7.1复数的概念及几何意义（基础练）解析版

第七章复数7.1复数的概念及几何意义(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知为虚数单位，复数，则在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，复数，∴复数z在复平面内对应的点为（0，﹣1），故选：B．2．若复数（）不是纯虚数，则（）A. B. C. D.且【答案】A【解析】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复数（）不是纯虚数，故选:A3．设i为虚数单位,,“复数是纯虚数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】复数是纯虚数,则或,所以“复数是纯虚数”不是“”的充分条件；当时,复数为,是纯虚数,“复数是纯虚数”是“”的必要条件,所以“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件．故选:B．4．复数，则的共轭复数在复平面内对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，在复平面内对应点为故选:A5.已知复数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由题意得，圆心到原点的距离为2，.故选：C.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列命题中不正确的是（）A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋iC.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2D.实数集是复数集的真子集【答案】ABC【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于选项A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；对于选项B，两个虚数不能比较大小，故B错误；对于选项C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故C错误；D正确.故选:ABC7．在下列命题中，正确命题的个数为（）A.两个复数不能比较大小；B.若是纯虚数，则实数；C.的一个充要条件是；D.已知k∈Z，i为虚数单位，复数z满足:，则当k为偶数时，【答案】CD【解析】对于选项A,复数为实数时，可以比较大小，故A错，对于选项B,时，，此时不是纯虚数，故B错，对于选项C,设复数，则，因为，即，解得，所以的一个充要条件是，故C正确；对于选项D,当k为偶数时，，所以，故D正确，故选：CD．8．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.的虚部为-3 B.的实部为2C.的共轭复数为 D.>【答案】BC【解析】复数的虚部为，实部为2,共轭复数为，复数不是实数不好比较大小.故选：AB.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知为虚数单位，则集合中元素的个数为______.【答案】4【解析】（4个一周期）共4个元素.故答案为：4.10．已知复数（）．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围为______．【答案】（2，3）【解析】因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解之得，得．所以实数的取值范围为（2，3）．故答案为：（2，3）11．已知是虚数单位，复数的共轭复数为，若，则=___________;______．【答案】.【解析】因为，故可得，则.故答案为：.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知复数.（1）取什么值时，为实数；（2）取什么值时，为纯虚数.【答案】（1）（2）【解析】（1）复数，若为实数，则，即（2）若为纯虚数，则，解得13．在复平面内，复数（其中）.（1）若复数为实数，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值；（3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围。【答案】（1）或4；（2）；（3）【解析】（1）因为复数为实数，所以，所以或4；（2）因为复数为纯虚数，所以，所以（3）因为对应的点在第四象限，所以解不等式组得，，即的取值范围是.14．若(是虚数单位),求的最小值【答案】【解析】由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，

而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，

由图象可知：的最小值应为点到的距离，

而，圆的半径为1，故的最小值为.A级必备知识基础练1.[探究点一]若复数z满足z=6i+2i2,则z的虚部是()A.-2i B.6iC.1 D.62.[探究点一]若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为()A.-1 B.2C.1 D.-1或23.[探究点一]若sin2θ-1+i(2cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为()A.2kπ-π4(k∈Z)B.2kπ+π4(k∈ZC.2kπ±π4(k∈Z)D.kπ2+π44.[探究点一]若复数z=a+bi(a,b为实数),则“a=0”是“复数z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(多选题)[探究点二]对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是()A.若b≠0,则a+bi为虚数B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1C.若a+bi为实数,则b=0D.i的平方等于16.[探究点三]若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为.

7.[探究点一]已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a的取值集合为.

8.[探究点二]当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+m2B级关键能力提升练9.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是()A.若x是实数,则x可能不是复数B.若z是虚数,则z不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.-1没有平方根10.以3i-2的虚部为实部,以3i2+2i的实部为虚部的复数是()A.3-3i B.3+iC.-2+2i D.11.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数C.若z12+z22=0,则D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数12.(多选题)已知复数z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为()A.π3 B.C.π D.513.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=,n=.

14.下列说法:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.其中说法正确的序号是.

15.已知复数z=3x-1-x+(x2-4x+3)i>0,求实数16.已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i,λ,m∈R,θ∈0,π2,若z1=z2,求λ的取值范围.C级学科素养创新练17.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=()A.3+i B.3-iC.-3-i D.-3+i参考答案1.Dz=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部是6.故选D.2.D因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.3.B由题意,得sin2θ-1=0,2cosθ+1≠0,解得θ=kπ+π4,θ≠24.B根据复数的概念,当a=0且b≠0时,复数z=a+bi为纯虚数.反之,当复数z=a+bi为纯虚数时,a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.5.ABC对于选项A,当b≠0时,a+bi为虚数,故选项A正确;对于选项B,若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b-1=-对于选项C,若a+bi为实数,则b=0,故选项C正确;对于选项D,i的平方为-1,故选项D错误.故选ABC.6.-12,-74依题意得27.{0}由z1>z2,得2a2+3a=0,a28.解(1)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是实数(2)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是虚数,则m2+(3)因为z=(m2+m-6)i+m2-7m+12m+3是纯虚数,则m9.ACD因为实数是复数,故A错;B正确;因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故C错;因为i2=-1,故D错.10.A3i-2的虚部为3,3i2+2i=-3+2i的实部为-3,故选A.11.BD取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则z12+z22=0,但z1=z2=0当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.12.BC∵复数z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,∴3cosα+cos2α=-2,即2cos2α+3cosα+1=0,解得cosα=-12或cosα=-1∵0<α<2π,∴α=2π3或4π313.2±2由复数相等的充要条件有n2-14.③当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则x2-1=0,x2+3x+2≠0,即x=1,15.解∵z>0,∴z∈R.