11.4.2 平面与平面垂直 课时1 教学课件 2025-2026学年人教B版2019高中数学必修第四册

11.4.2

平面与平面垂直

课时11.理解二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小；2.理解两个平面互相垂直的概念；3.掌握平面与平面垂直的判定定理.如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，两面的“夹角”逐渐变化.应该怎样刻画面面“夹角”呢？1.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线垂直这种特殊情况．2.在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线垂直．所以直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础；类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．我们怎么研究平面与平面之间夹角呢？二面角的定义：

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.αBAβ棱面如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？平面角二面角转化（降维）αlβABO如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.

如图，二面角α-l-β的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？

由空间等角定理（如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补）知∠AOB=∠A′O′B′.无关.总结：二面角的大小与垂足在棱上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的.例1：如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求二面角D′-AB-D的大小.解析：连接D'A和C'B，由已知AB⊥ADD'A'，所以AD'⊥AB，AD⊥AB.因此∠D'AD即为二面角D'-AB-D的平面角，ABA'DCB'C'D'

如图所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙.说说为什么此时墙面就一定会与水平面垂直？如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.试着从数学的角度，分析这一现象的原因.我们由以上探究，可以归纳出平面与平面垂直的判定定理：

AOmαlβ符号表示：l⊂α，l⊥β

⇒α⊥β.证明：如图，设α∩β=m，l

∩β=O.过O在平面β内作与m垂直的直线OA，则有l⊥OA；由此可知α与β所成角的大小为90°，因此α⊥β.求证：l⊂α，l⊥β

，则α⊥β.也就是说如果

l⊂α，l⊥β

，是α⊥β的一个充分条件.如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直例2：如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，如图所示，以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图（2）.求证：（1）面ABD⊥面BDC，面ACD⊥面BDC；（2）∠BAC=60°.解析：（1）∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC．又AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC，AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDC.

体现了立体几何研究中“降维”的思想面面垂直线面垂直线线垂直转化转化

利用判定定理证明平面与平面垂直，只需在一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，进而只需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直即可．1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (

)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析：因为m∥n,n⊥β,则m⊥β,又m⊂α,故α⊥β,所以C正确.C2.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.证明:平面PAB⊥平面PAC.解析：由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.从而PB⊥PA,