《旅游统计学》-第十一章　方差分析

一、单因素方差分析（一）数学模型和数据结构在单因素试验中，为了考察因素Ａ的ｋ个水平Ａ１，Ａ２，…，Ａｋ对指标Ｙ的影响，如ｋ种促销方式对产品销量的影响。设想在固定的Ａｉ条件下做试验，所有可能的试验结果组成一个总体Ｙｉ，它是一个随机变量，可以把它分解为两部分：Ｙｉ＝μｉ＋εｉ下一页返回一、单因素方差分析（二）参数点估计我们可以用最小二乘法求参数μ，α１，α２，…，αｋ的估计量，然后寻求σ２的无偏估计量。我们希望所求的参数μ，α１，α２，…，αｋ的估计值能使在水平Ａｉ下求得的观测值Ｙｉｊ与真值μｉ之间的偏差尽可能小。为满足这一要求，一般考虑用最小平方和原则，也就是使观测值与真值的偏差平方和达到最小。显然，此偏差平方和就是随机误差平方和（记作Ｓε），且可以表示为：上一页下一页返回一、单因素方差分析（三）分解定理和自由度为了从观测值的偏差中分析出各个水平Ａｉ的主效应，我们研究三种偏差：Ｙｉｊ－Ｙ、Ｙｉ－Ｙ和Ｙｉｊ－Ｙｉ。根据前面参数估计的讨论，它们分别表示Ｙｉｊ－μ、αｉ和εｉｊ的估计量。关于这三种偏差的平方和有下述定理：上一页下一页返回一、单因素方差分析（四）实际操作方法单因素方差分析的基本思想是用方案之间的方差ＳＡ与所有方案内部的方差之和ＳＥ的比值，与ｆα的值进行比较，来判断ｋ个方案的均值是否相同。对样本而言：上一页返回二、双因素方差分析根据方差分析的背景，双因素方差分析可分为无交互作用的双因素方差分析和有交互作用的双因素方差分析。无交互作用双因素方差分析假定因素Ａ和因素Ｂ的效应之间是相互独立的，不存在相互关系。有交互作用的双因素方差分析假定因素Ａ和因素Ｂ的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种包装有与其他地区消费者不同的特殊偏好，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。根据实验有无重复，双因素方差分析可以分为无重复实验的双因素方差分析和有重复实验的双因素方差分析。下一页返回二、双因素方差分析（一）无重复实验的双因素方差分析１数据结构关系上述例子中，假设产品有ｒ种包装，在ｋ个不同地区销售。我们可以得到ｋ×ｒ个不同销售结果，并做出双因素方差分析的数据结构，如表１１－２所示。表中，因素Ａ位于列的位置，共有ｒ个水平，ｘ·ｊ代表第ｊ种水平的样本平均数；因素Ｂ位于行的位置，共有ｋ个水平，ｘｉ·代表第ｉ种水平的样本平均数。ｘ为样本总平均数，样本容量ｎ＝ｋ×ｒ。每一个观察值Ｘｉｊ看作由Ａ因素的ｒ个水平和Ｂ因素的ｋ个水平所组合成的ｋ×ｒ个总体中抽取的样本容量为１的独立随机样本。这ｋ×ｒ个总体的每一个总体均服从正态分布，且有相同的方差。这是进行双因素方差分析的假定条件。上一页下一页返回二、双因素方差分析２理论假设与分析假设Ｘｉｊ服从Ｎ（μｉｊ，σ２）分布，这相当于假设这ｋ×ｒ个总体的方差相同，但均值可能不同。设：上一页下一页返回二、双因素方差分析３实际操作方法（１）构造假设。零假设：Ｈ０Ａ：μｉ·＝μ，即ａｉ＝０，ｉ＝１，２，…，ｋ；Ｈ０Ｂ：μ·ｊ＝μ，即ｂｊ＝０，ｊ＝１，２，…，ｒ。备择假设：Ｈ１Ａ：μ１·，μ２·，…，μｋ·不完全相等或ａｉ不完全等于０；Ｈ１Ｂ：μ·１，μ·２，…，μ·ｒ不完全相等或ｂｊ不完全等于０。（２）离差平方和的分解。进行双因素方差分析，需要将总离差平方和ＳＴ分解成三个组成部分，即行间变差ＳＡ，列间变差ＳＢ和总误差平方和ＳＥ，以分别反映因素Ａ的组间差异、因素Ｂ的组间差异和随机误差的离散状况。它们可以分别按如下方式定义。上一页下一页返回二、双因素方差分析（３）Ｆ统计量的构建。由此可以编制出双因素方差分析表，如表１１－３所示。（４）判断决策。对于给定的α，通过ＳＰＳＳ软件，我们可以计算出ｆα［（ｋ－１），（ｋ－１）（ｒ－１）］的具体值，如果ｆＡ＞ｆα［（ｋ－１），（ｋ－１）（ｒ－１）］，那么拒绝Ｈ０Ａ，即Ａ因素中至少有两个水平之间的平均效果差异较大。反之，则接受Ｈ０Ａ，即Ａ因素中不同水平之间的平均效果没有显著差异。对Ｈ０Ｂ假设的判断过程与此类似，这里不再重述。上一页下一页返回二、双因素方差分析（二）有重复实验的双因素方差分析１数据结构关系设有两个因素Ａ和Ｂ，因素Ａ为培训方法，共有ｋ个水平，因素Ｂ为学员基本素质，共有ｒ个水平，同样基本素质的学员放在一组，即共有ｒ组学员。为了便于比较，每个组安排ｋ×ｔ个具有同样基本素质的学员，也就是说每种培训方法在每个组内，对ｔ个学员进行试验。这样我们就得到了ｋ×ｒ×ｔ个不同的培训效果值，其数据结构关系如表１１－５所示。怎样判断不同的培训方法其效果是否具有显著差异？不同基本素质对培训效果是否有显著影响？上一页下一页返回二、双因素方差分析２理论假设与分析假设因素Ａｉ和因素Ｂｊ共同作用下的总体服从Ｎ（μｉｊ，σ２）。这样相当于假设ｋ×ｒ个总体分布的方差都相同，但均值可能不同。设：上一页下一页返回二、双因素方差分析３实际操作方法（１）构造假设。零假设：备择假设：上一页下一页返回二、双因素方差分析（２）离差平方和的分解。按下式计算与ＳＴ、ＳＡ、ＳＢ、ＳＡ×Ｂ、ＳＥ相对应的ｓＴ、ｓＡ、ｓＢ、ｓＡ×Ｂ、ｓＥ。定义统计量。总变差：行间变差：列间变差：上一页下一页返回二、双因素方差分析交叉变差：总误差平方和：上一页返回三、ＳＰＳＳ在因素分析中的应用（一）单因素方差分析例１１－２：已知某旅游企业３个部门员工的工资数据（例１１－２数据），应用ＳＰＳＳ软件比较３个部门员工工资有无显著差异。读入数据后：（１）单击Ａｎａｌｙｚｅ®ＣｏｍｐａｒｅＭｅａｎｓ®Ｏｎｅ－ＷａｙＡＮＯＶＡ。系统弹出如图１１－２所示的单因素方差分析主对话框。（２）选择左框中的“当前工资”变量，用向右箭头送入右边因变量列表（ＤｅｐｅｎｄｅｎｔＬｉｓｔ）框中；选中左框中的“工作部门”变量，用向右箭头送入右边因素变量列表（Ｆａｃｔｏｒ）框中。下一页返回三、ＳＰＳＳ在因素分析中的应用（３）单击“Ｏｐｔｉｏｎｓ”，系统弹出一个对话框，如图１１－３所示。在该对话框中，“Ｓｔａ⁃ｔｉｓｔｉｃｓ框”，要求选择需要输出的统计量。（４）按图１１－３进行选择后，单击“Ｃｏｎｔｉｎｕｅ”按钮，系统回到单因素方差分析主对话框。（５）单击“ＰｏｓｔＨｏｃ”按钮，机器弹出各组均值的两两比较“Ｏｎｅ－ＷａｙＡＮＯＶＡ：ＰｏｓｔＨｏｃＭｕｌｔｉｐｌｅＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ”对话框，如图１１－４所示。（６）按图１１－４进行选择后，单击“Ｃｏｎｔｉｎｕｅ”按钮，系统回到单因素分析主对话框。（７）单击“Ｃｏｎｔｒａｓｔｓ”按键，系统弹出单因素方差分析对照分析对话框，如图１１－５所示。上一页下一页返回三、ＳＰＳＳ在因素分析中的应用（８）单击“ＯＫ”，输出分析结果。如表１１－６、表１１－7、表１１－8

、表１１－9

、表１１－１０所示。（二）无重复双因素方差分析例１１－３：某旅游企业用３种不同包装和３种不同营销策略对旅游商品进行试销，得到不同包装和营销策略下的销量数据（例１１－３数据）。应用ＳＰＳＳ软件，检验不同的包装和营销策略对商品销量的影响是否具有显著差异。读入数据后：（１）单击Ａｎａｌｙｚｅ®ＧｅｎｅｒａｌＬｉｎｅａｒＭｏｄｅｌ®Ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ，系统弹出如图１１－６所示的双因素方差分析主对话框。上一页下一页返回三、ＳＰＳＳ在因素分析中的应用（２）从对话框的左框中，选择销售数量因素变量，用箭头送入右边的因变量（ＤｅｐｅｎｄｅｎｔＶａｒｉａｂｌｅ）框中。（３）从对话框左框中，选择“包装类型”和“营销方案”因素变量，用箭头送入右边的固定因素（ＦｉｘｅｄＦａｃｔｏｒ（ｓ））框中。（４）由于这是无重复的双因素方差分析实验，不要作交叉效应分析。因此，单击对话框右边的“Ｍｏｄｅｌ”按钮，系统弹出如图１１－７所示的“Ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ：Ｍｏｄｅｌ”对话框，供用户指定模型。单击框中间向下的箭头，出现一个下拉菜单，如图１１－８所示，可以选择要分析的效应。“Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ”表示要做交互效应分析。“ＭａｉｎＥｆｆｅｃｔｓ”表示要做主效应分析。这里选择“ＭａｉｎＥｆｆｅｃｔｓ”项。其他各项的含义这里暂略。上一页下一页返回三、ＳＰＳＳ在因素分析中的应用（５）单击“Ｃｏｎｔｉｎｕｅ”按钮，回到双因素方差分析主对话框。（６）单击“ＯＫ”按钮，系统输出结果如表１１－１１和表１１－１２所示。（三）重复双因素方差分析例１１－４：某旅游商品企业准备上市一种新花露水，需要进行市场调研。除了气味外，经验表明花露水的包装和广告方式对销量均有影响。现用３种不同的广告方式和３种不同的包装，对花露水进行试销。已知不同的广告方式和包装方式组合下，花露水的销量数据（例１１－４数据）。应用ＳＰＳＳ检验不同包装方式和广告方式对花露水的销量有无显著差异。上一页下一页返回三、ＳＰＳＳ在因素分析中的应用读入数据后：（１）单击Ａｎａｌｙｚｅ®ＧｅｎｅｒａｌＬｉｎｅａｒＭｏｄｅｌ®Ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ，系统弹出如图１１－６所示的双因素方差分析主对话框。（２）从左边列表框中，选择销售数量变量，用箭头送入右边的因变量（ＤｅｐｅｎｄｅｎｔＶａｒｉａｂｌｅ）框中。（３）从左边列表框中，选择包装方式和广告方式变量，用箭头送入右边的固定因素（ＦｉｘｅｄＦａｃｔｏｒ（ｓ））框中。（４）由于本例是有重复实验的双因素方差分析，因此，要分析交互效应，默认系统对“Ｍｏｄｅｌ”的选择。（５）单击“ＯＫ”，系统输出如表１１－１３和表１１－１４所示的分析结果。上一页返回表１１－２无重复双因素分析的数据结构关系返回表１１－３无重复实验的双因素方差分析表返回表１１－５重复双因素分析的数据结构关系返回图１１－２单因素方差分析主对话框返回图１１－３单因素方差分析选项对话框返回图１１－４单因素方差分析的多重比较对话框返