简单的轴对称图形第3课时课件2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第五章

图形的轴对称5.2简单的轴对称图形（第3课时）

学习目标1.会用尺规作图作角平分线;2.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理;（难点）3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）如果是，你能找出它的对称轴吗？新课导入情境引入角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗?

1．

角的轴对称性：角是

⁠图形，角平分线所在的直线是

它的

⁠．轴对称对称轴

2．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离

⁠

⁠．

几何语言：如图，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所

以

⁠．相

等PD＝PE如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么?新知探究

探究一：角平分线的性质1.对称性：角是

图形.

轴对称角的对称性2.对称轴：

是它的对称轴.

角平分线所在的直线新课讲授(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系?说说你的理由。解:(1)CD和CD'.理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称点C在OP上，所以线段CD与CD'关于OP所在直线对称，所以CD=CD'.尝试·思考如图所示，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'.新课讲授(2)特别地，当CD⊥OA时(如图所示)，CD'与OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论?(2)当CD⊥OA时,CD'⊥OB.理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称，点O，C都在OP上，所以△OCD与△OCD'关于OP所在直线对称，所以∠ODC=∠OD'C,当CD⊥OA时,∠OD'C=∠ODC=90°，即CD'⊥OB，此时CD=CD'，还有(1)中的关系.新知探究知识归纳几何语言：角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

∵OP

是∠AOB的平分线，∴CD=CD′.CD⊥OA,CD′⊥OB，

知识点1

角的轴对称性

例1

下列说法中不正确的是（B）A．

角是轴对称图形B．

角平分线是角的对称轴C．

将∠AOB对折，边OA与边OB重合，折痕所在的直线是∠AOB的

对称轴D．

角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形B

1.如图，将∠AOB对折，使点A与点B重合，折痕为射线OP，若

∠AOB＝44°，则∠AOP＝

⁠．22°新课讲授

探究二：用尺规作角平分线思考·交流

如图所示，已知∠AOB，如何作出它的平分线？

假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题:(1)这条射线有什么特征?答案:(1)这条射线平分∠AOB，这条射线上的任一点与∠AOB两条边上关于这条射线对称的一组对应点所连的两条线段相等。新课讲授(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢？与同伴进行交流.

DE(方法二)如图所示，用圆规取OD=OE，连接DE,用三角尺作DE的中点F,点F就是所求。F需要确定的点是角的对称轴上的点,因此应当从角两边进行“对称”的操作.新知探究理由详解：如图所示，连接CE，CD，CDE由作图知OD=OE，CE=CD，又因为OC=OC，所以△OCE≌△OCD（SSS），所以∠AOC=∠BOC,所以OC平分∠AOB.新知探究

这两种尺规作图方法都是根据“SSS”判定三角形全等，根据全等三角形的性质得出角相等，过直线上一点作已知直线的垂线可以看成作一个平角的平分线.

过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流.

知识点2

角平分线的性质

例2

如图，OC是∠AOB的平分线，CE⊥OA，CF⊥OB，则下列

结论错误的是（D）DA．

∠AOC＝∠BOCB．

CE＝CFC．

OE＝OFD．

OF＝OC

2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，

若PD＝2，则点P到边OA的距离是2.这里依据的数学定理是

⁠

⁠．角平分线

上的点到这个角的两边的距离相等新课讲授回顾·反思

回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？

根据轴对称的性质、全等三角形的判定及性质等知识，运用了操作尝试、交流验证、猜测类比、找一找、画一画等方法.

经验：从轴对称的视角探索并感知平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验.（答案不唯一）

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.(1)若BC=10,BD=6,则点D到AB的距离是多少?(2)若∠BAD=30°,求∠B的度数.例1典例分析解:(1)因为∠C=90°,CD=BC-BD=4,所以点D到AC的距离为4.根据角平分线的性质,可知点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即为4.(2)因为AD平分∠BAC,∠BAD=30°,所以∠BAC=2∠BAD=60°.又因为∠C=90°,所以∠B=180°-90°-60°=30°.

例3

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC

于点D，BC＝7，BD＝4，那么点D到AB的距离是

⁠．3

3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC交

CD于点E，BC＝18，DE＝6，则△BCE的面积等于（B）A．

108 B．

54 C．

27 D．

9B2.如图所示,l1,l2,l3是三条两两相交的公路,现需修建一个仓库,要求仓库到三条公路的距离相等,则仓库的可能地址有

处.

学以致用1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于点E.若BC=9,BE=3,则△BDE的周长是

.

124学以致用3.如图所示,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是14cm2,AB=9cm,AC=5cm,则DE的长是

cm.

24.在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=13，AC=12，BC=5.在△ABC的内部找一点P，使得点P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是

.

25.如图所示，P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD交OP于点E.试说明:CE=DE.巩固练习解:因为P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,所以PC=PD,∠POC=∠POD.因为∠POC+∠CPE=90°,∠POD+∠DPE=90°,所以∠CPE=∠DPE.在△CPE和△DPE中,因为PC=PD,∠CPE=∠DPE,PE=PE,所以△CPE≌△DPE(SAS),所以CE=DE.

知识点3

角平分线的作法

例4

如图，已知∠AOB，用尺规作∠AOB的平分线．

解：如图所示，OC即为所求．

4.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°.在BC边上是否存在一

点D，使得点D到边AB和AC的距离相等？如果存在，请把这个点找出

来；如果不存在，请说明理由．