向量的线性运算基础测试题及答案

向量的线性运算基础测试题及答案

一、选择题

1.下列说法中，正确的是（）

A.如果k=0,〃是非零向量，那么=0B.如果《是单位向量，那么《=1

C.如果I/?|=|〃|,那么Z?=a或8D.已知非零向量如果向量〃=・5〃，

那么a〃b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量的性质一一判断即可.

【详解】

解：4、如果k=0,a是丰零向量，那么kq=0,错误，应该是k〃=0.

8、如果.是单位向量，那么e=l，错误.应该是H=L

C、如果1〃1一lai，那么〃一a或〃--a，错误.模相等的向量，不一定平行.

D、已知非零向量〃，如果向量/?=-5〃，那么〃〃/?，正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.

2.已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为3、方、Z，则向量

彷等于()

A.a+b+cB.a-b^cC.a^b-cD.a^c

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论.

【详解】

如图，

OA=a^OB=K,OC=c>则

OD=OA+AD=OA+BC=OA4-OC-OB=a-h+c

故选B.

【点睛】

此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.

3.DABCD中，前-访+而等于（）

A.~BCB.~DAC.ABD.AC

【答案】A

【解析】

【分析】

在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要

么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零

向量，得到结果.

【详解】

;在平行四边形ABCD中，灰与瓦（是一对相反向量，

.*.FCCD+F3=FC-F4+~BA=~BCf

故选A.

【点睛】

此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出式与瓦？是•对相反向量.

4.在四边形ABCD中，AB=a+2h,~BC=-4a-h,CD=-5a-3b,其中Z与方不共线，

则四边形ABCD是（）

A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算法则求出而=-82-2万，利用向量共线的充要条件判断出彷〃前，得到

边AD〃BC,AD=2BC,据梯形的定义得到选项.

【详解】

解：*^AD=AB+JC+CD=a+2b+-4a-b+-Sa-3b=-8a-2b

BC=-4a-b,

：-~AD=2BC,

，AD〃BC,AD=2BC.

••・四边形ABCD为梯形.

【点睛】

本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定

义.

5,若非零向量左端足I1石I=I5I.则（

A.I2b|>Ia-2hIB.I2bI<Ia-2bI

C.I2a|>|2a-hID.I2aI<I2a-hI

【答案】A

【解析】

【分析】

对非零向量次石共线与否分类讨论，当两向量共线，则有征=2乐即可确定A、C满足；

当两向量不共线，构造三角形，从而排除C,进而解答不题.

【详解】

解：若两向量共线，则由于良石是非零向量，且区-用=|引，则必有征=2万：代入可知

只有A、C满足；

若两向量不共线，注意到向策模的几何意义，

故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC；

令"？=Z，OB=b,则瓦J=Z-方，

:.CA=a-2b且Ia-b\=\b\；

又BA+BC>ACA\a-h\+\b\>\a-2h\

：.\2b\>\a-2t\.

故选A.

【点睛】

本题考查了非零向量的模，针对向最是否共线和构造三用形是解答本题的关键.

6.在△4BC中，已知。是48边上一点，AD=2DB,CD=-CA+ACB，则入=（）

3

2112

A.-B.-C.——D.——

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

根据A,B,D三点共线得出入的值，即可完成解答.

【详解】

解：在AABC中，已知D是AB边上一点，若同=2丽，CD=-CA+

3

_、_u2_xk2_,_,1_x2_

则说=CA+AD=CA+-AB=CA+­（CB-CA）=-CA+F，

3333

2

***A=—»故选A.

3

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.

7.下列命题中，真命题的个数为（）

①㈤+|K|=|片+用=不与方方向相同②㈤+1同=I片-用=不与方方向相反

（3）|a+h\=|Z-方与石有相等的模④|a|-向=|a-8与方方向相同

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.

【详解】

解:对于①，若|日|+|E|=|片+用=不与方.则£与方方向相同，①正确：

对于②，若㈤+|万|=-引oZ与方,则Z与石方向相反,②正确;

对于③，若区+同=区-同o征与近则Z与石方向相反.但很与方的模不一定，③错诙；

对于④，若同-|b|=|a-与加则-网=|。-可能推出Z与万的方向相同，但

Z与万的方向相同，得到|网-网|=|。-川④错误.

所以正确命题的个数是2个，故选:C.

【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.

8.已知［=3,|可=2,而且。和“的方向相反，那么下列结论中正确的是（）

A-3a=2bB.2a=3bc-3a=-2bD*2a=-3b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据同=3,网=2,而且•.•七,巧6冗和〃的方向相反，可得两者的关系，即可求解.

【详解】

,・,同=3,忖=2,而且・・,石,“2£2和。的方向相反

3,

••ci=­b

2

故选D.

【点睛】

本题考杳的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.

9.D、E、F分别是ZkABC三边AB、BC、CA的中点，则二列等式不成立的是（）

A.FD+D4=F^B.FD+DE+£F=O

C.~DE+~DA=ECD.~DA+^E=~DF

【答案】C

【解析】

【分析】

由加法的二角形法则化简求解即可.

【详解】

由加法的三角形法则可得，

F^D4=FA

F^DE+EF=O,

DE+~DA=~EC,

~DA^DE=~DF

故选：B.

【点睛】

此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.

10.下列各式正确的是（）.

A.2（〃+/?）+c=2〃+力+dB.3（a+b）+3（b—a）=0

C.AB+BA=2ABD.a+b+3a-5b=4a-4b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量计算法则依次判断即可.

【详解】

A、2（«+/?）+c=2tz+2/7+c,故A选项错误；

B、3（〃+〃）+3（/?—々）=3〃+3人+3/?—3〃=6/7,故B选项错误；

milUU1

c、48+氏4=0，故c选项错误；

D、a+h+3a-5h=4a-4h»故D选项正确；

故选D.

【点睛】

本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.

11.已知《是一个单位向量，〃、力是非零向量，那么下列等式正确的是（）

111,

A.同6=4B.|e|Z?=/?C一〃二eDd=

同RT

【答案】B

【解析】

【分析】

长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于I个单位长度的向量

叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解.

【详解】

A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误：

B.符合向量的长度及方向，正确；

C.得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

12.如图，在平行四边形ABCD中，如果从3=〃，AD=b，那么〃+〃等于（）

A.BDB.ACC.DBD.CA

【答案】B

【解析】

【分析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC,AD〃BC,则可得8C=匕，然后由三角形法

则，即可求得答案.

【详解】

解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD=BC,AD〃BC,

,**AD=b，

工BC=b，

'：AB=cb

a+b=AB+BC=AC.

故选B.

13.下列说法正确的是（）

ii

A.a+（-6/）=0B.如果Q和b都是单位向量，那么

-1一

c.如果二出那么〃=/?D.a=--b（%为非零向量），那么

a//b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.

【详解】

解：A、：+（二）等于。向量，而不是0,故A选项错误；

B、如果〃和。都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B选项错

误；

C、如果说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C选项错误；

D、如果。（〃为非零向量）,可得到两个向量是共线向量，可得到Q///7,故D

选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注

意向是:的加减结果都是一个向展.

14.在矩形A8CO中，下列结论中正确的是（）

-----------------------5-£）

----------------

A.AB=CDB.AC=BDC.卜1。。

D.BO=-OD

【答案】C

【解析】

【分析】

根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可.

【详解】

相等向量：长度相等且方向相同的两个向量.

A.AB=—CD，故该选项错误；

B.AC=BD,但方向不同，故该选项错误；

C.根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以,=故该选项正确;

D.BO=OD'故该选项错误；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键.

15.在下列关于向量的等式中，正确的是（）

A.AB=BC+CAB.AB=BC-ACC.AB=CA-BC

D.AB+BC+CA=O

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算逐项判断即可.

【详解】

AB=AC+CB^故A选项错误：

AB=AC-BC^故B、C选项错误；

AB+BC+CA=O^故D选正确.

故选：D.

【点睛】

本题考杳向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.

16.己知〃，为非零向呈，如果/?=・5〃，那么向量4与匕的方向关系是（）

A.。〃6，并且4和b方向一致B.〃〃b，并且4和b方向相反

C.。和力方向互相垂直D.。和力之间夹角的正切值为5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行向量的性质解决问题即可.

【详解】

•・•已知〃，b为非零向量：如果〃=-5〃，

・•・〃〃8，4与〃的方向相反，

故选：B.

【点睛】

本题考杳了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关健.

17.已知非零向量a、b，且有a=-2人下列说法中，不正确的是（）

A.|a|=2|〃|；B.“〃〃；C.〃与〃方向相反；D.。+28=（）.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行向量以及模的知识求解即可.

【详解】

Z：。=一»，表明向量〃与-2/?是同一方向上相同的向量，自然模也相等，工

\a\=2\b\,该选项不符合题意错误；

B.Va=-2b^表明向量4与-2〃是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然

-2。与b方向相反，但还是相互平行，・•・〃〃〃，该选项不符合题意错误；

C.・・・4=-2匕，而-2〃与力方向相反，与b的方向相反，该选项不符合题意错误；

D.•・•()只表示数量，不表示方向，而〃+2匕是两个矢量相加是带方向的，应该是

该选项符合题意正确；

“十乙42—

故选：D

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本知识.

18.已知非零向量〃、6和C，下列条件中，不能判定4IS的是()

A.a=-2bB.a=c，b=3c

C.a+2b=c，a-b=-cD.a=2b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法

求

【详解】

Na=-2b，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；

B、a=c,b=3c»则〃〃/?〃c,故本选项错炭；

C、由已知条件知£=一力，—3"C，则4〃Z;〃c，改本选项错误；

D、忖二2忖只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，々与力不一定平

行，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键.

19.设小，〃为实数，那么下列结论中错误的是(