第五章 分式与分式方程 单元测试 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

分式与分式方程一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在，，，，中，分式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．52.下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．3.下列各式中的变形，错误的是()A.2−3x=23xB.4.下列分式中，是最简分式的是()A.a+ba−bB.3a6a25.若要分式x−1x−2有意义，则x的值应满足(A.x≠1B.x≠2C.x≠1且x≠2D.6.若分式的值为0，则的值为（

）A．1或−1 B．0 C． D．17.若分式ab=2，则A.13B.32C.−8.若，则的值为（

）A． B．2 C． D．49.解分式方程时，去分母正确的是（

）A． B．C． D．10.《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（

）A． B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.对x2+xyx+y12.计算：aa+313.计算：（结果不含负指数幂）．14.分式和的最简公分母为.15．若关于x的一元一次不等式组x−23<x+1x+m≤3至少有2个整数解，且关于y的分式方程三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16.化简：17.解方程：18.先化简，再求值：1−1四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.已知关于x的分式方程x+ax−2(1)若x＝2是分式方程的增根，求a的值；(2)当a＝4时，解分式方程；(3)若该分式方程无解，求a的值．20.“四书”“五经”是我国传统文化的重要组成部分，是儒家思想的经典著作.某学校计划购买《孟子》和《论语》两种书籍供学生阅读.已知《孟子》与《论语》的单价之和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同.（1）问《孟子》和《论语》的单价分别是多少元？（2）该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，问最少购进《孟子》多少本？21.阅读材料：①方程的解为x1=2，x②方程的解为x1=m，x③方程的解为x1=m，x【归纳】(1)方程的解为x1=，x2【应用】(2)利用(1)中的结论，直接解关于x的方程：五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．22.随着DeepSeek的AI技术开发，更大地激活了智能机器人应用市场.为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人.若要购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的机器人单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现，130万购买的甲种型号的机器人的数量和100万购买乙种型号的机器人的数量一样.(1)求甲、乙两种型号的机器人的单价是多少万元.(2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套(两种型号均有)，则有几种购买方案？购买乙种型号的机器人多少套时所花资金最少？23．第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商铺购进A，B两种文创饰品，采购A种饰品花了1400元，采购B种饰品花了630元，其中A种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元．(1)A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？(2)该商铺计划购进A，B两种饰品共600件，购进B种的件数不低于390件，且不超过A种件数的4倍，现采购A种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678910答案BDBABCDBBB二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.12.113.14.15.−1三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16.化简：17.解：去分母得，解得检验：将代入∴原方程的解为解：原式=x−1x当x=2时，原式=2+12四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19.(1)解：方程两边都乘x(x－2)，得x(x＋a)－5(x－2)＝x(x－2)．∵x＝2是分式方程的增根，∴把x＝2代入x(x＋a)－5(x－2)＝x(x－2)，得4＋2a＝0.∴a＝－2.(2)当a＝4时，x(x＋4)－5(x－2)＝x(x－2)．解得x＝－10.经检验，x＝－10是原分式方程的解．(3)化简整式方程，得(a－3)x＝－10.当a－3＝0时，该方程无解，此时a＝3.当a－3≠0时，要使原方程无解，则原方程有增根．由(1)，得a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.20.解：（1）设《孟子》的单价是x元，则《论语》的单价是（40-x）元，依题意，得90x经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，∴40-x=40-15=25.答：《孟子》的单价是15元，《论语》的单价是25元.（2）设购进《孟子》m本，则购进《论语》（100-m）本，依题意，得15m+25（100-m）≤1800，解得m≥70.答：最少购进《孟子》70本.21.（1）bc解：(2)方程可变形为，∴x1－1＝a－1，x2－1＝∴x1＝a，x2五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．22.解：(1)设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是(x－3)万元.依题意，得，解得x＝13.经检验，x＝13是原方程的解，且符合题意.∴x－3＝13－3＝10.答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元.解：(2)设购买乙种型号的机器人m套，则购买甲种型号的机器人(10－m)套.依题意，得13(10－m)＋10m≥114，解得m≤163又∵m，10－m均为正整数，∴m可以为1，2，3，4，5.∴有5种购买方案.设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则w＝13(10－m)＋10m，即w＝－3m＋130.∵－3<0，∴w随m的增大而减小.∴当m＝5时，w取得最小值.答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套时所花资金最少.23.解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a－1)元．由题意，得1400/a＝630/a−1×2.解得a＝10.经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意．∴a－1＝9.答：A种饰品每件的进价为10元，B种饰品每件的进价为9元设购进A种饰品m件，则购进B种饰品(600－m)件．由题意，得600−m≥390∴购进A种饰品件数m的取值范围为120≤m≤210，且m为整数．设采购A种饰品m件时的总利润为w元．当120≤m≤150时，w＝15×600－10m－9(600－m)＝－m＋3600.∵－1＜0，∴w随m的增大而减小．∴当m＝120时，w有最大值，最大值为－120＋3600＝3480.当150＜m≤210时，w＝15×600－[10×150＋10×60%