利用递推数列求通项公式

利用递推数列求通项公式（完整

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利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造法求

递推数列的通项公式的方法和策略.

一、构造等差数列法

例1.在数列｛an｝中，=3,〃〃“+[=(〃+2)〃“+2〃(〃+1)5+2),求通项公式an。

解：对原递推式两边同除以〃(〃+1)5+2)可得：

————=——+2①

(〃+2)(〃+1)(〃+1)〃

令②

(〃+1)/2

则①即为a+i=2+2,则数列｛悦｝为首项是4==，，公差是hi-h=2

(1+R1)X12n

311

的等差数列，因而a=已+2(〃-1)二2〃一一，代入②式中得凡=—〃(〃+1)(4〃-1).

222

故所求的通项公式是

an=—«(n+1)(4/?-1)

二、构造等比数列法

1.定义构造法

利用等比数列的定义q=也，通过变换，构造等比数列的方法。

%

+2

例2.设在数列｛厮｝中,.=2,=」一，求但力的通项公式。

2/

解：将原递推式变形为

%+夜=”户①

2a..

an+i+叵a+板］2

①/②得:=

。“+|一亚见一啦

即1g巴上1=2忸巴二d③

4川-&an-y/2

设勾二怆["^]④

a-2

③式可化为—=2,则数列｛0｝是以b产1g严+.]=lg2/=21g(V2+1)为

q-J22—V2

首项，公比为2的等比数列，于是a=21g(血+1)X2"T=2"lg(0+l),代入④式得:

+V2r-2"fenzwV2f(V2+I)2+1]..if

———产=(。2+1)一,解得。〃=----k——7---------为所求。

3-五(V2+1)7M-1

2.an+i=Aa〃+5(A、B为常数)型递推式

可构造为形如。向+儿=4/+/1)的等比数列。

例3.已知数列｛〃”｝,其中为=1,%+i=M〃+2,求通项公式*o

解：原递推式可化为：an+l+1=3(an+1),则数列｛。“+1｝是以0+1=2为首项,

公比为3的等比数列，于是册+1=(q+1)X3'i=2X3"、故。〃=2X3”T-1。

3.%+1=4/+B'C"(人、B、c为常数，下同)型递推式

可构造为形如%+i+2・C,,+,=A(Q”+4・C〃)的等比数列。

例4.已知数列｛%｝,其中4=1,且明讨="'_，求通项公式a”

131

解：将原递推变形为——=-一+2〃，设悦=一0①

分析：首先考虑所给递推式与公式（。+份3=/+3a2b+3必2+h3的联系。

解：设/+则。2=。：-3%=*+厂厅-35+厂|）=/+r3同理

9.-927.-27

a3=x+x,a4=x+x，…。

33133-3

即。I=x*+工-'‘，a2=x'+x,a3=x+x,x4=x"+x',,,,猜想

y"

an=x'+x-^o下面用数学归纳法加以证明（证明略）。

由于4=1,即x+/7=l,解得x=3主叵，于是4=（生叵）丁+

22

（空卢）-3"'为所求,

递推数列通项求解方法举隅

类型一：a,^=pan+q(pwl)

思路1(递推法)：an=pan_｝+q=p(pan_2+q)+q=p\_p(pan_3+17)+^]+<7=

/、

...=p"-&+q(l+p+〃2+・・・+“L2)=.p〃T+q。

思路2(构造法)：设。“+]+〃=+〃)，即4(p_l)=g得,=—^―,数列

〃一1

/、

[4+〃｝是以q+〃为首项、〃为公比的等比数列，则可+—”=4+—”pn~\即

〃-1I〃-"

an=[a\°

IP-V1-〃

例1已知数列｛4｝满足/=2q-+3且％=1,求数列｛。〃｝的通项公式。

解：方法1(递推法)：

。〃=2a〃_i+3=2(2a〃_2+3)+3=22(2aM_3+3)+3+3=...

,,+1

=2”T+3(1+2+2?+…+2"<)=|]+▲]•2〃T+—=2-3。

(2-1J1-2

方法2(构造法)：设一+〃=2d+//)，即〃=3,数列｛4+3｝是以4+3=4

为首项、2为公比的等比数列，则。“+3=4-2"7=2田，即。“=2田一3。

类型二：〃〃+1=q+/(〃)

思路1(递推法)：

〃〃=%+f(n-l)=an_2+f(n-2)+f(n-1)=an_3+f(n-3)+/(〃-2)+f(n-1)=

/=i

思路2(叠加法)：atla%_i=/51），依次类推有：a,—%一2=/52)、

。〃-2一%-3=/(〃一3)、…、生一4=/(1)，将各式叠加并整理得勺一囚=£/5)，即

i=\

，一!

〃“=q+Z/(〃)。

1=1

例2已知4=1,an=an_x+/?,求4。

解：方法1(递推法)：〃〃=4—+〃=。〃_2+(〃-1)+〃=。“-3+(〃-2)+(〃-1)+〃=

.........q+[2+3+…+(〃-2)+(〃-1)+川=Z〃=""+Do

»=i2

方法2(叠加法)：。“一an_x=n,依次类推有：4-—an_2=/?-Kan_2-an_3=%一2、…、

%-4=2,将各式叠加并整理得〃〃一q='〃，a"=q+=:/2="。，+D°

z=2i=2i=l2

类型三：afl+l=f(n)-an

思路1(递推法)：

%=f(n-l)-an_x=f(n-l)-f(n-2)-an_2=2)-/(n-3)-an_3=•••

=/(1)•/⑵•/(3)—2)・小一1)・q。

思路2(叠乘法)：'=/(〃—1),依次类推有：4a=/(〃—2)、

%T4-2

生二八〃一3)、…、竺二*)，将各式叠乘并整理得2="1)"(2)"(3>・・・

%-344

•/(n-2)./(n-l),即4=/⑴♦/⑵♦/(3)……/(〃—2)•/(〃-1)•《。

〃一1

例3已知4=1,an=----an,,求〃〃。

〃+1

/7—111—1n-2n-\n-2n-3

解：方法1(递推法)：a〃=-^=—~~n~-—明

n+\〃+1

2

九(〃十1)

方法2（叠乘法）：2二巴]，依次类推有：也二巴匚、吐二土工、…、幺=2、

明〃+1a吁2〃。〃_3〃T44

卅1〃八区工乂田田小4，〃一1〃一2〃-321

4二一，将各式叠乘并整理得j=-----------------——，n即n

q3ax72+1nn-\43

n-172-2n-3212

ci,,=--------------------=-------。

〃+1nii—\43n{n+1）

类型四：%=pa“+qj

思路（特征根法）：为了方便，我们先假定q=m、a2=n.递推式对应的特征方程

（

为/二度+乡，当特征方程有两个相等实根时，a〃=（c〃+d>—（c>d为待定系

<2J

数，可利用4=〃2、生=〃求得）：当特征方程有两人不等实根时X、看时，

%=分产+大〃7（6、/为待定系数，可利用力=也、/=〃求得）；当特征方程的根

为虚根时数列{q}的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4己知4=2、%=3,。,山=6。〃_]一。“，求册。

解：递推式对应的特征方程为V=-x+6即/+1一6=0,解得玉=2、X2=-3O

设〃“="Ji+饱〃t,而q=2、g=3，即

9

e=—

e+f=2cQ1

」，解得D,即4=_.2"7+-.（-3产。

2e-3f=3,1"55

/=?

类型五：〃向=Pa〃+均〃（〃=g。。）

/\

n[

思路（构造法）：an=pan_}4-rq~,设&+〃=%+〃，则

q19>

2=z

入q=Pq。那么[%+」一]是以幺+'一为首项,

一〃”「从而解得

[4（之一1"〃=47_rWP-Q]qp-q

zzz/一

P-Q

巳为公比的等比数列。

q

例5已知q=l,=一。〃_]+2"T,求〃〃。

解•：设&+〃=4芸+〃，则,

2〃(2〃T

N

111111f1Y7J

是以上—上=上为首项，上为公比的等比数列，即2n―已=上,1,.•.《==

2362T36UJ3

类型六：an+}=pan+/(;?)(〃。0且〃。1)

思路（转化法）：。“二〃《1+/5-1）,递推式两边同时除以p〃得

$=黄+"；丁），我们令去=年，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例6已知q=2,。〃+]=4。〃+2〃+、求。“。

/1Yn

解：/=4〃i+2”，式子两边同时除以4〃得之=@+-,令2=〃“，则

444

/1\n/i、〃-1

/一〃,1=彳，依此类推有".「々一2二弓

b2-h,=-,各式叠加得"—々"Z卜’即

/]y»

/c=4〃也H=4"-1——。=4〃一2"。

I

类型七：。田=pa：3〃>0）

思路（转化法）：对递推式两边取对数得10gzM4+i=rlog/”+log切〃,我们令

%=log”%，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

例7已知q=10,〃〃+]=a；,求％°

解：对递推式/7=%2左右两边分别取对数得1ga〃M=21g%,令lgan二b”,则

鼠=2"即数列也｝是以4=怆10=1为首项，2为公比的等比数列，即a=2〃/，

因而得4=1（*=1（尸，

类型八：%+|=’"〃（。工0）

P3+d

思路（转化法）：对递推式两边取倒数得一匚二队卢d,那么，=a._L+K,

4用cqa“+icaflc

令b〃=L,这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

册

2,ci

例8已知4=4,。“+]=----—,求ano

24+1

解：对递推式左右两边取倒数得」一=也“即「一=、」-+1,令」-二"则

4+1an+i2auan

1ii7

b-L+l。设2讨+〃=不（2+〃），即〃=—2,.•.数列也—2｝是以1_2=_公为

L乙II

17,〃+2_70刀+1

首项、彳为公比的等比数列，则2一2=-弓不，即"=下-，.・.勺=不『。

zzzz—/

类型九：〃〃+[=""（cwO、ad-bcwO）

c•%+d

思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为工二"也即。/+（“一〃）工一〃=0。

cx+d

1

当特征方程有两个相等实根％=々5时,为等差数列,

a-d

匕+X（2为待定系数，可利用啧叫求得）：当特征

我们可设-----——r=一

a-d

4+i--丁4

2c2c

方程有两个不等实根当、元时，数列11工，是以巴二五为首项的等比数列，我们可

a\~X2

。〃一凡二4一3

设为待定系数，可利用己知其值的项间接求得）；当特征

。〃一工214一工2/（4

方程的根为虚根时数列｛凡｝通项的讨论方法与上同埋，此处暂不作讨论。

例9已知4=一,%=+(n>2),求。“。

24-+2

解：当〃22时，递推式对应的特征方程为x=如0即/一2工一3二0,解得

A+2

%+1是以4-%=2

$=1>x=3o数歹ij«1为首项的等比数列，设

26Z]—X、—2

=由q=，得%=2则一3=—〃，,•.〃=3,即^■!■=,

。〃一32一。〃一3

£

,7?=1

3"-12

从而为=FTP'%=

3〃一1

,72>2

-3”T+1

寒假专题一一常见递推数列通项公式的求法

重、难点：

1.重点：

递推关系的几种形式。

2.难点：

灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】

［例1］4+1〃+〃型。

（1）2=］时，45一氏=〃={%}是等差数列，=0•〃+（q_。）

a

（2）左W］时，设氏+|+加=以%+加）・・・n+i=kan+km-m

b

m=----

比较系数：km-m=b.・.k-\

{Cl4----------}Cl,d---------

k-l是等比数列，公比为％,首项为k-l

bbb

Ab=6.k〃一'

3k(…

k-\1k-\

［例2］"〃+i=Mf（"）型。

（1）左=1时，"用一（=/5）,若/5）可求和，则可用累加消项的方法。

_1

例：己知{《J满足，，+'"以〃+1）求伍〃}的通项公式。

解：

1,-.1.—,1,

n[n+I)nn+1

11

a-a,=｝—a=2—

对这（鹿一1）个式子求和得：nn：.nn

(2)&W1时,当/(〃)=「九+b则可设4+i+力(〃+1)+8=以。〃+A九十3)

,Q〃+]=kan+{k-\)An+(k-\)B-A

{k-V)A=a&口ba

...[(攵-1)3-A=〃解得：攵k-\(左一1)

・・・伍〃+八〃+同是以q+A+8为首项，Z为公比的等比数列

♦cin+An+B=(tZ|+A+B)•k"'

n

Aan=(ai+A+B)k-'-An-B将A、B代入即可

(3)/(〃)「"("0,1)

ka1

----—•-----n-fr-—

等式两边同时除以‘川得qq'q

Clt=3Cn+1=-C/J+-

令q〃则"q〃q⑹}可归为〃〃+1="“+b型

[例3]4川=/（〃）.。〃型。

（1）若/（〃）是常数时，可归为等比数列。

（2）若/（〃）可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

12n-[

例：已知：'-3,，l~2n+\,,-1（〃之2）求数列｛〃〃｝的通项。

%。〃一2%电_2〃-12n-32n-5533

，，，

解：。〃-1。〃-2%-3%%2〃+12/?-12n-375-2/7+l

31

a=a.---------=---------

・・・〃n12/1+12n+l

[例4]〃?+%一型,

11

，=2(+-)=K--------十一

考虑函数倒数关系有句m'.明“m

Cn=—_

令an则｛0〃｝可归为〃"+1=攵%+人型。

练习：

1.已知伍〃｝满足囚=3,勺讨=2%+1求通项公式

解：

设〃用+加=2(%+m)an+x=2a“+m...m=1

・・・伍〃讨+1｝是以4为首项，2为公比为等比数列

...Q〃+1=4・2"T%=2向

2.已知｛"”｝的首项4=1,〃”+1="〃+2〃(rieN)求通项公式。

解：

4-an-\=25-D

an-\~an-2=2(77-2)

an-2-an-3=2(〃-3)

a,J-a/.=2x2

+a2-ax=2x1

2

an—a]=2|1+2H-----t-(n—1)]=n—n

2

an=n-n-\

n

a—____口

3.已知｛""中，〃+2"且4=2求数列通项公式。

解：

a3a2〃一1〃一2〃一3〃一4212

、•ZZ•••—•—

生％〃+1〃n—1n-243〃(〃+1)

。〃—24

—=---------ci----------

q〃(〃+1)..."心+1)

2〃~。〃

4.数列伍"中，一2向十。〃，6=2,求｛%｝的通项。

/解irI・•

1尸+了111

=—+

4+i2向。〃a..2/,+,

bn=—b.=b+-^—h=b,+—

.bn-bn-\=^T

%-%=*

*一*=羡

…2=!

,,1

+b「b\=—

]□(!)"“1

2~2j__J_

11

+—+•••+一2~r

乙232”2

71112Z,-12n

b=---------1—=--------ci=------

.・・“22〃22"・・・“V

1c1

a--a.4-2/7-1(i

5.己知：6=11,时，n2,求1%)的通项公式。

解：

%+An+B=+A(n-1)+B]

设2

1

222

--A=2

<2

11[A=-4

——A——B=-\I'

22解得：[3=6.・.-4+6=3

・・.&_4〃+6｝是以3为首项,5为公比的等比数列

3

%-4〃+6=3.(Q尸.an=-+4n-6

【模拟试题】

1.已知｛"/中，4=3,"”+i=a〃+2",求""。

2,已知中，卬=1,。〃=3。〃_[+2（〃22）求明。

3,已知｛/｝中，q=1,an=2。〃_1+2"（〃22）求明。

an=4-----

4.已知他"中，。1=4,an_｛（〃之2）求明。

2S：

an=------

5.己知他〃｝中，4=1,其前〃项和S〃与%满足2s〃-1（/?>2）

｛—｝

（1）求证：S”为等差数列（2）求｛6J的通项公式

,1S=—（a+2）2

6.已知在正整数数列｛4>中，前.〃项和c与满足8

_30

（1）求证：｛%｝是等差数列（2）若""一5"〃求@〃｝的前n项和的最小值

1.解:

+a2—a｝=2

.・・"〃一弓一_i-2~2-2...%=2〃一2+《=2"+l

2.解：

a

由n=3a”T+2得：an+1=3(a〃_1+1)

・・.+1即｛%+1｝是等比数列

,,_|

%+1=(q+1).3'i...an=(%+1)•3"一|一1=2•3-1

3.解：

anan-\y凹2=1

由*=2%+2〃得2〃2"T一・・.2〃成等差数列，2〃-2

%=人2〃-2"7

4.解:

=一+

%4.・・明+】-22(an-2)2an-2(n>i)

a22a2

n+\~4_2(〃N1)设n-

即%f=5（m）

・•・g"是等差数列_2q_22-2

5.解:

25；

S〃-S〃_]

〃

(1)2S—1AS,-S“Sa

£=2中是首项为1,公差为2的等差数列

—=2«-l

・・s.

2(—!—尸

-2

a=2〃-1—;----------("22)

〃14/22-8/2+3

s,t=2-----------1

⑵2^i2/z-l

n=1

-2

(〃N2)

又・・・-=1.4九2-8〃+3

6.解：

⑴6=SL/+2)2,%=2

11

a=S„-S.=-(〃“+2/9__।+219

〃之2时，n“"<881

整理得：（4+%―）（〃“一-4）=0

・・・{〃，/是正整数数列.,・二%一%=4

・・.{〃，J是首项为2,公差为4的等差数列an=4〃一2

h=-(4/?-2)-30=2/7-31

(2)2

，色}为等差数列.・.S〃=/_30〃

当〃=15时，S〃的最小值为§-30xl5=-225

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造

法求递推数列的通项公式为方法和策略.

一、构造等差数列法

例1.在数列｛an｝中，=3,=(”+2)々〃+2〃(〃+1)(〃+2),求通项公式an。

解：对原递推式两边同除以n(n+1)(/2+2)可得：

——----=——+2①

(〃+2)(〃+1)(〃+1)〃

令一二""②

(〃+1)/2

则①即为勿+1=2+2,则数列｛悦｝为首项是4=一四一二：,公差是"讨一勿=2

(1十1)X12

311

的等差数列，因而4=一+2(〃-1)=2〃-一，代入②式中得4=一〃(〃+1)(4〃-1)。

222

故所求的通项公式是

a„=—n(n+1)(4〃-1)

2

二、构造等比数列法

1.定义构造法

利用等比数列的定义《=—,通过变换，构造等比数列的方法。

4

例2.设在数列｛an｝中，。1=2,4“+]=+2,求｛an｝的通项公式。

解：将原递推式变形为

…5①

…二T②

an+i+叵a+板］2

①/②得:=

。“+|一亚见一啦

即1g巴上1=2忸巴二d③

4川-&an-y/2

设勾二怆["^]④

a-2

③式可化为—=2,则数列｛0｝是以b产1g严+.]=lg2/=21g(V2+1)为

q-J22—V2

首项，公比为2的等比数列，于是a=21g(血+1)X2"T=2"lg(0+l),代入④式得:

2

+V2I—2"fenzwV2f(V2+I)+1]..if

———产=(。2+1)一,解得。〃=----k——7---------为所求。

3-五(V2+1)7M-1

2.an+i=Aa〃+5(A、B为常数)型递推式

可构造为形如。向+儿=4(/+/1)的等比数列。

例3.已知数列｛〃”｝,其中为=1,%+i=M〃+2,求通项公式*o

解：原递推式可化为：an+l+1=3(an+1),则数列｛。“+1｝是以0+1=2为首项,

公比为3的等比数列，于是册+1=(q+1)X3'i=2X3"、故。〃=2X3”T-1。

3.%+1=4/+B'C"(人、B、c为常数，下同)型递推式

可构造为形如%+i+2・C,,+,=A(Q”+4・C〃)的等比数列。

例4.已知数列｛%｝,其中4=1,且％讨=-_，求通项公式a”

131

解：将原递推变形为——=-一+2〃，设悦=一0①

得%।=-3〃+2”②

设②式可化为4+i+7・2w+,=-3(2+4・2〃)，比较得丸=-」于是有

〃用一：・2向二一3我—：・2〃)

JJ

1I23

数列｛a一5・2〃｝是一个以々一5・21=1一5=5为首项，公比是一3的等比数列.

1711

所以“一1•2M=|(-3)w-',即a=2・2〃一点一3)〃，代入①式中得：

%=-—-为所求。

”2〃_(-3)〃

4.%=A/+用2+C型递推式

可构造为形如。向+^n+A2=A[a“+4(〃-1)+丸2]的等比数列。

例5.在数列｛/｝中，〃]二1,2%-々〃_]=6〃-3,求通项公式。〃。

解：原递推式可化为23“+4"+；12)=。1+%(〃-1)+42，比较系数可得：

2,=-6,%=9,上式即为2a=。一，｛"｝是一个等比数列,首项仇=」一6九

91

+9=2,公比为一。

22

所以勿="；)”L

即明一6〃+9=9・J)",故%=9・(')"+6”-9为所求。

〃"、2’

三、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、

函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。

例6在数列｛凡｝中,3=1,%产端_初,求通项公式an。

分析：首先考虑所给递推式与公式（。+份3=/+3a2b+3必2+h3的联系。

解：设/+则。2=。：-3%=*+厂厅-35+厂|）=/+r3同理

9.-927.-27

a3=x+x,a4=x+x，…。

33133-3

即。I=x*+工-'‘，a2=x'+x,a3=x+x,x4=x"+x',,,,猜想

y"

an=x'+x-^o下面用数学归纳法加以证明（证明略）。

由于4=1,即x+/7=l,解得x=3主叵，于是4=（生叵）丁+

22

（空卢）-3"'为所求,

求a尸pai+g型数列通项公式的方法

武进横山桥高级中学许光健

关键词：

等差数列等比数列递推公式通项公式化归待定系数法

摘要：

上篇解决了几种如何由a方pa—+q型递推公式求数列｛aj的通项公式的方

法.按0,g的不同取值情况分别给出了讨论.还给出了由与之类似的几种递推

公式求通项公式的方法.这里主要是通过化归的思想，待定系数等方法来解决.本

篇再来探讨由劣二劣+尸(力，a=f(n)anr3二0劣+尸(〃型的递推公式求通项公式的方

法.

正文：

上篇给出了由为二0a-+g型递推公式求数列｛4｝的通项公式的方法，下面再研究

儿种类似的题型：

1.an=an-1+f(n)

对于形如4川=4+/(〃)型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到

n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。

这种类型是由a型将其中的Q换为F")而引申得到的，这种类型可以

采用求等差数列通项公式的叠加法得到：

a2=a｝+f(2),

a：尸a2+，(3),

4=43+/(4),

a^an-)+/'(〃)

将式子叠加得：

n

a,=a1+Zf(〃).

1»2

这里将问题转化为求£/(〃)，特别地，若尸(而是表示等差或等比数列

r=2

时，即求数列的前〃项和.

例如1：若在数列｛%｝中，4=3,=4〃+〃，求通项明。

解析：由凡+i=4“+〃得。〃+1-〃“=〃，所以

*=〃T，一凡-2=〃—2,・・・，a2-aA=1,

将以上各式相加得:。〃一q=(〃-1)+QL2)+…+1,乂q=3

所以〃〃二四心+3

4

2.&=f(/?)an-\

对于形如。的=/(〃)％型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到

n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。

这种类型是由劣二2&一型将其中的〃换为f(〃)而引申得到的，这种类型

可以采用求等比数列通项公式的思想得到：

a2=f(2)c?1

a3=/'(3)a2

a.t=f(4)a3

&二f(/?)an_x

将式子叠乘得：

n

a=a]nf(〃).

ni=2

这里将问题转化为求力f(〃).

1=2

例如2.在数列｛册｝中，4=1,a“+]=2"%(〃wN*),求通项

解析：由已知巴旦二2"，£L=2"T,8=2"-2,…，”=2,又q=l,

%a…%_2%

所以明二1•…二M=2〃L2〃-2.….2.1二2三

3.a^pa,^]+/,(/?)其中p于1

这种类型是由办二川—+仍夕W1将其中的g换成f(〃)得到的.这里我

们可以在两边同除以。'得：

―_%7,f⑺

p"一//-*pn，

记：4=2,则转化为类型1来求解.

P"

最后，/=/'(〃)di+q型和a=F(〃)ai+g(〃)型的通项公式还未发

现初等的一般解法，也在这里提一下，希望读者给予解决.

参考文献：

《初等数学研究教程》葛军涂荣豹编著

《数学》(必修)人民教育出版

递推数列通项求解方法举隅

类型—：%.i./叫,q（p/］）

思路1（递推法）「叫尹07双尸（叫，7）7]7

P/♦</（1♦♦Ip-1）

,q

思路2（构造法）：设八♦"‘"（』」"），即"（『»7得rI数列卜「"）

q4

是以…为首项、,为公比的等比数列，则0三—p

川

p即

,十。

例1已知数列”」满足*2-一,：：且劣-I求数列”•；的通项公式。

解：方法1（递推法）：

2』一♦3・2（2九,43）43.2[2（2<,43）43]<3|♦NI+2C+

3

--2***-3

-2

方法2（构造法）：设力•C"二（J「"），即〃=3,...数列｛叱*3；是以4.3J为

首项、2为公比的等比数列，则氏*342一-21即力・2”|-3。

类型二：才八"）

思路1（递推法）：

，■%♦f（n-l）«%:♦f（n-2）♦f（i>-I）-♦“。"3八f\n-2）,f（n-i）«

t■

■巴♦£f（n）

o

思路2（叠加法）：依次类推有：4,拗，速,、

或维A.1!■力文…、叫-4•八1）,将各式叠加并整理得_,即

幺|

例2己知4-I久・力「〃，求久。

解：方法1(递推法)：久7.「"丁(。・2卜(”1~

…，■、.二爪〃.1)

S,4>(/7-2)4(A-I)4-/>]■Vn»----------

・%,[2,3十52

•••••••••O

方法2(叠加法)：力一见「0,依次类推有："I♦…>2、

二:二/1<〃♦I)

也・4•'，将各式叠加并整理得I,7