第47讲 带电粒子在磁场中的运动（复习讲义）（湖南专用）（教师版）

第47讲带电粒子在磁场中的运动目录TOC\o"1-4"\h\z\u01考情解码·命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4考点一洛伦兹力的理解及应用 4知识点1洛伦兹力的大小与方向 4知识点2洛伦兹力、安培力和电场力的比较 4知识点3半径公式与周期公式 4考向1洛伦兹力的理解及应用 5考向2半径公式与周期公式的应用 7考点二带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动 9知识点1带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 9知识点2带电粒子在有界磁场中的运动 10考向1直线边界磁场 11考向2平行边界磁场 15考向3圆形边界磁场 19考向4三角形、四边形边界磁场 21考点三带电粒子在磁场中运动的多解问题 24知识点1、带电粒子电性不确定形成多解 25知识点2、磁场方向不确定形成多解 25知识点3、临界状态不确定形成多解 25考向带电粒子在磁场中运动多解问题 26考点四带电粒子在磁场中运动的的临界极值问题 2804真题溯源·考向感知 55考点要求考察形式2025年2024年2023年洛伦兹力及有关洛伦兹力的半径周期公式选择题非选择题带电粒子在有界磁场中的运动选择题非选择题2025·湖南·高考物理第14题2024·湖南·高考物理第14题2024·湖南·高考物理第14题带电粒子在在磁场中运动的多解与临界极值问题选择题非选择题\考情分析：1.命题形式：单选题非选择题2.命题分析：湖南高考对洛伦兹力的单独考查不是太频繁，大多在计算题中带电粒子在磁场中运动的综合性问题中应用,对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，多以计算题中出现，难度中等。3.备考建议：本讲内容备考时候，注意洛伦兹力大小及方向的理解，会利用左手定则判断洛伦兹力的方向理解并掌握带电粒子在磁场中运动的解题方法，理解和应用带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法。学会分析带电粒子的运动情景并解决问题。4.命题情境：以现代科技为情景考查带电粒子运动。5.常用方法：几何作图复习目标：1.会利用左手定则判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动。考点一洛伦兹力的理解及应用知识点1洛伦兹力的大小与方向1．定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。2．方向(1)判定方法：左手定则掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向。(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。3．大小(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)(3)v＝0时，洛伦兹力F＝eq\a\vs4\al(0)。知识点2洛伦兹力、安培力和电场力的比较1．洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。2.洛伦兹力与电场力洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE方向F⊥B且F⊥v正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功，可能做负功，也可能不做功知识点3半径公式与周期公式1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。3．半径和周期公式：(v⊥B)带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力(1)由qvB＝meq\f(v2,r)，得r＝eq\f(mv,qB)。(2)由v＝eq\f(2πr,T)，得T＝eq\f(2πm,qB)。特别提醒：特别提醒：对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。.考向1洛伦兹力的理解及应用例1（2025·湖南娄底·模拟）（多选）核聚变需要的温度很高，地球上没有任何容器能够经受如此高的温度，但可以利用磁场来约束参与聚变反应的高温等离子体。等离子体由大量的正离子和电子组成，是良好的导体。图甲是一种设计方案：变压器的原线圈通过开关与充电后的高压电容器相连（图中未画出），充入等离子体热核燃料的环形反应室作为变压器的副线圈。从环形反应室中取一小段（可看作圆柱体）来研究，如图乙所示。闭合开关，高压电容器放电，等离子体会定向运动形成如图乙所示的电流，产生类似通电直导线周围的磁场，不但圆柱体外有磁场，而且圆柱体内也有绕行方向相同的磁场。下列说法正确的是（）

A．闭合开关，环形反应室中会产生电场B．本装置能实现对等离子体的加热作用，是由于洛伦兹力做了功C．从左向右看，图乙中圆柱体外的磁感线沿逆时针方向D．图乙所示圆柱体内，正离子、电子由于定向移动受到的洛伦兹力都指向圆柱体的内部【答案】AD【解析】闭合开关，环形反应室中会产生磁场，也会产生电场，因洛伦兹力对带电粒子不做功，而电场能对等离子体做功，从而实现加热作用，选项A正确，B错误；C．根据安培定则，从左向右看，图乙中圆柱体外的磁感线沿顺时针方向，选项C错误；D．图乙所示圆柱体内磁感线也沿顺时针方向，根据左手定则，正离子、电子由于定向移动受到的洛伦兹力都指向圆柱体的内部，选项D正确【变式训练1·】（2025·湖南岳阳实验中学·模拟预测）如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（）A．小球的速率始终不变B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功C．小球受到的洛伦兹力始终为零D．管壁对小球的弹力方向先竖直向下，后竖直向上【答案】A【详解】AB．如图为俯视图，根据右手螺旋定则，磁感线如图所示，小球在磁场中受到洛伦兹力和弹力作用，洛伦兹力和弹力不做功，小球速率不变，B错误，A正确；CD．当小球运动到中点时，磁感线的切线方向与小球速度方向平行，小球所受洛伦兹力为零；小球自a点到中点，所受洛伦兹力竖直向下，绝缘管壁对小球的弹力竖直向上；小球从中点至b点，所受洛伦兹力竖直向上，绝缘管壁对小球的弹力竖直向下，CD错误。故选A。【变式训练2·变载体】（2025·河南安阳·一模）如图1所示，在倾角的足够长绝缘斜面上放有一根质量、长的导体棒，导体棒中通有方向垂直纸面向外、大小恒为的电流，斜面上方有平行于斜面向下的均匀磁场，磁场的磁感应强度B随时间的变化关系如图2所示。已知导体棒与斜面间的动摩擦因数，重力加速度g取，sin37°=0.6，cos37°=0.8。在时刻将导体棒由静止释放，则在导体棒沿斜面向下运动的过程中（）A．导体棒受到的安培力方向垂直斜面向上B．导体棒达到最大速度所用的时间为4sC．导体棒的最大速度为8m/sD．导体棒受到的摩擦力的最大值为5.2N【答案】BC【详解】A．根据左手定则可知，导体棒受到的安培力方向垂直斜面向下，故A错误；B．对导体棒受力分析可知，当导体棒沿斜面向下运动的速度达到最大时，导体棒所受外力的合力为0，则有，其中，，解得故B正确；C．在导体棒沿斜面向下运动的过程中，由牛顿第二定律可得结合上述解得作出导体棒运动的图像如图所示由于导体棒初速度为零，故图像中的面积即可表示导体棒的末速度，结合上述由图可知，导体棒的最大速度为故C正确；D．导体棒受到的摩擦力为即有可知导体棒运动时间越长，受到的摩擦力就越大，故可判断出导体棒的速度再次减为零时，导体棒受到的摩擦力最大，由图可知，时导体棒的速度为零，结合上述解得此时导体棒受到的摩擦力大小为故D错误。故选BC。考向2半径公式与周期公式的应用例21．（2025·湖南·一模）在匀强磁场中有一带正电的粒子甲做匀速圆周运动，当它运动到点时，突然向与原运动相反的方向放出一个不带电的粒子乙，形成一个新的粒子丙。如图所示，用实线表示粒子甲运动的轨迹，虚线表示粒子丙运动的轨迹。若不计粒子所受重力及空气阻力的影响，则粒子甲和粒子丙运动的轨迹可能是（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算【详解】由洛伦兹力提供向心力，则有可得粒子轨道半径由于甲粒子在M点突然向与原运动相反的方向放出一个不带电的粒子乙，由动量守恒可知，放出粒子乙后，新粒子丙的动量mv大于粒子甲的动量，故轨道半径变大，图中只有D选项符合。故选D。（【变式训练1·变考法】（“2025·湖南长沙第一中学一模）垂直纸面的两薄铝板M、N，将纸面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，三个区域内均存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B₁、B₂和B₃，如图所示。两带电粒子从P点沿平行铝板方向前、后射入磁场Ⅱ内，穿过M板的粒子其轨迹半径不变，而穿过N板的粒子轨迹半径变小（粒子穿过铝板前、后质量和电荷量均不变），下列判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】AB．带电粒子受到洛伦兹力作用，在垂直磁场平面内做匀速圆周运动，由可得正粒子穿过M板动量减小，而轨迹的半径不变，说明，故A错误，B正确；CD．负粒子穿过N板后动量变小，轨迹的半径也变小，无法确认B₂与B₃的大小关系。故CD错误。故选B。考点二带电粒子在匀强磁场中的圆周运动知识点1带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。3．半径和周期公式：(v⊥B)4．带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定基本思路图例说明圆心的确定①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心P、M点速度垂线交点P点速度垂线与弦的垂直平分线交点半径的确定利用平面几何知识求半径常用解三角形法：例：(左图)R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)运动时间的确定利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝eq\f(θ,2π)·T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏转角φ等于eq\x\to(AB)所对的圆心角θ(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ＜180°，φ＝2α；φ＞180°，φ＝360°－2α知识点2带电粒子在有界磁场中的运动(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。(3)圆形边界①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。(4)三角形、四边形边界磁场1．三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同，运动半径不同，出射点的位置也不同。2．四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不同的粒子轨迹；粒子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹。考向1直线边界磁场例1（2025·湖南衡阳一模）如图所示，粒子a、b的质量分别为2m、m，电量分别为q、−q，它们以相同的动能从O点沿OP方向射入无限长直边界AB上方的匀强磁场，OP与磁场边界成45°角，磁场方向垂直于纸面向里，则a、b在磁场中运动的时间之比为（）A．6∶1 B．4∶1 C．3∶1 D．2∶1【答案】A【详解】设两粒子的动能为E，根据E=可得，两粒子的速度分别为va=根据牛顿第二定律qvB=m周期为T=所以T两粒子的圆心角分别为θa=270°在磁场中运动时间为t=所以t故选A。【变式训练1】（2025·山西临汾·三模）如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P为直线Oa上一点，从P点可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为+q，已知Pa=L，ab=cd=L，bc=4(1)粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小；(2)bc边发光的区域长度。【答案】(1)3πm(2)3【详解】（1）由分析可知，运动时间最长的粒子打到了b点，粒子转过了270°角。所以最长时间t粒子在磁场中做圆周运动的周期T=所以最长时间t对应粒子运动的轨道半径r=L由qvB=m得r=可得对应粒子的速度大小v=（2）粒子到达bc边的右边界为粒子轨迹恰好在d点与cd相切，射到bc边的e点。此时粒子的轨迹半径r=则fd=r−O'f=r−所以bc边发光的区域长度be=bc−fd=考向2平行边界磁场例2（2025·湖南省岳阳市高三二模）如图所示，在的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力）从坐标原点处沿图示方向射入磁场中，已知。粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是（）A.带正电，B.带正电，C.带负电，D.带负电，【答案】B【解析】【详解】由题知，粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场，说明粒子进入磁场后向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电，作出其运动轨迹，如图所示根据几何关系可知设带电粒子在磁场中运动的半径为，根据几何关系可得解得带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有解得【变式训练】2025·河南·模拟预测）如图，在长方形ABCD区域（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知AB=a，AD=4a，O是AD中点，O点为离子源，某时刻自O点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。其中速度方向沿OA的粒子t0时刻自E点离开磁场区域，BE=a。忽略粒子重力和粒子间相互作用。则以下选项中正确的是（）A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为aB．粒子的比荷为πC．在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为D．在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为2【答案】ACD【详解】A．沿OA方向入射的粒子，自E点离开，根据几何关系可得，轨迹半径R=a故A正确；B．从E点离开的粒子运动T4离开磁场，由洛伦兹力提供向心力得qvB=mv可得T=则有t可得比荷为q故B错误；C．当粒子初速度方向与OA垂直时，t0时刻粒子恰在磁场边界，转过的圆心角为π2，当粒子初速度方向与OA夹角为135°时，t0时刻粒子恰好在AD边界上，转过的圆心角为π2；可知在t0D．垂直AD边入射的粒子转过的圆心角为π，在磁场中运动的时间最长，用时为t故D正确。故选ACD。考向3圆形边界磁场例3（2025湖南省怀化市高三下学期二模）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（）A.粒子进入磁场的初速度为B.矩形匀强电场区域的最小面积为C.粒子从A点运动到C点的最短时间为D.粒子从A点运动到C点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为【答案】C【解析】【详解】A．当粒子在磁场中圆周运动半径为时，满足题意。故由且联立解得A错误；B．由磁发散知识可知，所有粒子进入电场的方向都是沿轴正方向，且速度大小相等，故粒子到达电场的最大高度也都相等。设粒子在电场中运动的最大高度为，则有得则电场的最小面积有B错误；C．由几何知识可知，所有粒子第一次在磁场中运动的轨迹和第二次在磁场中运动的轨迹总和是半个圆，故磁场中运动的时间总和都是相等的，而在电场中的运动时间也相等，故要使粒子从A点运动到C点的时间最短，就只需要让粒子在磁场和电场之间的中间区域运动时间最短即可。所以，当粒子发射方向沿轴正方向时，粒子从A点运动到C点的时间最短。在磁场中的运动时间在电场中的运动时间故运动的最短时间C正确；D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，取沿轴负方向为正，由动量定理得，解得负号表示洛伦兹力的冲量方向沿轴正方向，D错误。故选C。【变式训练·变考法】（2025·陕西咸阳二中·一模）如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两比荷相同的带电粒子（不计重力）沿直线AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（）A．从P、Q射出的粒子在磁场中运动的时间之比为B．从P、Q射出的粒子在磁场中运动的时间之比为C．从P、Q射出的粒子速率之比为D．从P、Q射出的粒子速率之比为【答案】A【详解】做出带电粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系可知，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为，设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得，可得带电粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得可得粒子做圆周运动的半径为粒子的运动周期为粒子在磁场中的运动时间为则从P、Q射出的粒子速率之比为从P、Q射出的粒子在磁场中运动的时间之比为故选A。考向4三角形、四边形边界磁场例4（2025届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的水平匀强磁场，探测板平行于竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距均为的离子束，离子均以相同速度持续从边界竖直向上射入磁场，束中的离子在磁场中沿半径为的四分之一圆弧运动后从右边界水平射出，并打在探测板的上边缘点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为，探测板的长度为，离子质量均为、电荷量均为，不计重力及离子间的相互作用，。（1）求离子速度的大小；（2）a、c两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差；（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量与板到距离的关系。【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】小问1详解】离子在磁场中做圆周运动，由牛顿运动定律得解得离子的速度大小【小问2详解】离子在磁场的运动的周期为，作出粒子的运动轨迹如图由几何关系可知束中的离子从同一点射出，离开磁场的速度分别与水平方向的夹角为，则束中的离子在磁场中运动的圆心角分别为则两离子的在磁场中运动时间的差值为得由于两离子出磁场的速度与磁场边界所成的夹角相同，则两离子从磁场到EF板的时间相同，即离子运动的时间差【小问3详解】同时探测到三束离子，满足：解得同时探测到两束离子同理有：对离子束由动量定理有：而或束中每个离子动量的水平分量：离子束对探测板的平均作用力为：当时，当时，当时，【变式训练1】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，，。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为（）A．40% B．47.3%C．52.7% D．60%【答案】C【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动【详解】粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力可得当粒子的轨迹与边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的右侧临近点，设此时入射点为，则当粒子的轨迹与边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的左侧临近点，设此时入射点为，则则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的入射点的长度为所以，粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为故选C。【变式训练2】（2025·福建莆田·三模）如图所示，直角三角形区域内有垂直三角形平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为，在边中点在三角形平面内沿与边夹角为的方向向磁场内射入质量为、电荷量为的各种不同速度的带正电粒子，有的粒子能沿垂直边的方向射出磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（）A．磁场方向垂直三角形平面向里B．当粒子速度大小为时，粒子的运动轨迹与边相切C．边有粒子射出的区域长度接近D．边有粒子射出的区域长度接近【答案】BC【详解】A．由于射出的粒子有的能沿垂直边射出，由左手定则可知磁场方向一定垂直三角形平面向外，A项错误；B．设粒子射出速度大小为时，轨迹与相切，设轨迹半径为，根据几何关系，解得根据牛顿第二定律，解得B项正确；CD．由几何关系可知，边有粒子射出区域长度接近，AC边有粒子射出区域长度接近C项正确，D项错误。故选BC。考点三带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。(1)找出多解的原因。(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。知识点1、带电粒子电性不确定形成多解分析图例带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b知识点2、磁场方向不确定形成多解分析图例只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b知识点3、临界状态不确定形成多解分析图例带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解考向带电粒子在磁场中运动多解问题例1.（2025湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三一模）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（）A.若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为B.若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为C.若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为D.若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为或【答案】AD【解析】【详解】AB．电子从P点出发恰好第一次经原点O点，有两类情况，一类是第奇数次回到x轴经过原点O，另一类是第偶数次回到x轴经过原点O。其中第一次和第二次回到x轴的轨迹如图由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为解得当n=1时，运动时间为由轨迹图结合几何关系，轨迹圆的半径为可得运动路程为故A正确；B错误；CD．同理，若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，轨迹也为两类，如图由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为或解得若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为解得故C错误；D正确。故选AD。【变式训练】（2025·福建泉州·模拟）(2024广东华南师范大学附属中学高三二模)如图所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为，质量为，带电量为的同种带电正离子。在x轴上距离原点1m处垂直于x轴放置一个长度为1m，厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上立即被接收）。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。取，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为（）A.B.C. D.【答案】ABD【解析】由观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，可知粒子做圆周运动的半径为1m，结合,可知磁感应强度为打在P左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是，此时运动时间最短，如图1所示，可得被薄金属板接收的粒子在磁场运动的最短时间（被P左侧接收到的粒子在磁场中运动的最短时间）被P左侧接收到的粒子在磁场中运动最长时间粒子轨迹对应的圆心角为，此时粒子运动时间被P右侧接收到的粒子在磁场中运动最短时间粒子轨迹对应的圆心角为，此时粒子运动时间打在P右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子轨迹对应的圆心角为，如图2所示，最长时间粒子能被P接收时，粒子磁场中运动时间应满足，或故选ABD。如考点四带电粒子在磁场中运动的临界极值问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。1.临界条件刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。2.几种常见的求极值问题(1)时间极值①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。(2)磁场区域面积极值若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。例1（2025湖南省郴州市高三下学期第三次教学质量监测）如图，xOy平面内有大量质子从原点O在180°的范围内连续以相同速率v0向y轴右侧发射，右侧足够远处放置与x轴垂直且足够大的荧光屏，O在荧光屏上的投影点为O'。现在第I象限和第IV象限一定范围内分别施加一个垂直于xOy平面的区域匀强磁场（磁场大小相同、方向不同），使得所有质子都垂直打在荧光屏上CC'范围内，已知O'C=O'C'=R。忽略质子间的相互作用，已知质子质量为m、电荷量为e，求：（1）磁场在第I象限的方向和大小；（2）在I、IV象限所加磁场的最小总面积。【答案】（1）垂直xOy平面向外，（2）【解析】【小问1详解】从原点O竖直向上射出的电子垂直打在荧光屏上，故磁场方向必定垂直xOy平面向外，根据题意可得粒子的回旋半径为R，洛伦兹他提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律则有解得【小问2详解】在由O点射入第I象限的所有质子中，沿y轴正方向射出的电子转过圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。设某电子做匀速圆周运动的圆心O'，与O点的连线与y轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。由图中几何关系可得，消去参数可知磁场区域的下边界满足的方程为这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处，磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积，磁场的最小面积为根据对称性可知，磁场的最小总面积为【变式训练】.(2025·广东省揭阳市高三二模)如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（）A.粒子速度的最大值为B.粒子速度的最大值为C.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）D.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）【答案】C【解析】根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的运动半径为可知粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示根据几何关系有联立解得,故AB错误；某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有解得其在磁场中运动的时间为故C正确；D错误。1．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为，内阻为，滑动变阻器R的最大阻值为，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。(1)求粒子所带电荷量q；(2)求磁感应强度B的大小；(3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有竖直方向做匀变速直线运动，由闭合回路欧姆定律可得联立可得（2）粒子进入磁场与竖直方向的夹角为，粒子在磁场中做匀速圆周运动由几何关系易得联立可得（3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有解得粒子以速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为此时合速度与竖直方向的夹角为合速度为粒子做圆周运动的半径最远距离为2．（2025·福建·高考真题）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，一带电体在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P点，重力加速度为,则（）A．电场强度为B．磁场强度为C．NP两点的电势差为D．粒子从N→P时距离NP的距离最大值为【答案】BC【详解】AB、带电体在复合场中能沿着做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。由受力平衡可知解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。C、在点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。且加速度粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度角的正切值所以粒子在点的速度到过程，由动能定理，有解得两点间的电势差，C正确；D、将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且故粒子能向上运动的最大距离D错误；故选BC。3．（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器、，其中垂直轴放置，极板与轴相交处存在小孔、；垂直轴放置，上、下极板右端分别紧贴轴上的、点。一带电粒子从静止释放，经电场直线加速后从射出，紧贴下极板进入，而后从进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为、带电量为，、间距离为，、的板间电压大小均为，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：(1)粒子经过时的速度大小；(2)粒子经过时速度方向与轴正向的夹角；(3)磁场的磁感应强度大小。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）粒子从M到N的运动过程中，根据动能定理有解得（2）粒子在中，根据牛顿运动定律有根据匀变速直线运动规律有、又解得（3）粒子在P处时的速度大小为在磁场中运动时根据牛顿第二定律有由几何关系可知解得4．（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】粒子运动轨迹如图所示在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有可得粒子做圆周运动的半径根据几何关系可得P点至O点的距离故选C。5．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（）A．粒子的运动轨迹可能经过O点B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为【答案】D【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误；C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图则最短时间有故C错误；D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知根据洛伦兹力提供向心力有可得故D正确。故选D。6．（2023·北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（）

A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为aB．粒子质量为C．管道内的等效电流为D．粒子束对管道的平均作用力大小为【答案】C【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r=a故A正确，不符合题意；B．根据可得粒子的质量故B正确，不符合题意；C．管道内的等效电流为单位体积内电荷数为则故C错误，符合题意；D．由动量定理可得粒子束对管道的平均作用力大小联立解得故D正确，不符合题意。故选C。7．（2023·海南·高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（

）

A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B．小球运动过程中的速度不变C．小球运动过程的加速度保持不变 D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功【答案】A【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC错误；D．洛仑兹力永不做功，D错误。故选A。8．（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t