勾股定理知识点梳理

勾股定理知识点梳理

1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角，直角三角型的两锐角互余；②边，直角三角形两直角

边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在RtZiABC中,团：③面积，两种计算面积的方法。

2.如何判定•个二角形是直角三角形呢？

①有一个内角为直角的三角形是直角三角形：②两个内角互余的三角形是直角三角形；③如

果三角形的三边长为a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形

3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4.互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互

逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数

时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17；9,40,41等

6.勾股定理的证明。

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法R71°

用拼图的方法验证勾股定理的思路是\义/

①图形进过割补拼接后，只要没有重置，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：\

方法一：团,国化简可证.N-------N

AcB

方法二:

四个直角三角形的而积与小正方形而积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4X,M+C2=2"〃+C2

2

大正方形面积为S=(a+b)2=a~+2iib+b2

所以4+b2=c1

方法三:同助化简得证

一.典型例题

类型一：勾股定理的直接用法

1.在RSABC中，ZC=90°

⑴已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c；(3)已知c=25,b=15,求

a.

思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理

的变形使用。

举一反三

.【变式】：如图NB=NACD=90°.AD=13,CD=12.BC=3,贝I]AB的长是多少?.类型二：勾股定理的

构造应用.2.如图，已知:在回中，瓦团国•求:BC的长....回..思路点拨：由条件瓦想到构造含

团角的直角三角形，为此作目于D,则有

0,0,再由勾股定理计算出AD.DC的长，进而求出BC的长.

.举一反三【变式1】如图，已知：13,团团于P.求证:团....团.【变式2】已知：如图，ZB=Z

D=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2O求:四边形ABCD的面积。.....D

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了回到达

B点，然后再沿北偏西300方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,

问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

0

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小

于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD_LAB,与地面交于H.

（二）用勾股定理求最短问题

4.国家电力总公司为了改善.衣村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改

造，某地有四个村庄ABC.D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架

设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计和一下，哪种架设方案

最省电线.

回

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长,

然后进行比较，得出结论.

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只

蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

.解:.…团.如图，在心△ABC中，BCR底面周长的一半=1。皿.根据勾股定理..（提问:

勾股定理）..AC=[3=.=[a七10.77（cm）（勾股定理）..答：最短路程约为10.77

cm.

类型四：利用勾股定理作长为例的线段.5.作长为队回、回的线段。.思路点拨：由勾股定理得,

直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于团，直角边为团和1的直角三角形斜边长就是⑶,

类似地可作吼..举一反..【变式】在数轴上表示例的点。.解析：可以把用看作是直角三角形的

斜边,0,…为了有利于画图让其他两边的长为整数,…而10又是9和1这两个完全平方数的和,

得另外两边分别是3和1。.......作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作AC_LOA且

截取AC=1,以0C为半径，…以0为圆心做弧，弧与数釉的交点B即为队

类型五：逆命题与勾股定理逆定理.6.写出下列原命题的逆命题并判断是否正确.1.原命题:

猫有四只脚.（正确）.2.原命题：对顶角相等（正确）.3.原命题：线段垂直平分线上的点,

到这条线段两端距离相等.（正确）.4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.

（正确）.思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。.解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不

正确）..2逆命题：相等的角是对顶角（不正确）..3逆命题：到线段两端距离相等的点，在

这条线段的垂直平分线上.但（正确）…4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线

上.（正确）.总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。.7、如果AABC的三边

分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状。..总结升华：勾股定

理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到.

.举一反三【变式1】四边形ABCD中，NB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD

的面积。一【变式2】已知:AABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m>

n）,判断AABC是否为直角三角形..分析:本题是利用勾股定理的的逆定理.只要证

明:a2+b2=c2即可.证明:防…..…0...所以AABC是直角三角形..【变式3］如图正方形ABCD,E

为BC中点，F为AB上一点，且BFWAB。....请问FE与DE是否垂直?请说明。.

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若宜角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此宜角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通

过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方

程（组）求解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+l,n+2,n+3,求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解“

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40

解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

【变式5】四边形ABCD中，ZB=90c,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面

积。

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30°,点A处有一所中学，AP=

160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿

PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？清说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为

18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实他上是看A到公路的距离是否小

于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）

要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对■学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到

拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么,AD=100（m）,BD=60（m）,

.*.CD=120（m）o

拖拉机行驶的速度为:18km/h=5m/s

t=120m-r5m/s=24so

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声即响，学校受影响的时间为

24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件,则可以通过作

辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，

在花园内走出了一条“路工他们仅仅少走了步路（假设2步为1m）,却踩伤了

花草。

□

解析：他们原来走的路为3+4=7（m）

设走“捷径”的路长为xm,则13

故少走的路长为7-5=2（m）

乂因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为

1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多

少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

团

类型三：数学思