全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷8

全国自考公共课线性代数（经管类）模

拟试卷8

-、单选题（本题共5题，每题分，共5分。）

1、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2,则必有（）

A、A=B

B、A二-B

C、IAI=IBI

D、IA|2=|B|2

标准答案：DRR-R2.|Al=lBl，IAAI=IBB|.乙

吁需.储2A需“"BgB巴"A己⑻2.答

AAI=IAIIAI-'A,

案为D。

2、设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（）

00

A、00

10

B、e0/

i:)

C、o

11

01

强鬣•析D.A是2阶啸黑秩淼?两矩阵等价则矩阵的秩相等,

嬴知D答案中矩阵秩为2,所以选D…案＞

+13+J--4

2JC24

2

3、线性方程组U（A+1）X4=A-1无解，则入=（）

A、0

B、1

C、一1

D、任意实数

标准答案：A

知识点解析：当杼0且杼一1时有惟一解，当人一1时有无穷多解.当人=0时无

解.答案为A。

4、设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C、AC,则下述结论不成

立•（）

A、A与B相似

B、A与B等价

C、A与B有相同的特征值

D、A与B有相同的特征向量

标准答案：D

知识点解析：是正交阵B=C-1AC,因此A与B相似.A对.c是正交

阵|Clr0,CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等吩，

B对.两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对.（入I—A）X=0与QI—B）X=0是

两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常

常不同，所以只有D不对，选D答案为D。

5、当t为,一次型f（X],X2，X3尸2x/+X22+3X32+2tX|X2+2xiX3是正定

的.（）

A^ItI>2

B、ItI<3

D、ItI>1

标准答案：C

r21

知识点解析：二次型的矩阵I103」各阶顺序主子式为2>0,

二、填空题（本题共70题，每题1.0分，共10分。）

Ax,+x2+x3=0

《H+4=0：

6、已知齐次线性方程组、乃+4+*4=0有非零解，则大的值为

标准答案：九=1或入=一2

知识点解析：由于齐次线性方程度组有非零解.因此系数行列式

A1124-A11111

1A1一2+4A1=(A+2)1A1=(A+2

11A24-A1A11A

111

00A-1所以入=1或入=一2.

120、10O,

A=210，B=021

1001.

7、设矩阵、013贝ljA+2B=

'320

252

标准答案：1°27

知识点解析：

120'100120200320

A十23=210+2021=210+042=252

001,013.001,、026,027

3201

252

答案为1027

8、设"-11B为三阶非零矩阵,且AB=0,则t=

标准答案：一3

知识点解析：AB=0,故r(A)+r(B)&3又为三阶非零矩阵，故r(B闫所以r(A)V

12-212-2

|A|=4t3=0£-811

3-110-77

=7Q-8)+77—7,十2]-0

3,IAI=0，=-3・

TTTT

9、设向量cq=(l,1,1),a2=(l,1，0),a3=(l,0,0),p=(0,i,1),则。由

ai,a2,a3线性表示的表示式为.

标准答案：P=Ct]+0(X2—C13

知识点解析•：设线性方程组为Xiai+X2a2+X3a3=。，对它的增广矩阵施行初等变换,

得：

00:1-

(A,p)=-1o：o

o-i\1.

显然xiai+x2a2+X3C13=B的同解方程组Tx=d就是=一】它的惟一解就是

xi=LX2=0,2x3=-1.邛可以惟一表示成ai,a2,a3的线性组合是P=a+0ct2-a3.

产1+x2+x3=0

10、方程组12%一皿+3%=°中有个自由未知量.

标准答案：1

知识点解析：由于系数矩阵的秩为2,所以有3—2二1个自由未知量.

11、三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,则B=E+A*的特征值为.

标准答案：3,一1,0

知识点解析：设入为三阶矩阵A的特征值，IAI=—lxlx2=-2.A/的特征值

1

为一1,1,2,A”的特征值为2,—2,一I,故得：B的特征值为：3,—1,

0.

12、设3阶方阵的特征值为1,-1,2,则|A—5EI=.

标准答案：一72

知识点解析：如果M是A的特征值，则存在非零向量a使Aa=X()a,因此(A一

5E)a=Aa—5a=(Xo—5)a,所以比一5是A—5E的特征值，由此可知A—5E的

三个特征值为1—5=-*4,一1-5=-6,2-5=-3,所以IA—5EI=(-4)x(一

6)x(—3)=-72.

13、已知4阶方阵A相似于B,A的特征值为2,3,4,5,则IB—EI

标准答案：24

知识点解析：由于B与A相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩阵P,使

2000

0300

P1BP=

0040

10005J所以IB—EI=IP_1I—EI.IB-PI=IP“BP-p-

1000

0200

=24.

0030

1p।=0004

14、设二次型f(xi，X2,X3X4,X5,)的秩为4,而正惯性指数为3,则二次型的规

范型为.

标准答案：yi2+y22+y32-Y42

知识点解析：暂无解析

124

A=22—1

15、矩阵N—13J对应的二次型为.

标准答案：xJ+k4x2X2+8x]X3+2X22—2x2X3+3x3?

22

知识点解析：由二次型矩阵的定义知所求的二次型为：XI+4XIX2+8XIX3+2X2

2X2X3+3X3?.

三、计算题(本题共7题，每题L0分，共7分。)

aaab

aaba

D=

abaa

16、计算baaa

标准答案：将各行乘1加到第一行上，提取公因子3a+b,再利用行列式的性质化

为三角形，从而得结果为(3a+b)(b—a)3o

知识点解析：暂无解析

40036

A=01-1,B=11

0143

17、设矩阵1安2,并且AX=2X+B,求矩阵

X.

标准答案：由于(A—2E)x=B,所以

2036

*=G4-2E)T5=0—1-111

012,2一3.

1

V00(3

0-2—11

.01112

知识点解析：何无解析

100

A=230

5

18、设矩阵136)求(A*)-I.

100

：|A|=230=18#0.1

At=——

标准答案：356因此A可逆并且S所以

=布

(1001

A*=IAI.A,，（A*）”〔356.

知识点解析：暂无解析

(1)roi21

i1

0

19、设向量组11J14J的秩为2,求a的值.

ri021

111

0-2

标准答案：以a1,a2,a3为列向量的矩阵作初等行变换，有14-2

2

-1

a—2

0因为当a—2=0即a=2时，aI,a2,a3的秩为2,

而a一2Mo即a^2,ai,az,013的秩为3,所以a=2.

知识点解析：暂无解析

T

20、设三元非齐次线性方程组Ax=XKjr(A)=2,囚=(1,2,2),a2=(3,2,1)丁是

Ax=b的两个解，求该方程组的通解.

标准答案：［提不］囚,ot2=(-2,0,1)丁是Ax=0是基础解系.所以通解为(1,2,

2)T+C(—2,0,1)%为任意常数).

知识点解析：暂无解析

21、设n阶可逆阵A的每行元素和均为a(a/0),求2A“+E的一个特征值及对应的

知识点解析：暂无解析

a

22

121

b

222

A=

1

00

11

00

22、设五显

T

11

2

Q=2