8.5.3平面与平面平行（基础练）解析版

第八章立体几何初步8.5.2平面与平面平行(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；对：MC1与是相交直线，所以A不正确；对：因为//，，//，又容易知也相交，平面；平面，故平面//平面故选：.2．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．3．已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（）A．，B．，，，C．，，D．，，，，【答案】D【解析】由题意得，对于A中，，与可能相交，所以A是错误的；对于B中，，，，，如果，，可能相交，故是错误的；对于C中，，，与可能相交，所以C错误的；对于D中，，，，，满足面面平行的判定定理，所以，故D正确的，故选：D.4．如图，在棱长均为1的正三棱柱中，分别为线段，上的动点，且平面，则这样的有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条【答案】D【解析】如图，任取线段上一点，过作，交于，过作交于，过作的平行线，与一定有交点，连接，可证平面平面所以平面，则这样的有无数个．故选：D.5.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:由图可知,,所以四边形为平行四边形,所以,因为,所以,因为,故平面MNRH//平面,因为截面,所以平面,线段MP扫过的图形为,由知,,在中,即,所以，所以,即为直角,故线段长度的取值范围为,即,故选:B二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列选项正确的是()A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.【答案】CD【解析】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线.对于选项A,一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在,故A错误;对于选项B,一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，故B错误;对于选项C,一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义,故C正确;对于选项D,一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理,故D正确;故CD．7．为三个不重合的平面为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是()A． B． C． D．【答案】AD【解析】对于选项A,由点线面的位置关系基本事实:两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行,故A正确.对于选项B,两条直线都与同一个平面平行,则这两条直线可能相交,也可能是异面直线,不一定平行,故B错误.对于选项C,两个平面都与同一条直线平行,则这两个平面可以平行,也可以相交,故C错误.对于选项D,由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行,故D正确.8．已知a，b表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题不正确的是（）A.若，且，则；B.若a，b相交且都在，外，，，，，则；C.若，，则；D.若，，且，则；【答案】ACD【解析】对于选项A，若，且，则，因为有可能相交，如图：，故A错误；对于选项B，在空间中确定一个点，过作a，b的平行线，，过，的平面，，，，，，，，，，故B正确；对于选项C，若，，则，有可能，相交，如图：，故C错误；；对于选项D，若，，且，则，有可能，相交，如图：，故D错误；故选:ACD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是.

【答案】平行【解析】在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF=E,DE⊂平面DEF,EF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.故答案为：平行10．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为_________,其面积为______．【答案】四边形【解析】如图所示：确定一个平面，因为平面平面，所以，同理，所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为，所以，即所以由余弦定理得：,所以,所以四边形.故答案为：四边形11．如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则_________【答案】【解析】∵平面AEF∥平面BD1G,且平面AEF∩平面BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,∴EF∥BD1,∴易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,又BG⊂平面BCC1B1,∴BG∥平面ADD1A1,又∵平面AEF∥平面BD1G,BG⊂平面BD1G,∴BG∥平面AEF,∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF,∴BG∥AF,∴BG、AF可确定平面ABGF,又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,∴AB∥FG,∴CD∥FG.∴.故答案为：.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.求证：eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).【答案】答案见解析【解析】连接AG交β于H，连BH，FH，AE，CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(AH,HG)＝eq\f(EF,FG)，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).13．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.【答案】答案见解析【解析】因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.14.如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．求证：平面平面BEF；若平面，求证：H为BC的中点．【答案】答案见解析【解析】如图，，F分别为，的中点，，平面，平面，平面，又F，G分别为，AB的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，平面平面BEF；平面平面，平面平面，平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，则，得，为AB的中点，为BC的中点．A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α2.[探究点一]若一个平面α内的两条直线a,b分别平行于另一个平面β内的两条直线c,d,则平面α与β的位置关系是()A.一定平行 B.一定相交C.平行或相交 D.以上判断都不对3.[探究点二]如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是底面A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面AA1C1C,则动点M的轨迹是()A.平面 B.直线C.线段,但只含1个端点 D.圆4.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1(第4题图)5.(多选题)[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个说法正确的是()(第5题图)A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D16.[探究点一]一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为P1A,P4D,P2C,P2B的中点,点P1,P2,P3,P4折起后重合为点P,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.

7.[探究点二]如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'8.[探究点一]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)GH∥平面ABC;(2)平面EFA1∥平面BCHG.9.[探究点一]已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.10.[探究点三]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?B级关键能力提升练11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为 ()A.22 B.23 C.26 D.412.(多选题)正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,下列结论正确的有()A.BM∥平面ADEB.CN∥平面AFBC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF13.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则 ()A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGF14.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=,ED与AF相交于点H,则GH=.

15.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.C级学科素养创新练16.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE?参考答案1.CD对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.所以选项A的内容是α∥β的必要条件而不是充分条件;对于选项B,存在一条直线a,a⊂α,a∥β,则α∥β或α与β相交.若α∥β,则存在一条直线a,a⊂α,a∥β.所以选项B的内容是α∥β的必要条件而不是充分条件;对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的充分条件;对于选项D,由于a∥β,把直线a平移到平面β中,设为直线a'.由于直线a与b异面,所以a'与b相交.则在平面β中存在两条相交直线平行于α,则α∥β.所以选项D的内容是α∥β的充分条件.2.C平面α内的两条直线a,b分别平行于平面β内的两条直线c,d,若直线a,b相交且这两条直线平行于平面β,则可得这两个平面平行;若直线a,b平行,则平面α与β可能相交也可能平行.故选C.3.C∵平面BDM∥平面AA1C1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面AA1C1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E(图略),则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).4.D易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误.易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误.因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误.因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.AC∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1.∵FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故选项A正确.∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故选项B错误.∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1,∵FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,∴FG∥平面BC1D1,故选项C正确.∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故选项D错误.故选AC.6.①②③④把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.7.425由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',S8.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1.又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.因为GH⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,G为A1B1的中点,所以A1G∥EB,A1G=EB,即四边形A1EBG为平行四边形.所以A1E∥BG.因为EF∥BC,EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1E∥BG,A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为EF,A1E⊂平面EFA1,且EF∩A1E=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.9.证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.10.解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.11.C由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=5,所以四边形A1ECF为菱形.又因为A1C=23,EF=22,所以截面面积为26.12.ABCD展开图可以折成如图①所示的正方体.①②在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面ADE.同理可证CN∥平面AFB,∴A,B正确.③如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,∴C,D正确.13.A如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM,且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故选A.14.1