高三二轮高效复习讲义数学专题突破解析几何融合创新6解析几何中的创新问题

融合创新6解析几何中的创新问题▶对应学生用书P109【考情分析】高中数学中圆锥曲线问题主要包含定点、定值、最值、存在性探索问题等，这些不同类型的问题既能体现圆锥曲线的桥梁作用，又能体现不同的数学思想和方法.与此同时，圆锥曲线的横向联系也同样重要，与平面向量、圆、立体几何、不等式、数列、导数等不同知识内容的交汇，能够加强各个分支知识点之间的联系，也能提高学生解决综合性数学问题的能力.融合1圆锥曲线与数列曲线E1的方程Fx，y＝0中，用λx替换x，uy替换yλ，μ∈R＋得到曲线E2的方程Fλx，μy＝0，把这种x，y→λx，μy的变换称为“伸缩变换(1)若曲线E1的方程为x2＋y2＝4，伸缩比λ＝12，μ＝1，求E1经过“伸缩变换”后所得到曲线E2的标准方程(2)若曲线E1的方程为x24＋y23＝1，经过“伸缩变换”后所得到曲线E2是离心率为22的椭圆(3)对抛物线E1：y2＝2p1x作变换x，y→λ1x，μ1y，得抛物线E2：y2＝2p2x；对抛物线E2：y2＝2p2x作变换x，y→(λ2x，μ2y)，得抛物线E3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线En：y2＝2pnx作变换x，y→λnx，μny，得抛物线En＋1：y2＝2pn＋1x，若p1＝1，λn＝n2，μn＝n解：(1)由题意得12x2＋y2＝4，化简得x216所以曲线E2的标准方程为x216＋y2(2)由题意得，经过伸缩变换后的椭圆方程为λx24＋μy23＝1，化简得x2①当4λ2＞3μ2时，a2＝4λ2则e2＝1－b2a2＝1－34·λ2μ2＝②当4λ2＜3μ2时，a2＝3μ2则e2＝1－b2a2＝1－43·μ2λ2＝综上所述，λμ＝63或λμ(3)证明：对抛物线En：y2＝2pnx作变换(x，y)→λn得抛物线En＋1：μn2y2＝2pnλnx，得y2＝2·p所以pn＋1＝λnμn2pn＝即(n＋1)2pn＋1＝n2pn＝…＝12p1＝1，所以pn＝1n又pn＝1n2＜1n2－1＝所以当n≥3时，Sn＜p1＋p2＋12(12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n+1)＝1＋14＋12(1当n＝1或n＝2时，Sn＜53也成立，故Sn＜5[规律方法]解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处理，从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.对点练1.(2025·江西赣州二模)已知点M到点N(1，0)的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C.点P1(t，t＋1)(t≥0)在C上，过P1作斜率为－1的直线交C于另一点Q1，设P2与Q1关于x轴对称，过P2作斜率为－1的直线交C于另一点Q2，设P3与Q2关于x轴对称，……，以此类推，设Pnxn(1)求C的方程；(2)设数列1xn＋yn的前n项和为Tn，证明：13(3)求△PnPn＋1Pn＋2的面积.解：(1)当M在y轴左侧时，M在x轴的非正半轴上，C的方程为y＝0(x≤0)；当M在y轴右侧时，M的轨迹是以N为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.综上，C的方程为y2＝4x或y＝0(x≤0).(2)证明：因为P1在C上，所以(t＋1)2＝4t，可得t＝1，依题意Pn(xn，yn)，Qn(xn＋1，－yn＋1)，则kPnQn＝－yn+1所以yn＋1－yn＝4，故数列yn是首项为2，公差为4的等差数列所以yn＝2＋4(n－1)＝4n－2，则xn＝yn24＝(2n－11xn＋yn＝1(2n所以Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12显然Tn关于n∈N单调递增，则13≤Tn＜1(3)由(2)得Pn((2n－1)2，4n－2)，Pn＋1((2n＋1)2，4n＋2)，Pn＋2((2n＋3)2，4n＋6)，所以PnPn+1＝(8n，4)，PnPn+2＝(8(2而S△PnPn+1Pn+2＝12｜PnPn+1｜｜P所以S△1＝1＝1＝1＝1＝16.融合2圆锥曲线与立体几何(2025·黑龙江一模)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过F1且倾斜角为θ0<θ＜π2的直线l与椭圆交于A，B两点((1)A为椭圆上顶点时求△ABF2的面积；(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BF1F2)互相垂直.(ⅰ)若θ＝π3，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值(ⅱ)是否存在θ0<θ＜π2，使得折叠后A与B距离与折叠前A与B距离之比为528？若存在，求tanθ解：(1)由椭圆方程x24＋y23＝1知a＝2，b＝3，当A为椭圆上顶点时A0，3，又F1－1，0，直线AF1由x24＋y23=1，y＝3S△ABF2＝12F1F2yA－yB(2)(ⅰ)当θ＝π3时，在折叠前图中，直线AB方程为y＝3由(1)可知此时A0，3，B(－85，－折叠后仍以x轴为x轴，y轴原位置仍为y轴，折叠后y轴的正方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A0，0，3，B(－85，－335，0)，F1(－1，0，0)，F21，0所以cos〈AF1，BF2〉＝AF故异面直线AF1和BF2所成角的余弦值为1328(ⅱ)折叠前设Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB：x＝my由x24＋y23=1，x＝my－则y1＋y2＝6m3m2+4，y1AB＝1+m2y折叠后按(ⅰ)中坐标系得A'x1，0，A'B＝m＝m＝m＝m＝144m由A'B'AB＝52所以7m4＋2m2－9＝0，所以m2＝1或m2＝－97(舍去)因为m＞0，所以m＝1，所以tanθ＝1m＝1，故存在[规律方法]解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后联立方程，利用空间量的知识求解.对点练2.(2025·广东一模)如图1，已知抛物线C：y2＝2pxp>0的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限).当θ＝π2时，OA＝(1)求抛物线C的方程；(2)如图2，把△ADF沿DF翻折为△PDF，使得二面角PDFB的大小为2π(ⅰ)若θ＝π3，求直线BD与平面PBF所成角的正弦值(ⅱ)证明：三棱锥DPBF的体积为定值.解：(1)当θ＝π2时，AF⊥DF，所以点A的坐标为p因为OA＝5，所以p22＋p2＝5，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)(ⅰ)在平面直角坐标系中，若θ＝π3，则直线AB的方程为y＝3联立y得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13所以点A，B的坐标分别为(3，23)，(13，－23过O点作平面DBF的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则D(－1，0，0)，B13，－233，0，F当二面角PDFB的大小为2π3时，点P(3，4×sinπ3×cos(π－2π3)，4×sinπ3×sin(π－2所以BD＝(－43，233，0)，PF＝(－2，－3，－3)，BF＝(23，2设平面PBF的法向量为n＝x，则n·PF＝0，n·BF＝0，即－2设直线BD与平面PBF所成角为θ，则sinθ＝BD·nBDn＝所以直线BD与平面PBF所成角的正弦值为991(ⅱ)证明：由题意得VDPBF＝VPBDF＝13·S△BDF·zP＝13·(12·DF·BF·sinθ)·［PF·sinθ·sin(π－2π3)］＝36·｜BF｜·PF当θ＝π2时，BF＝PF＝2，VDPBF＝36·2·2·sin2π2当θ≠π2时，在平面直角坐标系中，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx设点A，B的坐标分别为x1，y联立y＝kx－1，y2＝4x，得k则Δ＝2k2＋42－4k4＝16k2＋16＞0，x1＋x2＝2k2+4因为sin2θ＋cos2θ＝1，k＝tanθ＝sinθ所以sin2θ＋sinθk2＝1，得sin2θ所以VDPBF＝36·BF·PF·sin2θ＝36·BF·AF·sin2θ＝36·x2＋1·x1＋1·k2k2+1＝36·(x1x2＋x1＋x2＋1)·k2k2+1＝综上所述，三棱锥DPBF的体积为定值23[课下巩固检测练(四十五)]解析几何中的创新问题(每题10分)1.(2025·重庆二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1的斜率为1且与C(1)求C的方程及AB的值；(2)如图，将C沿x轴折起，使得折叠后平面AF1F2⊥平面BF1F2，求F2到平面ABF1的距离.解：(1)设F1－c，0，F2c，0，A0，b，其中c2因为△ABF2的周长为8，所以4a＝8，故a＝2，又bc＝1，所以b＝c＝2故椭圆方程为x24＋y2所以AF1：y＝x＋2，联立方程y＝x＋2，x24＋y2所以xB＝－423，yB＝－故AB＝2×0－(－(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(－423，－23，0)，F1(－2，0，0)，F2(2，0，所以F1A＝2，0，2，F1B＝(－23，－23，0)，F设平面ABF1的法向量为n＝(x，y，z)，则F1A·n＝0，F1B·n所以F2到平面ABF1的距离d＝｜F1F2·2.(2025·江西九江二模)在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫作旋转变换.定点G叫作旋转中心，定角θ叫作旋转角(规定逆时针方向为正).如果图形上的点Px，y经过旋转变为点P'x',y'，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线xy＝mm≠0绕G顺时针旋转π4后，得到新曲线E，(1)求曲线E的方程并确定点G的位置；(2)点P1的坐标为1，0，按照如下方式依次构造点Pnn＝2，3，…：过点Pn－1作斜率为2的直线交E于另一点Qn－1，设Pn是点Qn－1关于x(ⅰ)求数列xn＋yn的前n(ⅱ)记M为直线P1Pn＋2与直线QnPn＋1的交点，N为直线P1Qn与直线Qn＋1Pn＋2的交点，R为直线MN与直线Pn＋1Qn＋1的交点，证明：R在定直线上.解：(1)依题意，得x'＝所以x'－y'x'＋故曲线E方程为x2－y2＝2m.因为点2，1在曲线E上，所以m＝故曲线E方程为x2－y2＝1.由对称性可知，点G为坐标原点O.(2)(ⅰ)依题意，得x得xn－xn+1xn＋xn+1＝(yn－yn＋1因为直线PnQn的斜率为2且Pnxn，yn，Qn(xn＋1，－yn所以yn＋yn＋1＝2xn－将②代入①中，得xn＋xn＋1＝2yn－将②和③相加，得3xn+1＋yn+1＝从而xn+1＋所以xn＋yn是首项为1，所以Sn＝1×1－(ⅱ)点R在定直线x＝1上.证明如下：因