8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（基础练）解析版

第八章立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（）A．B．C． D．【答案】A【解析】由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.2．若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..故选：C3．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选:B5.已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，在正方体中，三棱锥符合题目条件，且三棱锥的四个侧面全为等边三角形，设正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，所以正方体的表面积为，，即三棱锥的表面积为，则三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为：．故选：B．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,则三棱锥E-AA1O的体积不可能为()A.1B.C.D.【答案】ABD【解析】∵点E是侧棱BB1上的一个动点,∴以平面AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值,又=××2=,∴=××=,故C正确;故选:ABD7．已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（）．A．该四棱台的高为 B．C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台体积为【答案】AD【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于，，可知△与相似比为；则，，则，则，该四棱台的高为，对；因为，则与夹角为，不垂直，错；该四棱台的表面积为，错；8．如图，长方体的体积是120，E为的动点，则三棱锥E−BCD的体积可能为（）A.10B.30C.60D.20【答案】AD【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的动点，所以，()由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.20,故选:AD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为__________【答案】【解析】如图所示，在正四棱锥中，取中点，连接，则为直角三角形，所以，所以表面积.故答案为：12.10．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则正四棱锥的斜高为__________,该组合体的表面积为_____________【答案】220【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故答案为：220四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

（1）求正三棱锥的表面积；（2）求正三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中点D，连接，在中，可得.∴.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥的侧面积是.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.则正三棱锥的表面积为；（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.∴正三棱锥的体积为.13．已知长方体的体积为，则求三棱锥的体积.【答案】【解析】设长方体的底面积为，高为，则长方体的体积为，由题意可知，三棱锥的底面积为，高为，因此，三棱锥的体积为，14．14．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：（1）该几何体的体积．（2）截面ABC的面积．【答案】(1)6;(2)【解析】（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，其底面为△A1B1C1，高为4+2＝6，∴所求几何体的体积为V2×2×6＝6；（2）△ABC中，AB，BC，AC2，∴△ABC为等腰三角形，底边AC的高为：h；∴截面ABC的面积为S△ABC2．A级必备知识基础练1.[探究点一]若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于()A.12 B.48 C.64 D.722.[探究点二]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A.16 B.13 C.13.[探究点一]一个正四棱锥的底面边长为2,高为3,则该正四棱锥的表面积为()A.8 B.12 C.16 D.204.[探究点二]正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3π B.43 C.3π5.[探究点二]棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于()A.6+2 B.3+22C.6+22 D.66.[探究点二]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.

7.[探究点三]已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.

8.[探究点二]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,则它的深度为cm.

B级关键能力提升练9.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺10.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.

11.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V212.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为.

13.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为22,那么玩具石凳的表面积为.

14.已知正四棱台的高是12cm,两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2,则上、下底面边长分别为cm,体积为cm3.

15.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.16.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?C级学科素养创新练17.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为2033,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=参考答案1.D∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形,∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4,∴棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D.2.A三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=13×123.B由题意得侧面三角形底边上的高为(3)所以该四棱锥的表面积为22+4×12×2×2=124.B如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为2,故底面积为(2)2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为13×2×1=2故几何体的体积为2×235.C依题意,棱台的上底面面积S'=2,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知,棱台的体积是V=13(S'+S'S+S)h=13×(2+8+4)×3=6+226.10因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12AB·BC·CE=13×12AB·BC·17.90138该几何体的体积V=4×6×3+12×4×3×3=90,表面积S=2×(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+32+428.75设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h.由V=13(S+SS'+S')h,得h=3V9.B如图所示,由题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得30-ℎ30=6×2220×22,解得h=21,可得正四棱台的体积为13×21×(62+20210.3∶4设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=13h(S+4S+2S)=73Sh,V1=Sh,∴11.14如图,设点C到平面PAB的距离为h,则点E到平面ABD的距离为12∵S△ABD=12S△PAB∴V112.1-372液体部分的体积为三棱锥体积的18,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的78.设空出的三棱锥的高为x,则x313=7813.83+24根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为8×12×22sin60°+6×22=83+2414.2,12688如图,点O,O1分别是下底面和上底面的中心,点E,E1分别是所在棱的中点,连接OO1,OE,O1E1,过点E1作E1F⊥OE,F是垂足.设OE=xcm,则下底面边长为2xcm,上底面边长为(2x-10)cm,故O1E1=(x-5)cm,则FE=5cm.又正四棱台的高是12cm,∴EE1=FE2+故正四棱台的表面积S=(2x)2+(2x-10)2+4×12(2x+2x-10)×13=8(x2+8x-20)=512(cm2),解得x=6cm,所以正四棱台下底面边长为12cm,上底面边长为2cm该正四棱台的体积V=13×12×(122+122×22+22)=4×(144+24+15.解因为EB=BF=FD1=D1E=a2+(a2)

2=52a,D连接EF,则△EFB≌△EFD1.易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等,故VA1-EBFD1=又因为S△EBA1=12EA1·AB=14a2,易知点F到底面EBA1的高是a,则VF-EBA1=13a·16.解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则A1B1AB=PO1PO,令A1B1=x,而于是OO1=h-PO1=h-ℎax=h1所以所求三棱柱的侧面积为S=