沪教版相似三角形知识点+例题+练习

沪教版相似三角形知识点解析与应用相似三角形是平面几何中的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是解决复杂几何问题、进行几何计算与证明的重要工具。掌握相似三角形的判定与性质，能够显著提升我们对图形关系的洞察能力和逻辑推理能力。本文将系统梳理沪教版教材中相似三角形的主要知识点，并结合典型例题与练习题，帮助同学们深化理解与应用。一、知识梳理（一）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。*核心要素：1.对应角相等：若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。2.对应边成比例：若△ABC∽△A'B'C'，则AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k（k称为相似比或相似系数）。*注意：*相似比有顺序性。若△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k。*全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。（二）相似三角形的判定定理判定两个三角形相似，主要依据以下定理：1.预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。即：若DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E，则△ADE∽△ABC。2.判定定理1（AA或AAA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简记为：两角对应相等，两三角形相似。3.判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简记为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。4.判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简记为：三边对应成比例，两三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。（三）相似三角形的性质定理若两个三角形相似，则它们具有以下性质：1.对应角相等：这是相似的定义内涵。2.对应边成比例：这也是相似的定义内涵，其比值为相似比k。3.对应线段成比例：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比k。4.周长比：相似三角形周长的比等于相似比k。5.面积比：相似三角形面积的比等于相似比k的平方。（四）相似三角形的应用1.求线段长度：利用相似三角形对应边成比例，通过已知线段求未知线段。2.求角度大小：利用相似三角形对应角相等。3.证明比例式或等积式。4.解决实际问题：如测量高度、距离等（利用影子、标杆、镜面反射等）。二、例题精析例题1：基础概念辨析与简单计算已知△ABC∽△DEF，其中∠A=50°，∠B=60°，AB=3，DE=6，BC=4。求：(1)∠F的度数；(2)EF的长度。分析：(1)首先利用三角形内角和求出△ABC中∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等求出∠F。(2)根据相似三角形对应边成比例，找出对应边AB与DE，BC与EF，列出比例式求解。详解：(1)在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。∵△ABC∽△DEF，∴∠F=∠C=70°（相似三角形对应角相等）。(2)∵△ABC∽△DEF，∴AB/DE=BC/EF（相似三角形对应边成比例）。已知AB=3，DE=6，BC=4，∴3/6=4/EF，解得EF=(6×4)/3=8。点评：本题直接考察相似三角形的基本定义和性质，是入门级题目，关键在于准确找到对应角和对应边。通常，相似三角形的顶点字母顺序已暗示了对应关系。例题2：利用判定定理证明相似如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且∠ADE=∠C。求证：△ADE∽△ACB。分析：要证明△ADE∽△ACB，观察图形，发现两个三角形有一个公共角∠A。已知条件给出∠ADE=∠C。根据“AA”判定定理，若能证明两个角对应相等即可。证明：在△ADE和△ACB中，∵∠ADE=∠C（已知），∠A=∠A（公共角），∴△ADE∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）。点评：本题考察“AA”判定定理的应用。在复杂图形中，准确识别公共角、对顶角等隐含的等角条件，是证明三角形相似的常用技巧。例题3：相似三角形性质的综合应用已知△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2/3，且△ABC的周长为18cm，面积为12cm²。求：(1)△A'B'C'的周长；(2)△A'B'C'的面积。分析：直接利用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方这两条性质即可求解。注意相似比的顺序。详解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比k=AB/A'B'=2/3，∴△ABC与△A'B'C'的周长比为k=2/3，△ABC与△A'B'C'的面积比为k²=(2/3)²=4/9。(1)设△A'B'C'的周长为C'，则18/C'=2/3，解得C'=18×(3/2)=27(cm)。(2)设△A'B'C'的面积为S'，则12/S'=4/9，解得S'=12×(9/4)=27(cm²)。点评：本题考察相似三角形周长比和面积比与相似比的关系，是性质应用的典型题目。务必牢记面积比是相似比的平方，避免与周长比混淆。三、巩固练习一、选择题1.下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠EB.AB/DE=AC/DF，∠A=∠DC.AB/DE=BC/EF，∠C=∠FD.AB/DE=BC/EF=AC/DF2.若△ABC∽△DEF，且AB:DE=1:2，则下列说法错误的是（）A.对应角之比为1:1B.对应中线之比为1:2C.周长之比为2:1D.面积之比为1:4二、填空题3.两个相似三角形的相似比为1:4，则它们的对应高的比为______，面积比为______。4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，DE=4，则BC=______。三、解答题5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE。求证：△ADE∽△ABC。6.已知：如图，△ABC∽△BDC，其中∠A=∠DBC，BC=√6，AC=3，求CD的长。7.一个三角形的三边长分别为4、6、8，另一个三角形的一边长为12。若要使这两个三角形相似，求另一个三角形另外两边的长（写出所有可能的情况）。参考答案与提示一、选择题1.C（提示：C选项中∠C与∠F不是已知成比例两边的夹角）2.C（提示：周长之比等于相似比1:2）二、填空题3.1:4；1:164.10（提示：AD/AB=DE/BC，AB=AD+DB=5，即2/5=4/BC）三、解答题5.提示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ADE=∠AED（等角的补角相等或通过计算∠A为公共角，再证另一角相等，或证对应边成比例：AD/AB=AE/AC）。6.CD=2（提示：由△ABC∽△BDC得AC/BC=BC/CD，即3/√6=√6/CD，解得CD=(√6*√6)/3=6/3=2）。7.提示：分三种情况讨论：*若12与4对应，则另两边为18、24；*若12与6对应，则另两边为8、16；*若12与8对应，则另两边为6、9。因此，另两边长分别为