全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷66

全国自考公共课线性代数(经管类)模

拟试卷66

一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1、若A,B均为n阶方阵，且AB=0,则()

A、A=0或B=0

B、A+B=0

C、|人|=0或|8|二0

D、IAI+IBI=0

标准答案：C

知识点解析：AB—0—>IABI―>0—>IAI.IBI—0―>IAI=0或IBI=0.答案

为C

2-131

A=4—254

2、设1-14

1J,则Ax=0的基础解系含有个解向

量.（）

A、1

B、2

C>3

D、0

标准答案：A

知识点解析：由于V(A)=3,所以基础解集含有J3=l个向量.答案为A.

3、设A是n阶方阵，已知A?—2A—21=0,则(AT)":()

A、31—A

B、3I+A

C、A-31

2A±I

D、AT

标准答案：A

知识点解析：把已知关系式A2—2A—21=0写成(A+I)M=1的形式，则M是(A+I)的

逆方阵.由题设关系式A2—2A—21=0,可得A(A+I)—3(A+I)=-I,即

(A+I)⑶一A)=I,故(A+I)/=3I—A.答案为A。

为+xi+4=0,

4、若不一2以十34=0只有零解的充要条件是时

A、一］

B、-2

C、-3

D、-4

标准答案：D

知识点解析：方程组只有零解的充要条

1-1

A=2-1

1-23

(11111

0「3a—20一32

0-3200-a-4

件.因方程组只有零解,

故IAI#0,即r(A)=3,则一a—4和,得a#・4.

5^二次型f=X」+x22+x32+4X2X3的规范形是

A、Zl24-Z22+32

B、Zl2—Z22—Z32

C、Zi2+Z22-Z32

D、Z|2-Z22

标准答案：C

J00]

二次型的矩阵A=012•由

•021

A-l00

|AEj-A|=0八―1—2=0

知识点解析：°一2

得A的特征值为入i=l,Z2

-1,入3=3,故A的正惯性指数为2,负惯性指数为1.故此二次型的规范型为

Z|2+z22-Z32.

6、设A、B为n阶方阵，且AB=O（零矩阵），则（）

A、A=P或B=O

B、A+B=O

C、IAI+IBI=0

D、IAI=0或IBI=0

标准答案：D

知识点解析：由于IABI=IAI.IBI=I0I=0,所以IAI=0或IBI

=0.答案为D。

7、设A、B为n阶方阵，且AB=0（零矩阵），则（）

A、A=0或B=0

B、A+B=0

C、IAI+IBI=0

D、|AI二0或IBI=0

标准答案：D

知识点解析：由于IAEI=IAI.IBI1=I0I=0,所以IAI=0或IBI=0.答

案为D.

-loo

010

X、设矩阵A与对角矩阵D='°0”相似，则,F=

A、-E

B、E

C、D

D、A

标准答案：B

知识点解析：由于A〜D,则存在可逆矩阵P,使D=pJAP.所以A=PDP”,

「I004

010：

00.一[

=PDP/PDP-1=PEP/,由口2==E,得人2=PE2p」=E.故本

题选B.

9、二次型f（X],X2，X3，X4）=xJ+2xiX2—X2?+2x2X3+x32+x42的秩为

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：D

1100.

1100.

0-210

1—110

A=—►3

011000y0

000]

知识点解析：0001.故r（A）=4,则二次

型f的秩也为4.

10、设向量组如，（X2,013线性无关，则下列向量组线性相关的是（）

A、囚+。2，a2+a3，aa+ai

B、a1，ai+a2»ai+ai+a?

C>aj_*a2，a2一a3，013一ai

D、ai+a2，2a2+（x3,3a3+ai

标准答案：C

知识点解析：显然（ai—口2）+（。2一a3）+（a3一a1）=0.

11、设矩阵Amxn的秩为r（A尸mVn,Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）

A、A的任意m个列向最必线性无关

B、A的任意一个m阶子式不等于零

C、若矩阵B满足BA=O,则B=O

D、A通过初等行变换，必可以化为（ImO）的形式

标准答案：D

知识点解析：矩阵Amxn的秩r（A）=mVn.故A的行满秩，列不满秩，A的m个列

向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为（30）形式，

故选D.答案为D。

12、若aigg是齐次方程组Ax=O的基础解系，贝J下列答案中也是Ax=O的基础

解系的为（）

A、a|一。2，«2一«3>狂31

B、aj,a2,013的任意三个线性组合

C、al，ai-a2，ai-oi2一a3

D、a1，2cq,3al

标准答案：C

知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与回82,。3等

价.答案为C。

为生为4+Z

为a3+x为

=0

】

aa2+xa3

a+z

13、x的根为()

A、a+a,a+a

B、0,ai+a2+a3+a4

C、aj.a2.a3.a4,0

D、0,一aj-a2一23-34

标准答案：D

知识点解析：提示2、3、4列加到第一列.答案为D。

14、设A、B、C均为n阶方阵，且满足AB=BA,BC=CB,则CAB=

A、ABC

B、ACB

C、BCA

D、BAC

标准答案：C

知识点解析：因AB=BA,BC=CB,所以CAB=CBA=BCA.故C项正确.

15、设A为mxn矩阵，秩为，r,C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC,秩(B)f,则

()

A、rj>F2

B、r<ri

C^r=rj

D、口与C有关

标准答案：C

知识点解析：为可逆阵，且B=AC5出口⑺⑦』⑴』，即r产r.答案为C

2223

16、实二次型f(xi，X2,X3)=2XJ+2x2++kx3+2kx1x2JE,则k的取值范围为()

A、k<0或k>0

B、-2VkV0或0VkV2

C、-2<k<2

D、kV-2或k>・2

标准答案：B

2/0)

A-k20.

知识点解析：由于二次型的矩阵为、。°A正定，则顺序主子式大于

2Ao

2kA2U

零，即'2=4-k2>0,-2<k<2,00k2=k2(4—k2)>0,k#0fi-2<k<

2,所以k的取值范围是一2VkV0或0VkV2.

17、下列命题中错误的是

A、一个非零向量线性无关

B、任意一个含零向量的向量组线性相关

C、由4个三维向量组成的向量组线性相关

D、由3个四维向量组成的向量组线性无关

标准答案：D

T

知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法.设川=(1,2,3,4),a2=(l,

则4=(a0)=

342

450

012

000•

,Io00

TT

0,4,5),a3=(l,-2.5.6).故

r(A)=2,显然ai，a2，013线性相关,故D项错误.

k21

；2k0

18、设行列式1-11=0,则k的值为()

A、一3或2

B、2

C、0

D、一2或3

标准答案：D

210

知识点解析:1—1=k2—2—k—4=k2—k—6—(k+2)(k—3)=0,所以k二

一2或k=3.

19、以下结论中不正确的是()

A、二次型f(X],X2，X3)=X12+X22；是正定二次型

B、若存在可逆实矩阵C,使人=。(2,则A是正定矩阵

C、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数

D、n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n

标准答案：A

100

4=010

知识点解析：f(X|,X2,X3)=X12+X22»对应的矩阵10°对任何实列向量

X,都有XTAXN),故f为半正定二次型，答案为A.

a-b\

3A则（）

20、设矩阵

A、a=3,b=一I,c=l,d=3

B、a=一1,b=3,c=l,d=3

C、a=3,b=一1,c=0,d=3

D、a=-1，b=3,c=0,d=3

标准答案：C

々+6=2a=3

(a+b4\/2a—b\a-b=46=-1

(°d)L

3，

c=0c=0

知识点解析：3d=3答案为C

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

21、已知四阶行列式D的第二行元素为1,0,-2,3,第四行元素对应的代数余

子式依次为6,-2,k,I,贝ijk=.

标准答案：9/2

知识点解析：由行列式某行元素乘以不同行元素对应的代数余子式的和为零，得

lx6+0x(-2)+(-2)xk+3xl=0,得k=9/2.

130

1-10

22、已知方阵A与方阵02J相似，则A的特征值为

标准答案：九］=九2=2,入3二一2

知识点解析：由于B的特征多项式为

A-1-30

|AE-B|=-1A+10=(A-2)2Q+2)

00A-2因此B的特征值为

XI=X2=2,入3=一2,而A与B相似,因此有相同的特征值.

23、设3阶方阵A的特征值为入11,入2=1，入3=2，贝I」IAI=

标准答案：一2

知识点解析：IA|=猫.入2.九3二一2.

24、设向量a=(l,0,一1),则它的单位化向量为.

标准答案:信T)

~1I

°E

知识点解析:=(9°一上上

[3]+2y—3z=0

25、12]―了+之=0当卜=时，仅有零解.

2

标准答案：?

32-3

Ik-1=0=>k—

知识点解析：仅有全解-2—1I

0

A~

11

26、设矩阵贝I」A+PJB=

标准答案：(；

=(;

二(;

知识点解析:

27、设A是n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=5,则方阵B=AA*的特征值是

,特征向量是________.

标准答案：5任意n维非零向量a

知识点解析：因为AA*=A*A=|A|E,所以对于任意n维非零向量a,有

AA*a=|A|Ea=|A|a.所以|A|二5是B=AA*的特征值，任意n维非零向量a为其对应

的特征向量.

28、设A为n阶方阵，IAl翔，若A有特征值兀，则A*的特征值

IAI

标准答案：A

A・

知识点解析：由于IAI#),因此A可逆并且A」=lAl,即A*=|A|.A-1；如

果Aa=Mt,则A”.Aa=XA-1a,所以A“a=

/a,A.a=|A|•A4■•%所以骞曰人*的4取丁/十

人入入是A的特征值.

29、已知三阶矩阵A的特征值分别为I、一1、2,则IA—5EI=

标准答案：一72

知识点解析：A的特征值分别为1、―1、2,则A—5E的特征值分别为一4,

6,一3.故IA—5E|=-72.

30、n阶方阵A满足A?〜3A-E=0,贝I」A”=

标准答案：A-3E

知识点解析:由题知A：—3A=E,得A(A—3E)=E,则A"=A—3E.

三、计算题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

31、设A、B为两个三阶矩阵，且IAI二一1,IBI=5.求I2(ATB-1)2I.

8

标准答案：I2(ATB"52I=23I(ATB-1)2I=23I(ATB-1)I2=23IAI2IBI-2=25

知识点解析：暂无解析

标准答案：将第一行乘一1加到其余各行上，形成三线型，最后得结果为

1

(1+X+2X+3X+4X)4!.

知识点解析：暂无解析

103100204

199200395

33、计算行列式D=3cl300600的值.

标准答案：数值行列式计算：一般利用倍加性质，将数值较大的元素变换成数值较

103100204

199200395

301300600

31004

①一②200-5

⑶-2X(2)13000

314

-100X-12-5

130

130

=~100X-12-5

314

130

=-100X05—5

0-84

130

=-500X01-1

0-84

130

=-500X01-1

00-4

小的元素，再进行计算.=2000.

知识点解析：暂无解析

己知线性方程组

34、讨论九为何值时，方程组无解、且惟一解、有无穷多个解.

标准答案：将线性方程组的增广矩阵X=(A")作初等行变换

riiA-2fl-2

A=1A1-20A-11-A0

1L3,00一(什2)。一1)3(A-1)当入=

一2时，r(A)=2,r(A)=3・，方程组无解；当杼一2且杼1时，r(A)=3,,方

程组有惟一解；当九=1时,r(A)=l<3;方程组有无穷多个解.

知识点解析：暂无解析

35、在方程组有无穷多个解时,求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的

基础解系表示).

11一2'

0000

标准答案：当兀=1时,0000同解方程组为Xl=-2—X2一

X3.对应齐次方程组的基础解系为41=(-