8.5.1直线与直线平行（教案）

第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行一、教学目标1.掌握基本事实4和等角定理；2.能运用基本事实4与等角定理解决一些简单的相关问题.3.通过对直线与直线平行的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点基本事实4与等角定理的运用．三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，然后请大家动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开.新知探究问题1:，观察这些折痕有怎样的位置关系？并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立？学生回答，教师点拨,揭示出基本事实4问题2:在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？在空间呢？学生回答，教师点拨,揭示出等角定理,从而提出本节课所学内容新知建构基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号可表示为：．（试从棱柱或圆柱中找到模型）思考：经过直线外一点有几条直线和这条直线平行？生答:有且只有1条等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．（4）数学运用例1.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.【答案】证明见解析.【解析】如图所示,连接A′C′,因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,所以MN∥A′C′,且MN=QUOTEA′C′.由正方体的性质可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=QUOTEAC,所以四边形ACNM是梯形.变式训练1:已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，则四边形EFGH形状为____.【答案】梯形【解析】如右图在△ABD中，∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq\f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四边形EFGH为梯形.故答案为：梯形例2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.求证：∠NMP＝∠BA1D.【答案】答案见解析【解析】如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.变式训练:下列命题中,正确的结论有()①若果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.故选:B.例3:如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【答案】答案见解析【解析】(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.变式训练:(多选)如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中正确的是()A．四点共面 B．C． D．四边形为梯形【答案】ABC【解析】由中位线定理,易知,,,.于A,由基本事实易得P,所以四点共面,故A中的说法正确；对于B,根据等角定理,得,故B中的说法正确；对于C,由等角定理,知,,所以,故C中的说法正确；由三角形的中位线定理知,,,,所以,所以四边形为平行四边形,故D中的说法不正确.故选:ABC．四、小结：基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号可表示为：．（试从棱柱或圆柱中找到模型）等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．A级必备知识基础练1.[探究点一]在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的任意两个顶点的连线中,与棱AB平行的条数为()A.2 B.3 C.4 D.52.(多选题)[探究点二]下列命题中,错误的有()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行3.[探究点一]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是.

4.[探究点一、二]如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.

5.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?请说明理由.6.[探究点一、二]长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1E∥BF;(2)∠B1BF=∠A1ED1.B级关键能力提升练7.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的有()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行8.(多选题)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则()A.PQ=12B.PQ∥MNC.M,N,P,Q四点共面D.四边形MNPQ是梯形9.(多选题)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,点F是直线EF与正方形ABB1A1边的交点,则()A.EF∥D1CB.EF=22C.CF=73D.三棱锥A-EFC的体积为154a10.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=.

C级学科素养创新练11.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面.(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?参考答案1.D连接CF,C1F1,与棱AB平行的有ED,CF,A1B1,C1F1,E1D1,共有5条,故选D.2.AC这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.3.平行在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.4.AC=BDAC=BD且AC⊥BD由题意,知EH∥BD∥FG,且EH=FG=12BD同理EF∥AC∥HG,且EF=HG=12∴四边形EFGH是平行四边形.要使EFGH为菱形,则需满足EH=FG=EF=HG,即AC=BD.要使EFGH为正方形,则需满足EH=FG=EF=HG且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.5.解如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.6.证明(1)如图,取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM∥A1B1,EM=A1B1,因为A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,所以EM∥C1D1,EM=C1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中,易得MB∥C1F,又因为M,F分别为BB1,CC1的中点,所以MB=C1F.所以四边形MBFC1为平行四边形,所以BF∥MC1,所以D1E∥BF.(2)因为D1E∥BF,BB1∥EA1,又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同,所以∠B1BF=∠A1ED1.7.D如图,∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,但是OB与O1B1不一定平行.故选D.8.BCD由题意知PQ=12DE,且DE≠MN,所以PQ≠12MN,故A又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确.9.AD如图,在边AB上取点F,使得BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC.因为A1E=2EA,所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C,故EF=13A1B=23a,CF=aVA-EFC=VE-AFC=13×13a×12×1故选AD.10.13m连接AM并延长交BC于E,连接AN并延长交CD于F,再连接MN