2026届中考数学考前预测模拟试题（江苏镇江卷）-有解析

/2026年中考考前预测卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．计算﹣7+2的结果是（）A．﹣5 B．﹣9 C．5 D．92．下列计算正确的是（）A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（2a3）4＝8a7 D．a4÷a3＝a3．（新情境）周口店北京人遗址位于北京市房山区，是中国首批列入《世界遗产名录》的世界文化遗产，为研究东亚地区人类起源与演化提供了不可替代的珍贵实物证据．考古研究证实，“北京人”在该遗址生活的年代最早距今约700000年，最晚距今约200000年．则“北京人”在周口店遗址生活的时间跨度用科学记数法表示约为（）A．7×105年 B．5×105年 C．2×105年 D．0.5×106年4．一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（）A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，135．（文化背景）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸），设木头长x尺，绳子长y尺，根据题意可列方程组为（）A．y−x=4.5xC．y−x=4.56．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140° B．130° C．50° D．40°7．如图所示几何体的主视图是图中的（）A． B． C． D．8．如图，要测量湘江两岸相对的两点P，A的距离，可以在河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝200米，∠PCA＝40°，则河宽PA为（）A．200sin40°米 B．200cos40°米 C．200tan40°米 D．200tan50°米9．如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y=kx(k＜0)恰好经过线段A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣610．如图，矩形ABCD的边CD在直线l上，已知AB＝4，BC＝3，若矩形ABCD每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转90°．如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点D1、A1、B1位置；如第2次旋转以B1为中心，旋转后点C、D1、A1分别旋转到点C2、D2、A2位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（）A．3038π B．6079π2 C．3040π 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是．12．因式分解：4m2+6m＝．13．若关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根，其中a为实数，则a2+1﹣4a＝．14．妈生日前夕，芳芳用一张圆心角为150°，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为cm．15．如图，AB＝AC，∠A＝40°，BC＝6，∠ABD＝20°，则AD＝．16．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是．三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：(π18．（5分）解分式方程：1x19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF．连接BE、BF，延长BF交AD的延长线于点G．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若AB＝4，AE＝3，求DG的长．20．（6分）一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同．（1）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为；（2）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）21．（6分）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（x＜6小时），B组（6≤x＜7小时），C组（7≤x＜8小时），D组（8≤x＜9小时），E组（x≥9小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为°；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？22．（6分）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在10°以内，某高铁线路需避开山体，在B点处规划两处绕行方案：方案一：设计9°的拐角，即∠CBF＝9°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；方案二：设计6°的拐角，即∠DBF＝6°，在D点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片沙地（即BD为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．（1）若DE与BF的距离DG为66米，求线段BD、BC、CD的长．（2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：sin6°≈0.10，tan6°≈0.11，sin9°≈0.15，tan9°≈0.16）23．（6分）如图，双曲线y=3x（（1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由；（2）点P在该函数图象上，连结OP．①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式；②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积．25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．（1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式；（2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围；（3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示）26．（12分）平行线是研究三角形相似的基本工具．【初步尝试】（1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，BDDC=12，在AB边上求作点【深入研究】（2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，BDCD=B′D′C′D【应用拓展】（3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3．①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是．2026年中考考前预测卷数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．计算﹣7+2的结果是（）A．﹣5 B．﹣9 C．5 D．9【正确答案】A【分析】根据有理数的加法，即可解答．解：﹣7+2＝﹣5，故选：A．2．下列计算正确的是（）A．a4•a2＝a8 B．a4+a2＝a6 C．（2a3）4＝8a7 D．a4÷a3＝a【正确答案】D【分析】根据同底数幂的运算法则，对所给选项依次进行判断即可．解：由题知，因为a4•a2＝a4+2＝a6≠a8，所以A选项不符合题意；因为a4与a2不是同类项，不能合并，所以B选项不符合题意；因为（2a3）4＝24•（a3）4＝16a12≠8a7，所以C选项不符合题意；因为a4÷a3＝a4﹣3＝a，所以D选项符合题意．故选：D．3．（新情境）周口店北京人遗址位于北京市房山区，是中国首批列入《世界遗产名录》的世界文化遗产，为研究东亚地区人类起源与演化提供了不可替代的珍贵实物证据．考古研究证实，“北京人”在该遗址生活的年代最早距今约700000年，最晚距今约200000年．则“北京人”在周口店遗址生活的时间跨度用科学记数法表示约为（）A．7×105年 B．5×105年 C．2×105年 D．0.5×106年【正确答案】B【分析】科学记数法是把一个数用a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式表示，据此表示8871.58万，根据选项作相应的四舍五入即可．解：700000﹣200000＝500000＝5×105．故选：B．4．一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（）A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，13【正确答案】C【分析】依据中位数和众数的定义可得答案．解：数据13出现了2次，最多，位于中间位置的数是13，所以这组数据的中位数为13，众数为13，故选：C．5．（文化背景）《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸），设木头长x尺，绳子长y尺，根据题意可列方程组为（）A．y−x=4.5xC．y−x=4.5【正确答案】A【分析】根据题意两侧二元一次方程组即可．解：根据题意可列方程组为y−故选：A．6．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140° B．130° C．50° D．40°【正确答案】C【分析】由两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1＝50°，再根据对顶角相等求解即可．解：∵AB∥CD，∠1＝50°，∴∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等），∴∠2＝∠3＝50°（对顶角相等），故选：C．7．如图所示几何体的主视图是图中的（）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面所得到的图形即可．解：几何体的主视图是．故选：D．8．如图，要测量湘江两岸相对的两点P，A的距离，可以在河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝200米，∠PCA＝40°，则河宽PA为（）A．200sin40°米 B．200cos40°米 C．200tan40°米 D．200tan50°米【正确答案】C【分析】根据正切函数可求河宽PA的长度．解：根据题意可知PA⊥PB，∴∠APC＝90°，由题意可得：∴PA＝200tan∠PCA＝200tan40°（米）．故选：C．9．如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y=kx(k＜0)恰好经过线段A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【正确答案】A【分析】设点A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＜0），从而得到线段AB的中点M(a2，b2)，根据点M解：由条件可设点A（a，0）（a＞0），B（0，b）（b＜0），则线段AB的中点M(∵双曲线y=kx∴k=∵△ABO的面积为6，∴12OA⋅∴ab＝﹣12，∴k=ab4故选：A．10．如图，矩形ABCD的边CD在直线l上，已知AB＝4，BC＝3，若矩形ABCD每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转90°．如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点D1、A1、B1位置；如第2次旋转以B1为中心，旋转后点C、D1、A1分别旋转到点C2、D2、A2位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（）A．3038π B．6079π2 C．3040π 【正确答案】D【分析】根据所给旋转方式，依次求出每次旋转时点D运动的路程，发现规律即可解决问题．解：如图所示，第1次旋转后点D运动的路程为90⋅π因为矩形的对角线长为32则第2次旋转后点D运动的路程为90⋅π第3次旋转后点D运动的路程为90⋅π第4次旋转后点D运动的路程为0．由所给翻转方式可知，每四次旋转，点D运动的路程长度循环．因为2026÷4＝506余2，则506×（2π+5即第2026次旋转后点D运动的总路程为60812故选：D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是516【正确答案】516【分析】利用概率公式即可得出结论．解：由题意知，飞镖击中阴影部分的概率是516故51612．因式分解：4m2+6m＝2m（2m+3）．【正确答案】2m（2m+3）．【分析】根据提取公因式法分解因式即可．解：4m2+6m＝2m（2m+3）．故2m（2m+3）．13．若关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根，其中a为实数，则a2+1﹣4a＝1．【正确答案】1．【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到a2﹣4a的值，整体代入所求代数式计算即可．解：由关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0有两个相等的实数根，则Δ＝a2﹣4×1×a＝0，即a2﹣4a＝0，故原式＝a2+1﹣4a＝0+1＝1．故1．14．妈生日前夕，芳芳用一张圆心角为150°，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为5cm．【正确答案】5．【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径．解：设圆锥的底面半径为rcm，根据弧长公式，可得扇形弧长为：l=根据题意得，2πr＝10π，解得r＝5，则这个圆锥的底面半径为5cm，故5．15．如图，AB＝AC，∠A＝40°，BC＝6，∠ABD＝20°，则AD＝433【正确答案】43【分析】过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F，过点A作AK⊥BD交BD延长线于点K，由等腰三角形的性质得∠BAF＝∠ABD＝20°，易证得AF＝BF，再证明△BFE≌△AFK（AAS），得AK＝BE，进而证明∠DAK＝30°，则AD＝2DK，然后由勾股定理求出DK的长度，即可解决问题．解：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F，过点A作AK⊥BD交BD延长线于点K，∵AB＝AC，AE⊥BC，∠A＝40°，BC＝4，∴AE平分∠BAC，且E为BC中点，∴，BE＝EC＝2，∴∠BAF＝∠ABD＝20°．∴AF＝BF，∵∠FEB＝∠FKA＝90°，∠BFE＝∠AFK，∴△BFE≌△AFK（AAS），∴AK＝BE＝2，∵∠ADK＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠DAK＝30°，∴AD＝2DK，由勾股定理得：AK2+DK2＝AD2，即22+DK2＝（2DK）2，解得：DK=2∴AD=4故4316．已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+2（a≠0），若a＝2，当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，当x＝x0时，总有y≥n，则实数x0的取值范围是x0≥2或【正确答案】x0≥2【分析】根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，n=10+42，即对应点的坐标为(2，10+42解：由题意，∵a＝2，∴二次函数为y＝2x2+4x+6＝2（x+1）2+4，∴函数图象开口向上，对称轴且直线为线x＝﹣1，∵t＞0，∴t﹣1＞﹣1，∴当x在t﹣1≤x≤t范围时，y随x的增大而增大；当x＝t﹣1时，得：y＝2（t﹣1+1）2+4＝2t2+4；当x＝t时，得：y＝2（t+1）2+4＝2t2+4t+6，∵当t﹣1≤x≤t（t＞0）时，8≤y≤n，∴当y＝8时，得：2t2+4＝8，∴t=∴n=2∵当x＝x0时，总有y≥n；当x≥t时，y随x的增大而增大，∴x0≥t，即x0∵点(2，10+42)关于对称轴线∴当x0≤−2−2时，y综上所述，实数x0的取值范围为x0≥2故x0≥2三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：(π【正确答案】0．【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解．解：(=1+22−2×3=1+4−3+＝0．(5分)18．（5分）解分式方程：1x【正确答案】x＝1．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．解：原方程去分母可得：（x+2）﹣3x＝0，(2分)2﹣2x＝0，﹣2x＝﹣2，x＝1，(4分)经检验，原方程的解为x＝1．(5分)19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF．连接BE、BF，延长BF交AD的延长线于点G．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若AB＝4，AE＝3，求DG的长．【正确答案】（1）见解析；（2）43【分析】（1）根据菱形的性质，结合SAS证明即可；（2）先证明△DGF∽△CBF，进而即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴△ABE≌△CBF（SAS）；(3分)（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝CD＝BC＝4，∵AE＝CF＝3，∴DF＝CD﹣CF＝1，∵AD∥BC，∴△DGF∽△CBF，(5分)∴DGBC∴DG4∴DG=43．20．（6分）一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同．（1）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为14（2）将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【正确答案】（1）14（2）56【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸到的两个小球标号之和为正数的结果有10种，再由概率公式求解即可．解：（1）∵一只不透明的袋子中装有标号分别为﹣1，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同，∴从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为14，(2故14（2）画树状图如下：(4分)共有12种等可能的结果，其中摸到的两个小球标号之和为正数的结果有10种，(5分)∴摸到的两个小球标号之和为正数的概率为1012=5621．（6分）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（x＜6小时），B组（6≤x＜7小时），C组（7≤x＜8小时），D组（8≤x＜9小时），E组（x≥9小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共调查了100名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为90°；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？【正确答案】（1）100，90；（2）见解析；（3）210人．【分析】（1）由E组的人数除以占比求解调查的学生数，再由360°乘以B组的占比求解圆心角度数；（2）用总人数减去A、B、D、E组的人数求出C组的人数，即可补全条形统计图；（3）用样本估计总体的方法求解即可．解：（1）5÷5%＝100，(1分)360°×25100=90°，故100，90；（2）C组人数：100﹣20﹣25﹣30﹣5＝20（人），补全条形统计图为：(4分)（3）若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生为：600×30+5100=210（人），答：该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有210人．22．（6分）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在10°以内，某高铁线路需避开山体，在B点处规划两处绕行方案：方案一：设计9°的拐角，即∠CBF＝9°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；方案二：设计6°的拐角，即∠DBF＝6°，在D点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片沙地（即BD为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．（1）若DE与BF的距离DG为66米，求线段BD、BC、CD的长．（2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：sin6°≈0.10，tan6°≈0.11，sin9°≈0.15，tan9°≈0.16）【正确答案】（1）BC＝440m，BD＝660m，CD＝187.5m；（2）方案一的造价更便宜，方案一造价：10×（BC+CD）＝10×（440+187.5）＝6275（万元），方案二造价：10×1.1×BD＝10×1.1×660＝7260（万元），∵6275＜7260，∴方案一的造价更便宜．【分析】（1）作CK⊥BF，垂足为K，由已知可得CKGD为矩形，则CK＝DG＝66（m），解直角三角形分别求出BC、BD、BK、BG，再根据CD＝KG＝BG﹣BK，即可得解；（2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论．解：（1）如图：作CK⊥BF，垂足为K，∵DG⊥AK，CK⊥AK，∴CK∥DG，又∵CD⊥KG，∴四边形CKGD为矩形，(1分)∴CK＝DG＝66（m），∴BC=CKsin9°∴BD=∴BG=DGtan6°=66∴CD＝KG＝BG﹣BK＝187.5（m）；(4分)（2）方案一造价：10×（BC+CD）＝10×（440+187.5）＝6275（万元），方案二造价：10×1.1×BD＝10×1.1×660＝7260（万元），(5分)∵6275＜7260，∴方案一的造价更便宜．(6分)23．（6分）如图，双曲线y=3x（（1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由；（2）点P在该函数图象上，连结OP．①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式；②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式．【分析】（1）把x＝1代入y=3x，（2）设P（a，b），可得ab＝3．①根据M和P关于x轴对称求出M点的坐标，即可得到经过点M的双曲线的表达式；②过P，N分别作PM⊥x轴，EN⊥x轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可．解：（1）点A（1，3）在这个函数的图象上，理由：把x＝1代入y=3x得故点A（1，3）在这个函数的图象上；(1分)（2）设P（a，b），∵点P在该函数图象上，∴ab＝3，①将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，∴M（a，﹣b），(2分)设经过点M的双曲线的表达式为y=m∴m＝﹣ab＝﹣3，∴经过点M的双曲线的表达式为y=−3x；(②∵将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，∴∠PON＝90°，ON＝OP，∴∠NOE+∠POE＝∠POE+∠POF＝90°，∴∠NOE＝∠POF，(4分)过P作PF⊥x轴于F，过N作NE⊥y轴于E，∴∠NEO＝∠OFP＝90°，∴△NOE≌△POF（AAS），(5分)∴NE＝PF＝b，OE＝OF＝a，∴N（﹣b，a），设经过点N的双曲线的表达式为y=n∴n＝﹣ab＝﹣3，∴经过点N的双曲线的表达式为y=−3x．(24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC＝8，∠B＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，先根据切线的性质得到∠FCO＝90°，再证明△COF≌△∠AOF，可得∠FAO＝∠FCO＝90°，即可根据切线的判定证明结论；（2）先求出∠AOC＝60°，OA＝8，PC=83，再根据S△PCO﹣S扇形（1）证明：△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，连接OC，由题意可得：∠FCO＝90°，∵OF∥BC，∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF，(2分)∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠COF＝∠AOF，(3分)∵OC＝OA，OF＝OF，∴△COF≌△∠AOF（SAS），(4分)∴∠FAO＝∠FCO＝90°，∴AF是⊙O的切线；(5分)（2）解：由（1）知，∠COF＝∠AOF＝∠B，∵∠B＝30°，∴∠AOC＝∠COF+∠AOF＝2∠B＝60°，(6分)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，(7分)∴AB＝2AC＝16，∴OC＝OA＝8，(8分)在Rt△PCO中，PC=∴阴影部分的面积=S△PCO−25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．（1）当点（1，0）在该抛物线上时，求抛物线的解析式；（2）已知点M（﹣1，1），点N（3，1），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，求a的取值范围；（3）若直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，点C是抛物线的顶点，设直线CA，CB的解析式分别为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2，求k1，k2之间的数量关系．（用只含a的代数式表示）【正确答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）a=12或a（3）k1k2＝﹣2a（k1+k2）．【分析】（1）将（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）求解；（2）首先求出抛物线经过点（0，3）和（4，3），对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3），然后分两种情况讨论求解即可；（3）设A(x1，ax12−4ax1+3)，B(x2，ax22−4ax2+3)，将直线y＝kx+3﹣4a和抛物线联立得到ax2﹣（4a+k）x+4a＝0，利用韦达定理得到x1+x2=4a+ka，x1⋅x2=4aa=4解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3的图象过（1，0），∴0＝a﹣4a+3，∴a＝1．∴y＝x2﹣4x+3；(2分)（2）由题意得，y＝ax2﹣4ax+3＝ax（x﹣4）+3，∴令x（x﹣4）＝0，即x＝0或x＝4时，则y＝3，∴抛物线过点（0，3）和（4，3）．(3分)又∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3∴对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4a+3）∵抛物线与线段MN有且只有一个公共点，∴可分两种情形分析．①当a＞0时，抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段MN上时，符合条件，则﹣4a+3＝1解得a=12；当抛物线过点N时，MN与抛物线有两个交点，∴根据函数的对称性，只要x＝3时，y＜1，即符合条件，如图所示，当x＝3时，y＝9a﹣12a+3＜1，解得a＞23；②当a＜0时，抛物线开口向下，当抛物线经过点N（3，1）时，1＝a×32﹣4a×3+3解得a∴当a＞23时，抛物线在x∴当抛物线与线段MN有且只有一个公共点时，a＞23；当a＜0，抛物线开口向下，根据函数的对称性，只要x＝﹣1时，y≤1，即符合条件，如图所示，当x＝﹣1时，y＝a+4a+3≤1，解得a≤−综上，a=12或a＞23（3）∵直线y＝kx+3﹣4a与抛物线交于点A，B两点，设A(x∴联立得，y=整理得，ax2﹣（4a+k）x+4a＝0，∴x1+x2=4∵抛物线顶点C（2，﹣4a+3），直线CA的解析式为y1＝k1x+b1，∴ax∴ax∴k1＝a（x1﹣2），同理可得，k2＝a（x2﹣2），(8分)∴k1+k2＝a（x1﹣2）+a（x2﹣2）＝a（x1+x2）﹣4a=a＝k；∴k1•k2＝a（x1﹣2）•a（x2﹣2）＝a2（x1﹣2）（x2﹣2）＝a2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=a=a＝﹣2ak，(9分)∴k∴k1k2＝﹣2a（k1+k2）．(10分)26．（12分）平行线是研究三角形相似的基本工具．【初步尝试】（1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，BDDC=12，在AB边上求作点【深入研究】（2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，BDCD=B′D′C′D【应用拓展】（3）如图③，已知△ABC，直线l1