品质统计原理机率导论

品质统计原理机率导论

第1章^

第2章统言十资料的整理典描述

第3章械率^

第4章常用的微率分佛典统言十分伟

第5章描檬方法典描檄分伟

第6章统言十估言十

第7章统言十检定

第8章夔昇数分析

第9章相^分析典逗端模式

第10章辗母数统考十检定

第11章别资料分析一列聊表舆卡方检定

第三章檄率^

3.1集合^

◎集合^(SetTheoi'y”搬率^(Probability)今群醴分佛

◎集合是元素的聚合，而元素是集合的罩位。

A={1,2,3}1,2,3卷A集合的里位IGA

辗元素的集合存在，耦之悬空集合，11做{}或者0

例集合B={X|X2+6X+5=0}求B={-1,・5}

◎元素与集合的II保

A={1,2,3}IGA；4任A

◎集合与集合的II保

(1)子集AuB(A含於B或者B包含A)即A中任一

元素均在B集合中可找到

A={1,2,3}B={1,2,3,4}AuB

(2)等集II保：A=B(A等於B)即集合A舆集合B中的元

素完全相同

A={0,1}B={X|X(X-1)=O}A=B

(3)封等A~B(A封等於B)即集合A中每一元素可

典集合B中的每一元素一封一保

(1)聊集建算：AOB

(2)交集建算：AnB

(4)结合律：AcBcC=(AcB)cC=Ac(BcC)

(5)交换律：AcB=BcA

(6)分配律：Ac(BuC)=(AcB)u(AcC)

(7)绘集：鼓Q悬全集，M'jfi-A耦之悬A之馀集，

作N，C・A=A，

若ALA二CA9nA=0(A)=A

另AB二AcB'

(8)分割：段Q悬全集，集合A、B均含於C，常满足

(a)AoB=Q(b)AnB=0B^，A、B卷Q上的分

割。

(9)馀集律：(AuB)=A，cB'(AcB)，=ALB，

<?•■:，■?，<?*<t>■£>a2>

*Jw*T*rT*rT*»T»»T*riwrTwrT*rT»rTwri%rT*

符虢貌明：

X：隆概燮数，P：檄率，p：不合格率

p(x)：檄率密度函数(蹄散型)

f(X):械率密度函数(速^型)

F(x)：累稹槛率分配函数(速^型、雌散型)

E[X]=ii(期望值)，V[X]=er?侬巽教)

g:母醴平均值，Q2：母醴燮昊教

X"蒙本平均值，S2：檬本夔巽教

•9^—U■，・

»T*»T**7wrTw<7w<J.<J.»J.rj.ej.ej.rTwrTwrTwrj.

3.2檄率的概念

◎搬率是现代统言十的基磁。檄率是悬了衡量不硅定

结果，而建情出来的一槿测度。其中基本的概念悬：

※械率空^(ProbabilitySpace):系统中，集合所有可能

出现的事件而横成的一他抽象空^，通常以C表示。有

畤■亦耦樵本空^(SampleSpace)或者结果空^

(OutcomeSpace)°

※事件(Events)：系、统中所要言寸^合理且可能彝生的现

象，是檄率空^的基本元素。

※随横融t(RandomExperiment):可能出现的结果有很

多置，重般JT瞬畤辗法明碓颈知得到什麽结果的^^

方式。

※随械堤数(RandomVariables)：定羲在檄率空的一假I

量测檄率的工具，通常以一他一封多的不硅定函数表

示。它封〃瞬的每一槿结果指定一敦值典之封鹰。或

者聘『文字敕述』樽换成『数字敕述』结果以

」值表示，省略一一列出可能^果的烦雄)。常以

X表示之，且其结果常符合某一特定分伟。

函数保斜封定羲域典封鹰域(值域)之^一封一或者多封

一的^保，即输入某一数值就封鹰输出另一数值，遇程典结

果均是硅定的(Deterministic)。

但富输人一事件郤可能出现好黑槿其他情况畤，如揶一

骰子封鹰的是可能出琨六槿情况，此即随樵燮数。蔺言之，

随械燮数是一槿一封多的莪函数』。^数值x(事件)之械

率P(X=x)决定檄率分傣函数p(x)<>

靶例、某品牌相同原子睾n支，内有不合格品，某同^任意

it1支，就嘉出棣本空（合格品=6，不合格品=NG）

Q={G，NG}=21

若以不格合品数目表示（随横建数之概念，斡换成数字）

X的可能值有0，1；Q={X|0T}；如{x=l}={NG}

（X：随械燮数表逗得不合格品敦；x：事件）

靶例、承上题，某同季任意逗2支，热:瘾出檄本空冏？

C={（G，G），（G，NG），（NG，G），（NG，NG）}=22

若以不格合品教目表示（随檄燮数之概念，穗换成数字）

X的可能值有0，1，2；X={X|0T，2}

如{x=l}={（G，NG），（NG，G）}

靶例、承上题，某同^任意逗3支，就嘉出檬本空

Q={（G，G，G），（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，

G，G），（G，NG，NG），（NG，G，NG），（NG，NG，

G），（NG，NG，NG）}=23

若以不格合品数目表示（随械燮数之概念，斡换成数字）

X的可能值有0，1，2，3；X={X|0，1，2，3}

如{x=l}={（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）}

瞬真理，真理只有一位1。然随械1T瞬中，其羟生之

结果是不硅定的(Uncertainty)。搬率就是衡量此不碓定结果，

而建情出来的一槿测度。

如何决定微率值一决定搬率值的方法

(1)理^^率=古典檄率=械曾均等械率

※棣本空冏0内有n(QMa元素，若事件A悬。之部份集

合，含n(AM0元素，刖事件A的檄率悬：

P(A)=n(A)/n(Q)

靶例、承上题，某同季任意逗1支，悬不合格品之檄率？

n(Q)=21事件={NG}n(A)=lP(A)=1/2

若以不格合品数目表示(随檄燮数之概念，斡换成数字)

X的可能值有0，1；Q={X|O，1}；^{x=l}={NG}

P(A)=n(A)/n(fi)P(x=l)=P({NG})=l/2

靶例、承上题，某同^任意逗2支，有1不合格品之檄率？

n(Q)=22事件={(G，NG)，(NG，G)}n(A)=2

P（A）=22=1/2

若以不格合品数目表示（随横燮数之概念，斡换成数字）

X的可能值有0，1，2；X=｛X|0，1，2｝

｛x=l｝=｛（G，NG），（NG，G）｝；

P（x=l）=P（｛（G,NG），（NG，G）｝）=2/4=1/2

靶例、承上题，某同季任意逗3支，有1不合格品之械率？

n（Q）=23

事件=｛（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）｝

n（A）=3P（A）=3/23=3/8

若以不格合品数目表示（随械燮数之概念，斡换成数字）

X的可能值有0，1，2，3；X=｛X|0，1，2，3｝

WJ｛x=l｝=｛（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）｝

P（x=l）=P（｛（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G.G）｝）=3/8

言十算理^^率的方法亦耦古典方法，此法依靠抽象的推理

典暹辑分析，而不必谨行^除的就瞬。

⑵4里瞬械率=客^檄率

※一随檄^^重^^行n次，其中A事件共彝生fA次，

M'JA事件凌生之搬率可视悬彝生次数典次敦比：

P(A)=fA/n

富^^的次数愈多，事件的相封次数比符愈超稳定；

即P(A)=limn—oofx/n

(3)主^^定械率

※一事件彝生之檄率，常由人优封此事的^^，或者心

理的感觉:而决定。此械率敕有^。

檄率公151

在檄本空中，事件A彝生的檄率言己做P(A)，械率必

须符合下列公^t：

(1)p(n)=i，P(0)=O

⑵P(A)>0

(3)P(A,)=1-P(A)，其中A9=Q-A

(4)若BwQ，P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AnB)

檄本空^言十算基本法即

法即J一（加法原理）：完成一件事有二槿方式，第一槿

方式有m槿方法，第二槿方式有m程方法，见］完成

此事件共有m+m槿方法。

法即J二（乘法原理）：完成一件事有k他睹段，第一隋

段有n■方法，第〒增段有H2置衣法，第k增段有

□k槿方法，典［完产牛共nixmxj.xiik槿方法。

法即J三：在n相1一岁薄物中，任*r倜予以^合，

其方法有C(n,r)=n!!(n-r)!r!。

靶例、甲、乙二人擀骰子，的定甲揶出黠数是1,2畤，甲可

得2元；黠数是3,4畤可得4元；黠敷是5畤可得10元；

.黠数是6畤，剧］甲需付给乙20元。令X表揶骰子彳复甲所

得的^，求X的微率分伟？

。二{1,2,3,4,5,6}；n(Q)=6

X的可能值有2，4，10，・20；X={X|2,4,10,-20}

P(x=2)=P({1,2})=n(A)/n(Q)=2/6

P(x=4)=P({3,4})=n(A)/n(Q)=2/6

P(x=10)=P({5})=n(A)/n(fi)=1/6

^例、甲揶一枚铜板2次，令X表出现正面的次数，求X

的搬率分伟？

。二｛正正，正反，反正,反反｝；n(Q)=4

X的可能值有0,1,2；X=｛X|0,1,2)

P(x=0)=P(｛反反｝)=n(A)/n(Q)=1/4

P(x=l)=P(｛正反，反正｝)=n(A)/n(Q)=2/4

P(x=2)=P(｛正正｝)=n(A)/n(Q)=1/4

X012

P（x）1/42/41/4

P（x=0）p（x=l）

P（x）

p（x=2）

x=()x=lx=2

上述二^例均熟蹄散型资料保屏雌散型随檄燮数，即^

酷结果其封鹰之数值只有可数的黑槿可能值，且可一一列出

此槿情况，以檄率P(X=x)决定檄率分配函数p(x)(蹄散型)。

反之，速^型资料保属速^型随檄燮数，即^^结果其封鹰

之数值不能列出各槿可能值，刖以檄率P(XVa)决定搬率分配

函数f(x)(速^型)。

3.3统言十猫立典脩件微率

定羲•统言十猫立(StatisticallyIndependent)

在檄本空中有雨事件A典B，若A彝生的微率不

受B影警，即P(AcB)=P(A)P(B)，划耦事件A舆B熟统

言十褐立。

靶例：(褐立瓢^琳i)

爱足球不爱足球合音十

男648252900

女7228100

P（男尸900/1000=0.9；P（女）=100/1000=0.1=1-0.9

P（爱足球）=（648+72）/1000=0.72

P（不爱足球）=（252+28）/1000=0.28=1-0.72

P（男c爱足球尸648/1000=0.648

P（男c不爱足球片252/1000=0.252

P（女c爱足球尸72/1000=0.072

P（女c不爱足球尸28/1000=0.028由於

P（男c爱足球）=0.648=P（男）P（爱足球）

P（男c不爱足球）=0.252=P（男）P（不爱足球）

P（女c爱足球）=0.072=P（女）P竣足球）

P（女c不爱足球）=0.028=P（女）P（不爱足球）

定羲•互斥事件（DisjointEvents）

在才蒙本空中有雨事件A典B，若其集合辗共同元素，

即AnB=0，刖耦事件A典B互斥。P（AcB）=0。

定羲：修件槌率

在樵本空中有雨事件A舆B。在事件A已彝生的脩件

下，事件B彝生的横;率耦卷脩件械率，以P（B|A）表示，剧

P（B|A尸P（BcA）/P（A）。

轮例、揶一枚纲板2次，求2次均出现相同结果下，至少出

琪一次正面的檄率？

。=｛正正，正反，反正,反反｝；n（Q）=4

A：2次均出现相同结果=｛正正，反反｝；n（A）=2

P(B|A)=P(BcA)/P(A)=(l/4)/(l/2)=1/2

靶例、甲到玉市瞒玉，已知某玉店的10瑰玉中有4现卷府

品。甲欲店2瑰玉，即2瑰均卷真品的檄率？

ttA卷第一境玉卷真品的事件，B卷第二瑰玉卷真品的

事件，即】

P(BnA)=P(A)P(B|A)=(6/10)*(5/9)=1/3

定理：M氏定理

nBl,B2,…,Bn卷互斥事件，且事件A卷含有各槿事件Bi

某槿共同特性之任意事件。在事件A已彝生情况下，见［事件

Bk彝生之微率悬

n

P(Bk|A)=P(Bk)P(A|Bk)/Ei=iP(Bi)P(A|Bi)

靶例、甲裂造隼鹿1有二脩生Bi,B2，分别各估60%与

40%的生羟量。已知生^^Bi有2%的不合格率，生羟

<B2有3%的不合格率，兹某人瞒^^^席1乙部卓有瑕

疵，刖此事悬生之羟品的械率？

P(Bi)=0.6，P(A|Bi)=0.02；P(B2)=0.4，P(A|B2)=0.03

P(Bi)=P(Bi)P(A|Bi)/[P(Bi)P(A|BI)+P(B2)P(A|B2)]

=(0.6)(0.02)/[(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)]=0.5

3.4檄率分佛函数及其特徵值

搬率分佛函数(ProbabilityDistributionFunction)可熟悉

事件在概率空^中，其密度分伟的情况，或者才蒙本在母髓中

出现的频率的情形。檄率分佛函教通常指累稹檄率分怖函数

(CDF,CumulativeProbabilityDistribution)以F(x)表示之，

或者横;率密度函数(PDF,ProbabilityDensityFunction)分另4

以p(x)一蹄散型典f(x)…速领型表示之。

搬率分伟之性

X蹄散型：

(l)0<p(Xi)<1所有Xi值

(2)P(X=Xi)=p(x0所有Xi值

(3)Sp(Xi)=l所有Xi值

XilX型：

⑴0<f(x)

(2)P(a<x<b)=f\f(x)dx

(3)心心f(x)dx=1

一催1随搬燮数X之累稹械率分配函数F(x)定羲悬：

F(x)=P(X<x)

F(x)表示随檄燮数X之值小於或者等於x的微率。xi<X

4X2畤P(X1<X<X2)=F(X2)-F(xi)

F(X)具有下列性^

(a)F(x)是遍增函数，即若a<b，刖F(a)<F(b)

(b)limx^.ooF(x)=0,limx^ooF(x)=l

(c)F(x)是右速^函数

掷1骰子2次，令随檄燮数X悬2次黠数之与

X23456789101112

P(x)

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361

F(x)

P(5<X<9)=F(9)-F(5)=30/36-10/36=20/36

母醴分佛的特徵，由其期望值典夔巽数示之。一随械燮

数的期望值E[X]，可用以表示檄率分伟f(x)之集中超势，有

畤E[X]亦耦之悬母艘平均数，以H表示。而随械夔教的燮昊

教，^随檄夔数的所有可能彝生结果舆期望值之雕散

程度，以dx或者Var[X]表示。檄率分伟即表示母醴分佛的

情况，因此母醴分佛的二重要特徵值：期望值舆燮昊救，自

然亦可由檄率分佛函数来求得。

平均值、燮昊教典期望值

一他檄率分伟的平均值是其集中超势。其定莪悬

p,=J00-©xf(x)dx速^型

四二£xp(x)(所有x值)蹄散型

亦可聘平均值表示卷X械燮数X的期望值(Expected

Value)o其定莪卷

g=E[X]=卜&xf(x)dx速^型

g=E[X]=Exp(x)(所有x值)蹄散型

其中E代表悬期望值建算子(ExpectedValueOperator)°

一倜械率分配的夔昊敦是其雌散翅势。其定莪悬

。2=造缱型

Q2=z(X-|1)2P(X)(所有x值)蹄散型

亦可符燮昊敦以期望值表示。其定莪悬

a2=E[(x-n)2]

另夔巽教的使用亦可定羲卷燮昊教it算子(Variance

Operator)Var表示

Var[X]=E[(x-g)2]=a2

3.5聊合檄率密度舆遏除微;率密度(JointProbabilityDensity

andMarginalProbabilityDensity)

在一位I随檄^^中，常有雨假I或者雨40以上的随檄燮数

畤，考^其聊合燃率密度、遏除檄率密度、典共燮昊其，以

虑理馨合檄率冏堰。丽假1随檄燮数X,Y，其同畤彝生的事件

梭率以函敦f(x,y)表示，耦f(x,y)卷X舆Y之耐合概率密度

函教。倘随檄夔数X,Y卷^断型熊，其遏除概率密度函教悬：

X的遏除微率密度函数f=员f(x,y)Y

的遏除檄率密度函数f=Lf(x,y)

X舆丫悬之馨合械率函数典遗除檄率函教

y«yiy3

X1

f(&,yOf(Xi,y2)f(Xi,y3)fx(Xl)

fx(x)

x2f(x“yi)*y2)f(x2,y3)2

x3f(x”y.)f(x”y2)f(x"ya)fx(X3)

)，(

fyfy(yJf5(y2)fy(y3)Sifx(xi=iSifyyO=i

靶例：

随搬燮数X舆Y之馨合檄率函数f(x,y)

X102030

10.120.080.2

20.180.120.3

就求随搬燮数X舆Y的遏除效率分配，it横瞬随微燮数

X与Y是否褐立。

1020>£(x)

10.120.080.20.4

20.180.120.30.6

f>(y)0.30.20.51

、

7102030f<x)

1(0.4)(0.3)=0.12(0.4)(0.2)=0.08(0.4)(0.5)=0.20.4

2(0.6)(0.3)=0.18(0.6)(0.2)=0.12(0.6)(0.5)=0・30.6

t(y)0.30.20.51

由上表知,封於任何X典y，f(x,y)=fx(x)fy(y)皆成立,

故此二随檄燮数是相互褐立。

燮昊救"是用以衡量覃假|随檄燮数的檄本相封期望值雄

散情况。而共建昊敦6丫(Covariance测是衡量雨佃陲榛燮数

X舆Y罩褐一方夔勤畤，JH■另一燮数羟生的相^影^之状况。

有^随搬燮数X之平均值日舆燮昊数。2舆常数「刖

(1)E[c]=c；(2)E[X]=g；(3)E[cX]=cE[X]=eg

(5)Var[c]=0；(5)Var[X]=ct2=E[X2]-.;

(6)Var[cX+b]=c2c2；

(7)E[XI+X2]=E[XI]+E[X2]=gi+中

(8)Var[Xi+X2]=Var[Xi]+Var[X2]+2Cov[XbX2]

(9)Cov[aXi+b,cX2+d]=acCov[XiX2]

(10)Cov[XbX2]=E[(Xi-ni)(X2-g2)]=E[XiX2]-E[Xi]E[X2]

悬随横堤数XiMX2之共建昊数(Covariance)。如X1舆X2

是猬立的，即】Cov[XbX2]=0o

(11)Var[Xi-X2]=Var[Xi]-Var[X2]+2Cov[XbX2]

倘X1舆X2是褐立的，剧

22

(12)Var[Xi-X2]=Var[Xi]+Var[X2]=QI+Q2

(13)E[XIX2]=E[Xi]E[X2]=gig2

通常而言，X1舆X2是否褐立

(14)E[Xi/X2]*E[Xi]/E[X2]

另共燮昊敦易受罩位的改燮，形成判断上的困援，因而

彝展出相^^数p(CorrelationCoefficient)，

p=QXY/GXQY=Cov(X,Y)/QXQY

因此同一^^不^取用何槿罩位，相H保数p值不含改

燮，而且“WpWl。倘p=0，刖耦随檄燮敦X典Y，

反之，耦随搬燮数X舆Y相飓。

靶例：每天大型生日蛋糕^售量(X)

^售量012345

横率0.10.10.2030.20・1

E[X]00.10.40.90.80.52.7

E[X2]00.10.82.73.22.59.3

Var[X]9.3-2.7A2=2.01

靶例：投资甯子股股票的投资辍酬率(X)

可能投资辍酬率-10-6515

微率0.10.30.40.2

E[X]-1-1.8232.2

E[2X+3]2E[X]+3=2*2.2+3=7.4

E[X2]1010.8104575.8

Var[2X+3]4(75.8-2.2A2)=283.84

靶例：随械抽出本系10位^生成^

Total

晕生12345678910

统计(X)68635440687572457250607

品管(Y)72615847707370517280654

求(a)E[X]=60.7，E[Y]=65.4E[XY]=4050.5

(b)ax2=140.6,QY2=102.0,GXQY=Cov(X,Y)=E[XY]-

E[X]E[Y]=80.72,Cov(2X+3,4Y+5)=8Cov[X,Y]=645.76

(c)p=Cov(X,Y)/QXQY={E[XY]»E[X]E[Y]}/QXQY=0.674

3.6梭率不等式

定理：焉可夫不等式(MarkovInequality)

若X悬非负的随搬燮数，刖封任意a>0

P(X>a)<E[X]/a

定理：比雪夫不等式(ChebyshevInequality)

若随极燮数X具有期望值g典燮昊数Q2，即封任意

k>0

P(|X-p|>k)<a2/k2

P(|X-g|<k)>1-a2/k2

平均数舆襟津差的^^

若平均数=5、襟型差=0.5(常憩分配)

(1)(4.5,5.5词之微率=68.27%

(2)(4.0,6.0)之檄率=95.45%

(3)(3.5,6.5)之;^率=99.73%

若平均数=5、襟型差=0.5(任何分配…^比雪夫)

(1)(4・5,5.5)^之檄率>0

P(|X-p|<k)>1-Q2/k2

P(4.5<X<5.5)=P(|X-5|<0.5)>1-a2/k2=0

(2)(4.0,6.0)之械率=95.45%

P(|X-pi|<k)>l-a2/k2

P(4<X<6)=P(|X-5|<1)>1-a2/k2=1-0.25/1=0.75

(3)(3.5,6.5)之概率=99.73%

P(|X-n|<k)>l-o2/k2

P(3.5<X<6.5)=P(|X-5|<1.5)>1-a2/k2

=l-0.25/1.5A2=8/9=0.89

^例、随搬夔数X表示某瞽院每日接生新生完数，其期望值

10o(a)阈鹿日接生超谩15他新生完的械率？(b).若X

的燮昊戴悬4，常日接生新生完数6至14伐1的

搬率？

SOL：(a)接生超谩15他新生完的檄率，依焉可夫不等式

P(X>a)<E[X]/a，可知，P(X>15)<10/15=0.67

(b)接生新生完数6至14他的横率，比雪夫不等式

P(|X・川>k)<Q2/k29P(|X-g|<k)<1-Q2/k2

P(6<X<14)=P(|X-10|<4)=1-4/16=0.75

曾题一

1.假如事件A，B微立，刖(A)P(AUB)=1(B)P(AnB)=P(A)P(B)(C)A，B必定互斥。

2.假如事件A，B互斥，M'J(A)P(APB)=1(B)P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)(C)P(AU

B)=P(A)+P(B)o

3.假设P(A)=l/2，P(B)=l/4且A典B卷互斥事件则P(AUB)等於(A)1/8(B)3/4(C)2/5(D)

0。

4.假设口八)=1/4/(8)=1/5且人典！5卷当立事件，则P(AUB)等於(A)1/20(B)9/20(C)2/5

(D)0。

5.假如A、B卷狗立事件A，B'亦悬微立事件。

6.三他裂造汽卓煞事系统零件的工人A，B，C，在裂造调程中，他们出籍之概率分别是0.02，

0.01与0.06。现有一批已完成之零件，其中45%是A工人裂造的，35%是B裂造的，

20%是C裂造的。剧整批零件中，不良品所估的比率是多少？

(0.45*0.02+0.35*0.01+0.2*0.06)=0.0245

7.某甯子公司向台南、新竹供廊商以1：3的比例瞒入IC半等醴零件。台南供廊商的羟品

不良率6%，新竹供鹰商的羟品不良率4%。若台独霜子公司随微横瞬一零件，亵现竟

是不良品，^^此零件来自台南供鹰商之概率悬多少？

(0.06*0.25)/(0.06*0.25+0.04*0.75)=1/3

8.假殁履横堤敷X之概率密度函数如下：

|f/6»x=l

f(x)=X3/6，x=2，弑求(A)P(x^2)=P(x=l)+P(x=2)=l/6+3/6=2/3

h/6»x=3

(B)E[X]=1*1/6+2*3/6+3*2/6=13/6

(C)Var[X]=E[XA2]4-(E[X])A2=31/6-(13/6)A2=17/36。

(EfXA21=lA2*l/6+2A2*3/6+3A2*2/6=31/6)<>

9.假鼓随横夔数X之檄率密度函数如下：

f(x)=fix，0<x<l

Q其他弑求

o32

(A)P(X<0.3)=Jo2xdx=0.9，(B)E[X1=J,02xdx=2/3

(C)VarlX]=EIX2]-(EIX])2=1/18(E[X2J=J'o2x3dx=1/2)。

10.鼓随横堤数X舆Y的聊合檄率分配f(x,y)如下表：

X102030

10.080.080.04

20.120.120.06

30.200.200.10

弑求随佛建敷x舆丫的透除效率分配，it横瞬随槐建数x与丫是否狠立。

fx(x)=0.2,x=l；fx(x)=0.3,x=2；fx(x)=0.5,x=3»

Q(y)=0.4,y=10；fy(y)=0.4,y=20；f,(y)=0.2,y=30

fx(l)fy(l0)=0.2*0.4=f(l,10),fx(1)fy(20)=0.2*0.4=f(1,20),....

fx(x)fy(y)=f(x,y)SoXandYareIndependent.

11.随微建数X与丫有聊合械率函数悬：

f(x,y)=J/3»(x,y)=(0,1),(1,1),(1,0)

1其他葩圉

弑求K横堤数X与丫的遏除概率密度，共建昊ttCov[X,Y]，与相ftfl保数pxY。

fx(x)=l/3,x=0；fx(x)=2/3,x=l»

fy(y)=i/3,y=o；fy(y)=2/3,y=i;

Cov[Xl=Cov[Y]=2/9

Cov[X,Y]=E[X]-E[X]E[Y]=-l/9

PXY=-1/2

12.台南躲地显空氟污染器数每日平均75，精■根獴(A),易可夫不等式求取空^污染指数大於

100之檄率上限。

P(X2a)4E[X]/a，P(XN100)475/100=0.75

(B)若已知檬型差卷5，根摭■比雪夫不等式，求空靠污染指教大於50，小於1。0之佛

率上限。

P(|X•川2k)4o2/k2，P(|X-^|<k)>l-a2/k2，

P(50<X<100)=P(|X-75|<25)=1-52/252=0.8

辔题二

1.下列何稚抽棣方法，抽漾作舄估斜群醴^差舄最小(1)罩触随梭抽椽法(2)系统抽棣去(3)

分眉随檄抽棣法⑷集艘抽栋法(5)视情形。

2.肖L数表0392182746579916965630，若在50件(褊虢00-49)要抽

5件畤，则抽株第5件之编虢悬(16)。

3.造货50件，系靛抽桃，要抽5件，若第一件悬编虢3,即第四件之编琥卷(33)

4.

(1)一班季生50人之重量(群醴/栋本)

(2)一桶溶液取一杯量来分析，一杯量悬(群馥7栋本)

(3)每批中取30他量测尺寸(群髓/椽本)

(4)100箱(常抽椽敷悬5)骸箱可视悬(熊限群艘/有限群髓)

⑸30箱(常抽棣数悬5暗成箱可视卷(燕限群髓/有限群髓)

5.肖L敦表0392182746579916965630，若在1000件(褊琥000-999)

要抽五件畤，刖抽棣第3件之编虢悬(274)

6.某批取12佃量测尺寸，其数摭之特性必有(中位初平均切冢如。

7.常熊分配平均值3，襟率差0.2，卯|2.6〜3.4之次教初估全部次物95.45%)。

8.与中心值瓢^^鼾量(糕举差/平方与/R值/平均偏差/燮昊戴)・

9.窝出1至30中可被5整除之集合。{5,10,15,20,25,30)

10.集合B={X|XA2+6X+5=0}求8={-1,-5}

ll.A={1»3}B=(3»5>6}C={1>3，5»8}

AUB={1,3,5,6}AHB={3}A-B={1}

12.栋本空^JQ={1，2，3，4}A={1»2}B={3}

A={3,4}A-B={1,2},(AUB)'={1,2,3}'={4},BHA'={3}Cl{3,4}={3}

13.某公司有五架同型甯视横;，内有二架故障，王小姐任意挑逗二架，弑离出椽本空^0:{G

GGNGNGGNGNG)

14.一批裂品有4佃良品，3佃疵品，自其中抽取二佃畤，其棣本空^以不良品数目表示畤，

其椽本空卜焉{GGGNGNGG,NGNG}={X|0,1,2}。

15.一纲整，其出现正反面之檄曾相等，揶一铜第二次，椽本空^以正面出现次数表示，椽

本空^^{正正，正反，反正，反反}二{X|0,l,2}。

16.某裂程要操纵温度，原料及水份，今考虑有4置水率的温度，5置原料及2程不一致水

份，刖裂造方法共有(取5*2=40)槿方法。

17.7题是非题^共有矮楂答法。

18.求C(20，4)=4845；C(100，3)=161700；C(100，97)=161700

19.炎.10件裂品送瞬批中，任取3件加以枷^，逗取的方法有多少置？C(10,3)=120

20.五男三女逗4人^成姿曾，可能^成若干委(2男2女)。C(5,2)*C(3,2)=30

21.摆克牌52张中，随横取出440，全部均悬虹■碟的檄率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。

22.投一佃六面骰子，出现偶数的械率=(1/2)。

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