MR、RQ交

于点S、A（标注点A）,连接PS、PA；标注线段PS为“a”,线段PA为4寸；

5.分别作点P至IJ点N和点0的“挪移”按钮，并作“系歹『'按钮，改标签为“平行移出哈

6.隐藏多于对象：

7.在平行四边形下方画一条过0点的直线，在直线上取动点Y,连接Y0,在线段上任

取一点C,过点C作这两条直线的垂线m；

8.在平行四边形上方找一点，过该点作直线的平行线I；分别过点G、E、F、O作该直线

的垂线，分别交平行线1于点H、I、J、K；隐藏平行线1,连接HI、IJ、JK；拖动

直线m分别交HI、IJ、JK于点B、B,、B（将点B标注出来）；

9.连接BU、VC,拖动垂线m,连接BU、WC,标注线段为“b”；继续拖动m连i

2

接BC,标注线段为“飞

10.分别作点C到点Y和点0的“挪移”按钮，并作“系列”按钮，改标签为“平行移出联

图三图四

II.隐藏多于对象。

12.作说明文本框和概念文本框，作相应的“隐藏/显示"按钮，标签分别改为“显示说明”和“

显示概念”；再将图中五个按钮作“隐藏/显示”按钿，改标签为“还原”。

小课件二：两条异面直线的距离。

1.在任意旋转的三维O-XYZ坐标系上建构正方体。

2.选中AD，、BBS共建立“隐臧/显示'按钮6个；选中所有“隐藏/显示W安

钮，建立“系列”按钮，在“系列按钮”对话框中选定“挨次执行''项，并改标签为“第一

组异面直线''，隐藏所有“隐藏/显示“按钮。（此步骤称为“建立线段AD'和BB'的闪烁”按

钮）；

3.建立线段AB、CC，的闪烁按钮，改标签为“笫二组异面直线”；

4.连接A>,建立AA的“隐藏/显示"按钮，改标签为“显示侧面对角线”；并建立线段

AA和B9，的闪烁按钮，改标签为“第三组异面直线”；

5.连接AC、BfD\建立AC和BD，的“隐藏/显示"按钮，改标签为“显示上下底面对角线”;

并建立线段AC和BTT的闪烁按钮，改标签为“第四组异面直线”；

6.选中AB，，作为ATT和BB的公垂线，选中BC,作为AB和CC，的公垂

线，选中CTT,作为A>和BC，的公垂线，分别建立“隐物显示”按钮，标签也作相应

的改变；

7.选取上、下底面对角线的中点，用线段将两个中点连接，作为AC和BD的公垂线，

建立“隐藏/显示“按钮，相应的改动标签。

8.作概念文本框，作“隐藏/显示"按钮，标签改为“显示概念”;再将图中“显示侧面对角

线”、“显示上下低面对角线”、“显示概念”按钮作“隐藏/显示“按钮，改标签为“还原

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w

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面

直

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离地

图五

小课件三：异面直线应用举例。

1.任意旋转的三维O-XYZ坐标系中建构长方体ABCD-ABCD，；

2.(1)选择“文本”工具，在文本框中输入第一问的证明过程；

(2)连接AC，，作AC，的“隐藏/显示"按钮，改标签为“连接A

(3)在88，上取一动点£,将点E按标记向量BC平移得点E1连接EEf；分别作点E到

点B和点B，的“挪移”按钮，改标签为“平行挪移线段BC”；

(4)将“连接AC，”和“平行挪移线段BC”按钮作“系列”按钮，改标签为，还原“；

(5)选中文本框、“连接AC，"、“平行挪移线段BC”和“还原”按钮，建立“隐藏/显示”

按钮；

(6)在画板上任画一点，作该点的“隐藏/显示“按钮；顺序选中这两个“隐藏/显示”

按钮作“系列”按钮，改标签为“显示证明(1y

3.重复步骤2,相应作出第二问和第三问的“显示证明(2)”和“显示证明(3)“按钮：

4.将三个“显示证明”按钮作“系列”按钮，改标签为“还原”。

5.陇藏多余的对象。

第三个课件：空间直线的投影

选题：理解空间i条线段或者直线到某个平面的射影是至关重要的，因为这关系到是否能很

好

理解和掌握“三垂线定理''及其“逆定理”。因此，同样是在第一个课件的基础之上，制作该课

件，可从多方位来观察空间异条线段的射影情况。

制作过程：

I.意旋转三维O-XYZ坐标系中，建构两两垂直的三个平面；

2.分别在线1、n上取动点A、B,连接AB：在线段AB上取两动点C、D,用来控制空间

直线段的长度；

3.在画板上画一条水平直线m,分别过C、D作直线m的垂线：在两条垂线上分别取动点

E、F,连接EF,作为空间直线段；

4.(1)连接EC、FD,在线段EC、FD上分别取动点G、H：

(2)作点G到点C和点E的“挪移”按钮，选中两个“挪移”按钮作“系列”按钮；作点H到

点D和点F的“挪移”按钮，选中两个“挪移哦钮作“系列”按钮；选中两个，系列“

按钮再作“系列”，改标签为“空间直线L投影到水平面”：

(3)连接EG、FH、GH；

5.(1)过点C作线段。的平行线，交线段1于点I,交线段n于点J；将点E按标记向

量【A平移得点E*过点D作线段。的平行线，交线段n于点K,将点F按

I

标记向量KO平移得点F；

(2)连接EE，、FF,在线段EE<FF上分别取动点M、N；仿照步骤4(2)分别作点M、

N的两个“挪移”按钮,并作“系列”按钮：将点M、N的两个“系列”按钮，并作“

系列”，改标签为“空间直线L投影到竖直面”；

(3)连接MN、EM、FN；

6.(1)再让点E按标记向量CJ平移得点E,点F按标记向量DK平移得点F：

⑵连接EE、FF,在线段EE、FF上分别取动点P、Q：仿照步骤4(2)分别作

点P、Q的两个“挪移”按钮，并作“系列”按钮;将点P、Q的两个

“系歹/'按钮，并作“系列”，改标签为“空间直线L投影到侧面”；

(3)连接PQ、EP、FQ；

7.(1)连接CD、E'F\EF,分别作“隐藏/显示“按钮，并相应改动标签为“直线L在水

平面上的投影'”直线L在水竖直面上的投影、直线L在侧面

上的投影

(2)将这三个按例作“隐藏/显示”按钿，改标签为“直接投影”:

(3)将线段CD、EF、EF和“直接投影”按钮作“隐藏/显示“按钮，改

标签为“直接投影还原”；

8.点A和点B的“动画”按钮，相应改动标签，用来改变直线L的空间位置：

9.将“空间直线L投影到水平面”、“空间直线L投影到竖直面”、“空间直线L投影到侧面”

按钮作“隐藏/显示"按钮，改标签为“还原”：

第四个课件：三垂线教学课件

选题：“三垂线定理”及其“逆定理”是立体几何中的重点和难点。我希翼用一种方法能从

多个视角去观察图形中的三条垂线的相互位置关系，更希翼所作课件能与教学相联系。因此采

用以下方法制作课件。

制作过程：

小课件一：三垂线定理

1.用两个同心圆法，作长短轴相近的大椭圆0；

2.在椭圆上取一动点A,以点O为标记中心，将点A挨次旋转135。、45。、135。，得

点A，、A、AZ用线段连接这四个点得平行四边形AAAAI

3.过点O作AA的平行线，交平面于点E、F；连接EF,在EF上取点B、C和D；过点D作

水平线的垂线b,在b上方取一点S,连接CS；过点C和点B作A公的平行线QP、MN

4.选定点A和椭圆作切画，按钮：选定点B和线段EF作“动画，按钮；

5.隐藏多余的对象；

6.选中线段a,作10个“隐藏/显示“按钮，选中所有“隐藏/显示"按钮作“系列”按钮，选顶“

挨次执行“项，改标签为“平面内的一条线段a”；(改步骤称为建立闪烁按钮“平面内

的一条线段a”；

7.仿照上一步骤，建立“斜线PO”、“垂线PA”和“过点O和点A所在的直线”和“斜线PO

在平面上的射影OA”的闪烁按钮；

8.建立“在平面内与线段a平行的线段b”的“隐藏/显示"按钮，相应改动标签；

9.作“三垂线定理内容''的文本，并作“隐藏/显示“按钮，标签改为“显示定理内容”；

10.作“链接”按钮，使改课件链接到定理证明的课件，标签改为“定理证明”

11.将步骤6、7、9建立的按钮，作“系列”按钮，标签改为“还原”。

图七

小课件二：三垂线定理证明

I.仿照“小课件一”，制作可旋转的能够显示三垂线关系的图形；

2.重复“小课件一”的步骤8；并作“三垂线定理内容”；

3.作“定理的数学描述”的文本，并建立“隐藏/显示“按钮，相应改动标签；

4.建立四个证明步骤按钮：

(1)将证明过程分为4个文本框输入；

(2)作与每一证明步骤相应的线段会平面的闪烁按钮，共4个；如：证明步骤一

中有线段a、PA,就在图中作线段a和PA的闪烁按钮；

(3)在画板中任取四个点，分别作“隐藏/显示"按钮共4个；

(4)选中每•证明步骤的文字及相应的闪烁按钮和•个“隐藏/显示"按钮作“系

列”按钮,标签改为“证明步骤(1)”、“证明步骤(2)”……；

5.选中所有证明过程的文字部份和“定理的数学描述”按钮作“系列”按钮，标签改为

小课件三：三垂线定理的逆定理

制作步骤与“小课件一”类似，只需根据定理内容作适当修改。

小课件三：三垂线定理的逆定理证明

制作步骤与“小课件二”类似，只需根据需要作适当修改。

第三部份学习几何画板的体味。

当今，计算机辅助教学手段的使用是教育现代化的一个重要标志，对提裔教育质量及教学

效率都有重要的意义。它非但可以扩大受教育血，便于及时巩固所学知识，而且为数学教育开

辟了更为广阔的乾坤。

几何画板作为优秀的教学软件之一，是一个通用的数学，物理教学环境，