8.6.3平面与平面垂直（基础练）解析版

第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.下列命题正确的是()A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行【答案】C【解析】过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,∴A错;过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,∴B错;∵过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,而过这条直线的平面有无数个,∴由平面与平面垂直的判定定理,知这无数个平面都与已知平面垂直,∴C正确;过平面外一点有无数条直线与这个平面平行,∴D错，故选：C.2．在边长为1的菱形中，，把菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点为，连接，如下图所示在等腰和等腰中，由二面角的定义可知，为二面角的平面角为等边三角形，即则二面角的余弦值为，故选：B3．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P⊄l，下列命题为假命题的是()A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β【答案】B【解析】由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，C，D正确．故选：B.4．已知平面和直线，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于选项A，若，则或相交，故A错误；对于选项B，若，则或相交，故B错误；对于选项C，若，则，为面面垂直的判定定理，故C正确；对于选项D，若，则，故D错误；故选：C.5.己知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为()A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，，则【答案】D【解析】对于选项A，当，，时，m，n有可能平行，故A错误；对于选项B，当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故B错误；对于选项C，当，，时，m，n有可能异面，故C错误；对于选项D，满足面面垂直的性质定理，故D正确；故选：D二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．已知平面，，直线l，m，且有，，下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AB【解析】对于选项A，因为，，所以，又，所以，故A正确；对于选项B，因为，，所以，又，所以，故B正确；对于选项C，因为，，所以与可能平行或异面，故C错误；对于选项D，因为，，所以或，所以不一定成立，故D错误；故选：AB.7．如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（）A．平面平面 B．C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为【答案】ABD【解析】如图，连接，则，又，，所以中有，所以.对于选项A，由题意可得，又，，平面所以平面，所以，又，，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确；对于选项B，由A得平面，又，由三垂线定理可得（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；对于选项C，由A得平面，根据二面角定义可得就是二面角的平面角，易得，故C不正确；对于选项D，由A得平面，所以就是斜线与平面所成的角，易得，，故D正确，故选：ABD8．如图，在三棱柱中，底面，，点是上的动点.下列结论错误的是（）B．存在点，使得∥平面C．不存在点，使得平面平面D．三棱锥的体积是定值【答案】C【解析】如下图由底面，知，又，所以平面故，故A正确；连接与交于，取中点D，连接，则，平面所以∥平面，故B正确；当时，因为，底面，所以，，所以平面，故平面平面，故C不正确；，因为四边形面积一定，点D到平面的距离一定，所以三棱锥的体积是定值，故D正确.故选:C三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为__________________．【答案】平行或直线l在平面α内【解析】平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，直线l与平面α平行或直线l在平面α内故答案为:平行或直线l在平面α内10．如图，所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：①；②；③；④面．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】，，那么平面，则，又，则平面，可得，那么①③正确；同理②也正确，易知④错误．故答案为:①②③11．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．平面与平面的位置关系是________；平面和平面所成的二面角的正弦值________．【答案】垂直【解析】连结．因为四边形是菱形，，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∴．∵平面，平面，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴平面平面．延长、相交于点，连结，过点作于，由（1）知平面平面，所以平面．平面，则，在中，因为，所以．在等腰中，取的中点，连接，则，连结．，平面，平面，所以平面，所以，所以是平面和平面所成的二面角的平面角（锐角）．在等腰中，，在中，，所以，在中，，故平面和平面所成的二面角的正弦值为．故答案为:垂直四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB,又AB⊥BC,BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG.∵E、F、G分别是A1C1、BC、AB的中点,∴FG∥AC,且FG=AC,EC1=A1C1.∵AC∥A1C1,且AC=A1C1,∴FG∥EC1,且FG=EC1,∴四边形FGEC1是平行四边形,∴C1F∥EG,又EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,∴C1F∥平面ABE.13．如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）如下图所示，连接，在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，为的中点，则为的中点，同理可知，点为的中点，，平面，平面，因此，平面；（2）在直三棱柱中，平面，且，所以四边形为平行四边形，，所以，平行四边形为菱形，则，平面，平面，，，，平面，平面，，，平面，平面，因此，平面平面.14．已知在四凌锥中，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，，，所以平面．又，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）解法一：由（1）知平面，又平面，所以．在中，，，所以．在中，由余弦定理得，所以．过点作，交于点，则，且，因为面，平面，所以，又，所以平面．如图，过点作交的延长线于点，连接，则平面，所以为直线与平面所成的角．因为，，，所以．在中，，所以，故直线与平面所成角的正弦值为A级必备知识基础练1.[探究点一]如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为()A.90° B.60°C.45° D.30°2.[探究点三]在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.垂直3.[探究点三]设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若m⊥β,α⊥β,则m∥αB.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥αC.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥nD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α4.[探究点三]如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=.

5.[探究点三]如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.

6.[探究点三]如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=.

7.[探究点三]三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求点B到平面MOC的距离.8.[探究点一、二]如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.B级关键能力提升练9.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点10.(多选题)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出如下命题,其中正确的是()A.若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥βB.若α⊥β,且n⊥β,n⊥m,则m⊥αC.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥αD.若α⊥β,m∥α,则m⊥β11.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部12.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P-BC-A的大小为45°D.BD⊥平面PAC13.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=.

14.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.15.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.16.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.(1)求证:EF⊥PD;(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.C级学科素养创新练17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点.(1)求证:平面AFD⊥平面PAB.(2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.参考答案1.A∵PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故选A.2.D在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂平面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,D正确.3.D当m⊂α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n⊂α,这时m⊂α,n⊂β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D.4.2取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=DE2+5.45°过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.6.5∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC与平面ABC的交线为AC,∠PAC=90°,PA⊂平面PAC,∴PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB=PA7.(1)证明∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB.又VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC.(2)证明∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB.又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,又OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解连接MB,VO,过M作MD⊥AB,垂足为D,图略,设h'为点B到平面MOC的距离,h为点M到平面BOC的距离.∵VM-BOC=VB-MOC,∴13S△BOC×h=13S△MOC∵平面VAB⊥平面ABC,VO⊥AB,∴VO⊥平面ABC.又△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O为AB中点,∴VO=3.又MD⊥AB,M为VA中点,∴MD=12VO=h=3∵S△BOC=12×1×1=12,S△MOC=12×1×1∴h'=32,即点B到平面MOC的距离为38.(1)证明如图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P9.D∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.10.AC根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中,m还可能在α内或m∥α或m与α斜交,B不正确;C中,α⊥β,m⊥β,m⊄α时,只可能有m∥α,C正确;D中,m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交,D不正确.故选AC.11.A因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又因为平面ABC∩平面ABC1=AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即H在直线AB上.12.ABC如图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM⊂平面PMB,∴AD⊥平面PMB,故A正确;对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=32,PM=3在Rt△PBM中,tan∠PBM=PMBM=1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.13.2取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=DE2+14.(1)证明∵AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,∴△ABC≌△DBC,∴AC=DC.∵G为AD的中点,∴CG⊥AD.同理BG⊥AD.∵CG∩BG=G,CG,BG⊂平面BCG,∴AD⊥平面BCG.又E,F分别是AC,CD的中点,∴EF∥AD,∴EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB的延长线于点O.∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直,平面ABC∩平面BCD=BC,且AO⊂平面ABC,∴AO⊥平面BCD.∵G为AD的中点,∴点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin60°=3,∴h=32△BCD的面积S△BCD=12BC·BDsin∠DBC=12×2×2×sin120°=∴VD-BCG=VG-BCD=13S△BCD·h=115.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.16.(1)证明连接BD,在