1.3 匀变速直线运动的规律 （2学生版）

§1.3匀变速直线运动的规律①运动学条件：a恒定且方向跟v方向共线；②动力学条件：ΣF外恒定且方向跟v方向共线（一）速度与时间的关系（速度公式）1．速度公式：vt＝v0＋at（初速度为零的匀加速直线运动：vt＝at）2．加速度的定义式：3．匀变速直线运动速度的变化（这是寻找时间关系的一条重要思路）ABCvAvBvC【例1】如图所示，一质点沿直线ABC做匀变速直线运动，经A、B、C

三点时的速度分别为vA、vB、vC，且3vB＝vA+2vC，则质点经ABCvAvBvC（二）位移与时间的关系（位移公式）1．位移公式：x＝v0t+at2（初速度为零的匀加速直线运动：x＝at2）▲匀变速直线运动的位移公式x＝v0t+at2与位置坐标方程x＝at2+v0t+x0都是关于时间t的一元二次函数，同次项系数的意义相同。【例2】某质点的运动学方程为x＝3t2–4t+2（x、t的单位分别为m、s）。（1）求质点的初速度和加速度；（2）写出质点速度随时间变化的函数式；（3）t＝0时刻质点是作加速还是减速运动？dd2．“等时圆”与“最速线”dd（1）竖直平面内的“等时圆”模型：ABCC′A′B′P按如图所示两种方式在竖直平面内的圆中设置不同倾斜程度的ABCC′A′B′P【例3】如图所示，一光滑直槽可绕两圆的切点P在竖直平面内转动，当直槽转至与水平

面分别成30º、45º、60º角时，与两圆分别相交于A和A′、B和B′、C和C′点。若一滑块

由静止开始分别从A、B、C滑至A′、B′和C′所需时间分别为t1、t2、t3，则（）A．t1＜t2＜t3 B．t1＞t2＞t3AαC．t1＝t2＝t3 D．t2＜t1＝tAα【例4】如图所示，在倾角为α的传送带某点的正上方有一发货点A，在

A点与传送带之间安装一光滑斜槽，为使货物由A点从静止开始沿斜槽以最

短的时间到达传送带，斜槽与竖直方向的夹角β应为多少？α=45°dAα竖线垂线角平分线α=45°dAα竖线垂线角平分线βββ＝α/2①45°最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时，

由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到

达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道

顶端运动到底端的时间最短【例5】如图所示，在墙壁的同一竖直线上有A、B两点相距为h，B点离水平地面高度为H。现要在地面上寻找一点P，设置两个光滑斜面AP与BP，使得从A、B两点由静止释放的小物块分别沿两斜面滑到P点的时间相等。（1）用作图法找出P点；（2）求P点到墙角O点的距离d。AABOhH（三）速度与位移的关系（速度–位移公式）1．速度–位移公式：vt2−v02＝2ax初速度为零的匀加速直线运动：vt2＝2ax（如自由落体运动下落h高获得的速度）2．速度–位移公式的优越性及应用技巧①由于该公式不涉及到时间t这个过程参量，应用它来处理问题时只需用到某两个状态，因而往往比较方便，使得该公式有着广泛的应用。它是求物体加速度的一个最常用的公式之一。且现实中，运动过程一旦过去了，运动时间已无法知晓，应用该公式正好可以避开时间这个量。②公式中vt2和v02一正一负，涉及分段运动时，采用各段相加的方法，正负抵消，可消去中间速度。【例6】把长为s的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动。当它到达每一等分点时，加速度增大a/n，则汽车到达终点B时的速度为多少？③vt2−v02＝（vt−v0）（vt+v0），而（vt−v0）可以和at联系起来，（vt+v0）可以和平均速度联系起来。（四）速度规律1．中时速度：（算术平均值）即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段过程中的平均速度。▲灵活应用匀变速直线运动平均速度的特点，往往会使很多问题的处理变得非常简单。【例7】一物体作匀变速直线运动：（1）若测得该物体在3s末～7s末的位移为6.4m，则该物体在前10s内的位移为m；（2）若测得该物体在第3s内的位移为2m，在第7s内的位移为7m，则该物体的加速度为m/s2。【例8】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移∆x所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移∆x所用的时间为t2。则物体运动的加速度为（）A． B． C． D．2．中位速度：（方均根平均值）【例9】汽车在平直的公路上作匀加速直线运动，经过第一、第三棵树时的速度分别为1m/s和7m/s。若树间隔均匀，则经第二棵树时的速度为_________m/s；若相邻两树间距都为10m，则从第一棵树到第三棵树的时间为______s，汽车的加速度为_________m/s2。▲数学知识：方均根平均值大于或等于算术平均值（匀变速直线运动，中点速度必大于平均速度）【例10】ABOCD一质点沿直线ABOCD作匀加速直线运动，O点为AD与BC的公共中

点。若质点在AD段内的平均速度为v1，在BC段内的平均速度为v2ABOCDA．v1＝v2 B．v1＞v2 C．v1＜v2 D．无法确定（五）比例规律（n不是整数时也成立）1．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的各段时间内的位移之比x1:x2:x3:…:xn＝1:3:5:…:（2n−1）（即连续奇数之比）【例11】一物体由静止开始做匀加速直线运动，将其时间依次分为3:2:1的三段，则这三段位移之比为___________。【例12】A为超声波测速仪，B为汽车，两者相距335m。某时刻A发出超声波，同时B由静止开始远离A做匀加速直线运动。当A接收到B反射回来的超声波时，AB相距355m。已知声速为340m/s，则汽车B的加速度大小为（）A．20m/s2 B．10m/s2 C．5m/s2 D．无法确定2．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比t1:t2:t3:…:tn＝1:(−1):(−):…:(−)【例13】（2024年山东卷）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与

斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；

若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2:Δt1为（）A．（−1）:（−1） B．（−）:（−1）C．（+1）:（+1） D．（+）:（+1）【作业】 班次座次姓名1．（2018年全国Ⅰ卷）高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，在启动阶段列车的动能（）A．与它所经历的时间成正比 B．与它的位移成正比C．与它的速度成正比 D．与它的动量成正比ABCD2．如图所示，一滑块（视为质点）沿光滑斜面下滑，依次经过斜面上的A、B、

C、D四点，通过AB、BC、CD各段的时间依次为T、2T、3T，其中AB段的长度

为L0，CD段的长度为LABCDA． B． C． D．nmpss3．如图所示，一物块沿斜面匀加速下滑，依次通过两段位移s所用时间分别为t1、

t2，则通过中点nmpssA． B． C． D．4．列车过隧道需要限速。长为l的高速列车在平直轨道上正常匀速行驶，速率为v0。现要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从开始减速至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（）A． B． C． D．5．（2022年湖北卷）我国高铁技术全球领先，乘高铁极大节省了出行时间。假设两火车站W和G间的铁路里程为1080km，W和G之间还均匀分布了4个车站。列车从W站始发，经停4站后到达终点站G。设普通列车的最高速度为108km/h，高铁列车的最高速度为324km/h。若普通列车和高铁列车在进站和出站过程中，加速度大小均为0.5m/s2，其余行驶时间内保持各自的最高速度匀速运动，两种列车在每个车站停车时间相同，则从W到G乘高铁列车出行比乘普通列车节省的时间为（）A．6小时25分钟 B．6小时30分钟 C．6小时35分钟 D．6小时40分钟6．一物体从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，连续三段时间分别是1s、2s、3s，这三段时间内的位移之比和平均速度之比分别是（）A．1:22:32，1:2:3 B．1:23:33，1:22:32 C．1:2:3，1:1:1 D．1:3:5，1:2:37．汽车以18m/s的速度开始制动，制动后3s内前进36m，则制动后5s内前进的距离为m。8．一辆汽车由甲地沿直线运动到达乙地，在前一半路程里由静止匀加速到60km/h，后一半路程里由60km/h匀加速到120km/h。则整个过程中汽车的平均速度是km/h。9．公路上行驶的两辆汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1s。当汽车在晴天干燥沥青路面上以108km/h的速度匀速行驶时，安全距离为120m。设雨天时汽车轮胎与沥青地面的动摩擦因数为晴天时的2/5，若要求安全距离仍为120