总体离散程度的估计课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人：日期：9.2.4总体离散程度的估计学习目标学习目标核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）.数学运算2.理解离散程度参数的统计含义.数学抽象复习回顾1.如何计算一组数据的第P百分位数？2.如何计算一组数据的平均数、中位数、众数？原始数据直方图如图5.31,在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1.(1)作P1关于原点的对称点P2,以。P2为终边的角β与角α有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？(2)如果作P1关于x轴（或S轴）的对称点P3（或P4),那么又可以得到什么结论？新课引入问题：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？探索新知通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.10环数频率456789（甲）10环数频率456789（乙）如何度量成绩的这种差异呢？探索新知一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差=9-5=4.可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.思考：根据上述的问题，思考一下极差的优缺点.如何度量上述成绩的这种差异呢？极差越大，数据越分散，越不稳定极差越小，数据越集中，越稳定探索新知思考：还有哪些特征量可以描述数据离散程度？可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.若射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.如何定义？探索新知

假设一组数据是x1,x2,…,xn，用

表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即

可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距离”为作为xi到的“距离”.

想一想，为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？行，但是不如“平均距离”更直观．“平均距离”具有无偏性,有效性,一致性的特点.探索新知探索新知标准差的取值范围是非负值；标准差为0的一组数据都相等．标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？探索新知标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的．就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差．思考：标准差与数据的离散程度或波动幅度有怎样的关系？探索新知你能归纳计算方差的基本步骤吗？①计算平均值②计算每个数据与平均值的差的平方③将所有平方相加④将上述平方和除以数据个数探索新知思考：对于“如何对两位运动员的射击情况作出评价”的问题，你能用上面学习过的方法进行评价吗？我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2,s乙≈1.095.由s甲>s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置．如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲．小试牛刀B探索新知例6：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？解:把男生样本记为x1,x2,…,x23，其平均数记为方差记为把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为方差记为把总样本数据的平均数记为方差记为探索新知根据方差的定义，总样本方差为因此，由可得同理可得①探索新知由根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得

总样本的方差为51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.探索新知归纳总结：分层随机抽样的方差探索新知性质与规律探索新知方差=每个小矩形的面积乘以（小矩形底边中点的横坐标-平均数）之和频率分布直方图估计方差与标准差课堂检测B当堂监测B当堂监测D当堂监测C课堂检测5、某学校三年级一班有40人,将其随机平均分成两组,两组学生其中一次考试的成绩情况如表:统计量组别平均成绩标准差第一组906第二组804求全班成绩的平均数和标准差.课堂检测课堂检测