7.2复数的四则运算及其几何意义（提升练）解析版

第七章复数7.2复数的四则运算及其几何意义(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点所在象限是（）A.一 B.二 C.三 D.四【答案】B【解析】复数对应的点故：复数对应的点在二象限,故选：B.2．如果（，表示虚数单位），那么()A1 B. C.2 D.0【答案】B【解析】解得故选:3．已知（为虚数单位）的共轭复数为，则（）A．10 B．9 C． D．3【答案】A【解析】由题意，复数，则，所以.故选:A。4．复数满足，则在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的点位于第二象限，故选:B。5.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由复数为纯虚数，则，解得则，所以，所以故选：A。二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列说法中不正确的是A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数B．若是纯虚数，则实数；C．设a，b，c，d∈R，若eq\f(a＋bi,c＋di)(c＋di≠0)为实数，则bc－ad＝0D．已知k∈Z，i为虚数单位，复数z满足:，则当k为偶数时，【答案】AB【解析】对于选项A,虚轴上的坐标原点表示实数0,故A错误，对于选项B,时，，此时不是纯虚数，故B错误，对于选项C,eq\f(a＋bi,c＋di),bc－ad＝0,则必为实数,故C正确，对于选项D,当k为偶数时，，所以，故D正确，故选:AB 7．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（）A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数C． D．在复平面内对应的点位于第三象限【答案】ACD【解析】，因为复数的实部是-1，所以，解得：，所以，A.复数的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；C.，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确.故选:ACD。8．若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（）A．的虚部为 B．C．的共轭复数为 D．为纯虚数【答案】ABC【解析】由题意，复数，可得的虚部为，所以错误；由，所以错误；由共轭复数的概念，可得，所以错误；由，可得为纯虚数，所以正确，故选：ABC三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【答案】2【解析】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．10．已知，复数且（为虚数单位），则_________，_________．【答案】【解析】因为复数且，所以，所以，所以，所以，，故答案为，．11.设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则________.【答案】5【解析】∵，又∵复数()是纯虚数，∴，且，∴.故答案为：.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知，（其中为虚数单位）.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，得，为纯虚数，，且，.（2），，，即，解得.已知i为虚数单位，复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(1－i)＝z2(1＋i)，|z1|＝eq\r(2)．（1）求z1的值；（2）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．【答案】（1）或（2）【解析】（1）设（x，y∈R），则＝－x＋yi，∵z1(1－i)＝z2(1＋i)，||=，∴，∴或，即或（2）∵的虚部大于零，∴，∴，则有，∴，∴．14．已知是复数，与均为实数．（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6【解析】（1）设所以，；由条件得，且，所以(2)由条件得：，解得所以，所求实数的取值范围是-A级必备知识基础练1.[探究点一]若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.[探究点一]复数z1=2-12i,z2=12-2i,则z1+z2等于(A.0 B.32C.52−52i3.[探究点三]设复数z满足z+3-i=-1+i,则|z|= ()A.52 B.25 C.4 D.54.[探究点二]在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD对应的复数是(A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i5.[探究点三]如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是()A.1 B.2 C.2 D.56.[探究点一]若复数z1=3+4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第象限.

7.[探究点一]计算:(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i);(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)];(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).B级关键能力提升练8.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=19.若|z|+z=3+i,则z=()A.1-43i B.1+4C.43+i D.-4310.若|z+3i|=|z+4-i|,则|z|+|z-2|的最小值为 ()A.2 B.23 C.11 D.1011.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,则|BD|等于()A.5 B.13 C.15 D.1712.(多选题)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的可能取值有()A.0 B.1 C.2 D.313.复数z1=3m-1-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=,z214.已知O为坐标原点,向量OZ1,OZ2分别对应复数z1,z2,且z1=3a+5+(10-a2)i,z2=21-a+(2a-(1)实数a的值;(2)以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积.15.已知复数z1=2a+1+aia∈R且a≥-12,若复数z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,求实数a的取值范围C级学科素养创新练16.已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,α,β均为锐角,且|z1-z2|=25(1)求cos(α+β)的值;(2)若cosα=45,求cosβ的值参考答案1.Cz1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.2.Cz1+z2=2+12-12+2i=52−523.B∵z=-4+2i,∴|z|=(-4)2+22=4.D依题意有CD=BA=OA−OB,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即CD对应的复数为5.A设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2,如图所示,问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0,则Z3与Z0的距离即为所求的最小值,|Z0Z3|=1.故选A.6.一∵z1=3+4i,z2=-2+3i,∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i,∴z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(5,1),位于第一象限.7.解(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i.(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R).8.C设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+则x2+(y-1)2=1.故选C.9.C设复数z=x+yi(x,y∈R),依题意有x2+y2+x+yi因此x2+y2+x=3,10.D设z=a+bi(a,b∈R),则|z+3i|=|a+(b+3)i|=|z+4-i|=|a+4+(b-1)i|,所以a2+(b+3)2=(a+4)2+(b-1)2,即a2|z|+|z-2|=|a+bi|+|a-2+bi|=a2+b2+(a-2)2+b2,可以理解为直线b=a+1上的点(a,b)到点(0,0)和点(2,0)的距离之和,所以(m,n)为(-1,1),则点(-1,1)与(2,0)之间的距离即为所求.故|z|+|z-2|的最小值为(-1故选D.11.B如图,设D(x,y),F为▱ABCD的对角线的交点,则点F的坐标为2,32,所以x所以点D对应的复数为z=3+3i,所以BD=OD−OB=(3,3)所以|BD|=13.12.BC复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的几何意义是以原点为圆心的单位圆上的点与复平面上的点(1,1)的距离,所以最大值为原点与(1,1)的距离加半径,即12+12+1=2+1,最小值为原点与(1,1)的距离减去半径,即12+12-1=2-1,所以|z-1-i|的取值范围为[2-1,2+1],故13.2三z1+z2=(3m-1-2mi)+(-m+m2i)=(3m-1-m)+(m∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.∴3m-1-∴z2=-2+4i,z2=-2-对应点为(-2,-4),位于第三象限.14.解(1)由z1=3a+5+(10-a2)i,得z1=3a+5-(10-a2)i,则z1+z2=3a+5+21-a+[(a2-10)+(2a-5)]i的虚部为0,∴又a+5≠0,∴a=3.(2)由(1)可得z1=38+i,z2=-1+则OZ1=38,1,OZ2=则|OZ1|=738,|O∴cos<OZ1,∴sin<OZ1,∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积S=|OZ1||OZ2|sin<15.解因为z1=2a+1所以|z1|=a2+2a又a≥-12,所以|a+1|=a+所以z=2a+1+ai-(a+1)+1-i=2a+1-a+因为z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,所以2a+1-a<0,所以实数a的取值范围为(1+2,+∞).16