同济大学(高等数学)-第四篇-无穷级数

第四篇无穷级数

第七章无穷级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是探讨函数的性质及进

行数值计算方面的重要工具.本章首先探讨常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基

本内容，然后探讨函数项级数，着重探讨如何为将函数绽开成哥级数和三角级数的问题，最

终介绍工程中常用的傅里升级数.

第1节常数项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

则由这数列构成的表达式

U

%+%----,t+…

叫做（常数项）无穷级数,简称（常数项）级数，记为£〃“，即

?|=1

0C

M,I=W|+W2+M3+•••+«„+•••,

n=\

其中第〃项〃〃叫做级数的一般项.

作级数的前〃项和

n=\

n

%=2勺="|+盯+〃3+.一+4

称为级数〃的部分和.当n依次取1,2,3…时，它们构成•个新的数列

II=\

S[=〃l，=M）++w,...»

s2u2,s3=u}+u23

=W]

sn+u2+...+un,...

依据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义假如级数£勺的部分和数列⑶}有极限S,即lim跖产s,则称无穷级数

n=\»=1

收敛，这时极限S叫做这级数的和，并写成

$=%+〃2+〃3+,,,+〃〃+,••；

n=1

假如｛.%｝没有极限，则称无穷级数£〃〃发散.

当级数£〃〃收敛时，其部分和1是级数£〃〃的和$的近似值，它们之间的差值

"=1M=1

乙=5_$“=〃,向+〃“+2+…

叫做级数£劭的余项.

，:=1

例1探讨等比级数（几何级数）的〃（。工0）的敛散件.

〃=0

解假如4工1,则部分和

2»,,ia-aqnaaq

s.=a+aq-}-aqz+•••+aqn1=—~—=--------p—

\-q\-q\-q

当回＜1时，因为1加5〃二:，所以此时级数£的〃收敛，其和为产

〃…\-q“=o\-q

当＞1时，因为所以此时级数faq”发散.

〃f°n=0

假如|同=1,则当q=I时，5„=naf8,因此级数faq"发散;

/»=0

当q=T时，级数faq〃成为

M=D

a—a+a—〃+•••,

因为与随着〃为奇数或偶数而等于•。或零，所以、的极限不存在，从而这时级数

faq”发散.

〃=0

综上所述，假如|“＜1,则级数收敛，其和为产-；假如021,则级数£的〃

〃=o、-q〃=o

2

发散.

例2判别无穷级数£ln(l+,)的收敛性.

解由于

w„=ln(l+—)=ln(〃+1)-In〃，

n

因此

sn=(In2-In1)+(ln3-In2)4-(ln4-ln3)+…+(ln(〃+1)-Inn)=ln(n+1),

而limSn=oo,故该级数发散.

例3判别无穷级数£丁」的收敛性.

解因为

“n(n+V)nn-\-\

所以

_L^J_+J_+,1

1-22-33-4/?(/?+1)

从而

limsn=lim(1——^)=1,

所以这级数收敛，它的和是I.

1.2收敛级数的基本性质

依据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.

性质1假如级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数女所得的级数£>/也

〃=ln=\

收敛，且其和为米.

0000

证明设与£猫〃的部分和分别为s”与明，则

n=l/:=1

lim<y=lim(k%+左助+…k%)=klim(州+w+---uj=klims=ks,

/I—KOn〃一>8〃一>82n—>00n

这表明级数收敛，且和为依.

〃=i

3

性质2假如级数£〃〃、分别收敛于和s、b.则级数£(即士乙)也收敛，且其和

n=l«=1n=\

为S±b.

证明假如£〃“、£%、之(〃〃士匕)的部分和分别为%、％，则

/r=1n=in=\

limr,=iim[(与土4)+(9±v)+•••+(«,,±v,)]

H-XX)〃一＞82z

=lim[(w)+u+•一+〃〃)±(,+为+•,•+%)]

〃一＞82

=lim(%±cr)=5±(7.

〃一KO/J

性质3在级数中去掉、加上或变更有限项，不会变更级数的收敛性.

比如'级数*+*+++…+看+…是收敛的；

合+…也是收敛的;

级数10000+工+工+工卜…十

1-22-33/

级数十十4扁T..也是收敛的.

性质4假如级数£〃“收敛，则对这级数的项随意加括号后所成的级数仍收敛，且其和

n=\

不变.

应留意的问题：假如加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛

.例如，级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零,但级数1-1+1T+•一却是发散的.

推论假如加恬号后所成的级数发散，则原来级数也发散.

性质5假如〃收敛，则它的一般项〃，趋于零，即lim〃“=0.

证明设级数Z〃〃的部分和为％,且lims〃=s,则

limu=lim(s〃-s〃_，=lims“一lims_=5-5=0.

〃一＞0n"一＞8n-＞CC"—＞8n}

注：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.

例6证明调和级数

…+_L+…

n

是发散的.

证明假如级数之,收敛且其和为s,s”是它的部分和.

“=|n

4

明显有iimsn=s及lims2n=s.于是lim(52n-sM)=0.

〃-〃一>8/1—>oc

但另一方面，

%f尸府+Q+…+乐句+石+…犷5

故lim(»〃—%)。0,冲突.这冲突说明级数必定发散.

〃f0“=|〃

习题74

1.写出下列级数的前四项:

⑴年(2)£(-1L1(〃-i)

«=1〃K=1〃+i

2.写出下列级数的一般项(通项)：

⑵《一

(1)十…

2483579

(3)1H--1---F-

357

3.依据级数收敛性的定义，推断下列级数的敛散性:

.TC.2TT.njr

(1)(2)sin—+sin—+…+sin----1•….

5T4J666

4.推断下列级数的敛散性:

工11111

⑴y—(2)-+—+-+•••4

占〃+33693〃

白n

(3)>-----(4)-2+2-2+2--«-+(-ir2+-«-.

占2〃+1

5

第2节常数项级数的收敛法则

2.1正项级数及其收敛法则

现在我们探讨各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数.

设级数

%+U-,+〃劣+，—+…（7-2-1）

是一个正项级数，它的部分和为力.明显，数列｛s.｝是一个单调增加数列，即：

s]<s2<•-<sn<…

假如数列｛s“｝有界，即与总不大于某一常数M，依据单调有界的数列必有极限的准则,

级数（7-2-1）必收敛于和$,且反之，假如正项级数（7-2-1）收敛于和s.依

据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列｛力｝有界.因此，有如下重要结论：

定理1正项级数£与收敛的充分必要条件是它的部分和数列｛与｝有界.

»=1

定理2（比较审敛法）设和如〃都是正项级数，且应0匕（〃=1,2,…）.若级数

/:=1/t=I

0000800

〃收敛，则级数2%收敛；反之，若级数发散，则级数Z%发散.

n=ln=ln=ln=\

证明设级数£%收敛于和。，则级数£〃〃的部分和

〃=|”=i

sn=w,+u2+u3+•••+u“<V]+v2H—vn<a（n=1,

即部分和数列kJ有界，由定理।知级数收敛.

”=i

反之，设级数£〃〃发散，则级数£与必发散.因为若级数收敛，由上已证明的

n=ln=\w=l

结论，将有级数£%也收敛，与假设冲突.

〃=1

co00co

推论设Z%和都是正项级数，假如级数2>〃收敛，且存在自然数M使当

〃=1n=\

6

00

时有〃〃<A%(A>0)成立，则级数收敛；假如级数Z%发散，且当〃2N时

有2kvn(k>0)成立，则级数£>〃发散.

n=l

例1探讨〃-级数

台M2P3〃4P

的收敛性，其中常数〃>0.

解设“W1.这时而调和级数£工发散，由比较审敛法知，当时级数

p

nnn=]n

々土已I发散・

设〃>1.此时有

——dx=5=2,3,…).

nx〃-尸np-[

对于级数方11

〃—一I,其部分和

n=21(〃-1尸〃

111

++­••+

np-l(n+\y-x)

]、=1.所以级数身(——1

因为lims=lim1收敛.从而依据比较

5+1尸)

审敛法的推论1可知，级数£二当〃>1时收敛.

〃=|〃'

综上所述,/7-级数£工当〃〉1时收敛，当〃41时发散.

n=l东

例2证明级数火7J=■是发散的.

〃=【J〃S+1)

I-----1---------><1而级数£

证明因为±H+枭•.•+占+…是发散

“(〃+l)J(〃+l)2〃+ln=l

7

的，依据比较审敛法可知所给级数也是发散的.

定理3（比较审敛法的极限形式）

设£〃〃和£匕都是正项级数，假如lim"=/（0</<+8）,则级数£册和级数

〃一＞8

n/l=l

£%同时收敛或同时发散.

n=l

证明由极限的定义可知，对£二方/,存在自然数N,当〃〉N时，有不等式

吗//<〃“<沙”.

再依据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.

例3列别级数自sin上的收敛性.

〃=】〃

.1

sin—g]8]

解因为lim--^-=1,而级数发散，依据比较审敛法的极限形式，级数Zsin^

…1〃=i〃

n

发散.

用比较审敛法审敛时，须要适当地选取一个已知其收敛性的级数£也作为比较的基准.

“=l

最常选用做基准级数的是等比级数和p-级数.

定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）若正项级数的后项与前项之比值的极限等

4=1

于夕,即

lim!^-=p

“foeUn

则当0Vl时级数收敛;当0>1（或lim皿=8）时级数发散；当0=1时级数可能收敛也

n-^c,

可能发散.

例4判别级数次■!"收敛性.

“=i〃！

解因为

8

1

..W„|..(/?+!)!..1八1

hm—+=lim------=hm----=0<1,

〃->x〃rt->81〃-+[

ft_

n\

依据比值审敛法可知，所给级数收敛.

例5判别级数Z—的收敛性・

n=l3'

解因为

5+1)!

..〃〃+|].3n+,.•〃+1

lim—i―=lim^―--=hm----=+8,,

〃n—><x)〃！n-xc3

〃3，

依据比值审敛法可知，所给级数发散.

定理5(根值审敛法，柯西判别法)

设身〃〃是正项级数，假如它的一般项〃”的〃次根的极限等于夕，即

“=1

limn=「，

o

则当夕<1时级数收敛；当夕>1(或lim酝'=”)时级数发散；当夕=1时级数可能收敛

n->x>

也可能发散.

定理6(极限审敛法)设£〃〃为正项级数，

n=l

00

(1)假如limnu=/>0(或limnu=+oo),则级数z〃〃发散:

"TOOnn

〃=1

=/(0</<+oo),则级数£〃〃收敛.

(2)假如〃>1,而

n—>oo

"=1

(1)在极限形式的比较审敛法中，取匕=1,由调和级数反L发散，知结论成

证明

nn

立.

18I

(2)在极限形式的比较审敛法中，取味=下，当〃>1时，P-级数£下收敛,

〃“=|〃

故结论成立.

例6判定级数£ln(l+l)的收敛性.

9

解因心（1+」7）~45—+00）,故

n~n~

22

limnutl-limnln（l+，■）-Hm/,

X〃-r->00〃-

依据极限审敛法，知所给级数收敛.

2.2交织级数及其审敛法则

下列形式的级数

%-u2+-uA•••,

称为交织级数.交织级数的一般形式为其中〃”>0.

〃=|

定理7（莱布尼茨定理）假如交织级数〃"满意条件：

/1=|

（1）哈〃5=1,2,3,…）；

（2）limu=0,

n—>oon

则级数收敛，且其和sW%,其余项乙的确定值上;J

证明设前〃项部分和为s“，由

=（见一〃，）+（%一%）+…（孙”_1一〃）”），

及

■〃二%一（％一43）十（％一％）+…（〃2-2一“2,1）一”2“，

看出数列｛$2〃｝单调增加且有界（§2.4小）,所以收敛.

）SU

设S2nfS（〃T°°，则也有$2〃+1=2n+2n+\$（〃­>°°），所以力-一°°），

从而级数是收敛的，且£<〃「

因为匕|一%+z+…।也是收敛的交织级数，所以%K”…

2.3确定收敛与条件收敛

对于一般的级数：

141+〃2+…+〃“+…，

10

若级数收敛，则称级数确定收敛；若级数名〃“收敛，而级数发

〃=1n=l/i=l/i=l

散，则称级数z册条件收敛.

n=I

级数确定收敛与级数收敛有如下关系:

008

定理8假如级数X%确定收敛，则级数Z〃〃必定收敛•

〃=1/1=1

证明令

匕,二”。+同）（〃=12…）.

明显u.20且匕（〃=1,2「・）.因级数\|〃』收敛，故由比较审敛法知道，级

n=l

数£>“，从而级数豆2乙也收敛.而〃〃=2匕，由收敛级数的基本性质可知;

”=1〃=i

000000

£以=力匕一力J,

w=ln=lzi=l

所以级数z%收敛,

n=l

定理8表明，对于一股的级数£%,假如我们用正项级数的审敛法判定级数收

71=I”=1

敛，则此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判

定问题.

一般来说，假如级数发散，我们不能断定级数也发散.但是，假如我们用

W=1〃=1

0000

比值法或极值法判定级数发散，则我们可以断定级数2储必定发散.这是因为，此

/|=|〃=|

时1叫不趋向于零，从而〃”也不趋向于零，因此级数Z/也是发散的.

n=l

oc•

例7判别级数Z则半的收敛性.

〃=1«

解因为।反华区17,而级数£二是收敛的，所以级数£i典当也收敛，从而级数

n-n-H=i〃-〃=i'厂

II

与¥确定收敛.

例8判别级数（。为常数）的收敛性.

n=l〃

解因为

I-LkT〃3/〃

(〃一＞8),

|Wn|同"(〃+l)31〃+1

所以当。=±1时，级数£用「均收敛；当时时，级数£冬确定收敛；当时>1

n=l〃〃=1〃

级数支（发散.

时,

习题7・2

1.用比较审敛法判定下列级数的收敛性：

8181

（1）y―；—；（2）y-------------

£2r+1占（〃+1）（〃+2）

⑶；（4）isiV;

n=lV〃+1n=\乙

（5）y—（«>o）.

£1+。”

2.用比值审敛法判定下列级数的敛散性：

（1）y一；（2）y—；

(4)白Z〃tan尹兀

⑶以"n=\乙

3.判定下列级数的敛散性:

0

⑴⑵；

n=lN

(3)工2"sin

n=i

12

4.判定下列级数是否收敛？若收敛，是确定收敛还是条件收敛？

产1"1

（1）£（-1）-+,-=；石㈠严E

n=lVW

②I

（3）y（-l）M-,sin-;（4）

n=l〃

13

第3节塞级数

3.1函数项级数的概念

给定一个定义在区间/上的函数列｛〃“（灯｝,由这函数列构成的表达式

%（X）+〃2*）+〃3。）+…+（X）+…，

称为定义在区间/上的（函数项）级数，记为£>“（1）.

«=1

对于区间/内的确定点看,若常数项级数为〃（/）收敛，则称点/是级数£>〃a）的

«=1〃=i

收敛点.若常数项级数£〃.（.%）发散，则称点勺是级数£>〃（用的发散点.

«=1«=1

函数项级数的全部收敛点的全体称为它的收敛域，全部发散点的全体称为它

«=i

的发散域.

在收敛域上，函数项级数之〃“（X）的和是X的函数5（x）,S（X）称为函数项级数

«=1

的和函数.并写成s（x）二才“〃（九）.函数项级数Z〃〃（x）的前〃项的部分和记作

n=\"=1

%。），即

S〃（x）=«1（X）+〃2（X）+〃3（X）+…+Un（X）•

在收敛域上有lims“（x）=5（X）.

〃一>00

函数项级数£册（X）的和函数s（x）与部分和s“⑴的差

M=1

/a）=s（x）-s〃（x）

叫做函数项级数£〃〃（x）的余项.并有limz;,U）=0.

14

3.2塞级数及其收敛性

函数项级数中简洁而常见的一类级数就是各项都是幕函数的函数项级数，这种形式的

级数称为塞级数，它的形式是

2H

£〃“工”=4。+axx+a2x+•••+anx+…，

n=fl

其中常数为,4，。2,…/〃，…叫做幕级数的系数.

00

定理1（阿贝尔定理）对于级数Z/X"，当/=%（/羊0）时收敛，则适合不等式

/i=0

ko|的一切工使这某级数确定收敛.反之，假如级数当工=尤0时发散，则适合

〃=0

不等式国>闻的一切工使这塞级数发散.

证先设与是暴级数£>,rx”的收敛点，即级数收敛.依据级数收敛的必要

〃=0〃=0

条件，有lim《X=0,于是存在一个常数"，使

<M（〃=1,2,…）.

这样级数£>,/〃的的一般项的确定值

n=0

ynxX

IHa鬲•-HcinxQ|•|—r<M'\—.

%%%0

因为当N<k°l时，等比级数土r收敛，所以级数£I%X”I收敛，也就是级数

〃=0克on=0

力。X确定收敛.

〃二0

定理的其次部分可用反证法证明.

倘如呆级数当x=x0时发散而有一点X1适合㈤>同使级数收敛，则依据本定理的

第一部分，级数当x=x0时应收敛，这与所设冲突.定理得证.

推论假如级数支%/不是仅在点x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛,

rr=O

15

则必有一个完全确定的正数A存在，使得

当NvR时，基级数确定收敛；

当N>R时，基级数发散；

当x=H与x=时，塞级数可能收敛也可能发散.

正数R通常叫做事级数的收敛半径.开区间(-凡R)叫做哥级数£为/的

〃=0〃=0

收敛区间.再由事级数在x=±R处的收敛性就可以确定它的收敛域.塞级数£4工〃的收

n=0

敛域是(—R,R)或［-凡A)、(一域用、［一R,H］之一.

若暴级数只在茫=0收敛,则规定收敛半径H=0,若—级数£勺》对一

n=0w=0

切X都收敛，则规定收敛半径R=+8,这时收敛域为(-8,+8).

定理2假如lim|4包上夕，其中%、区用是哥级数的相邻两项的系数，则这

哥级数的收敛半径

+00p=0

°工0

0p=+co

证明

〃/+1n

lim|〃+1•lim\^-\\x\=p\x\.

"->8q/勿"->8an

(1)假如0v/?<+8,则只当用<1时哥级数收敛，故R*

(2)假如夕=0,则幕级数总是收敛的，故R=+8.

(3)假如夕=+8,见只当x=0时哥级数收敛，故R=0.

例1求塞级数£4的收敛半径与收敛域•

n=l〃~

解因为

4+1=In-n",=],

p—lim

n»8“尔（〃+1）.

16

所以收敛半径为R=，=i.即收敛区间为(一1,1).

P

(+11”100I8/

当工=±1时，有二一=二，由于级数£二收敛，所以级数£三在％=±1时也

n~n~占〃“£，广

收敛.因此，收敛域为

例2求哥级数

y*—xn=1+X+^-X2+^7A34-•••4-J-.V*+•••

£m2!3!n!

的收敛域.

解因为

p=lim|3=lim攵世=lim—^-=0,

〃->coan，T8〃_>/（〃+］）!

n!

所以收敛半径为R=+8,从而收敛域为(-8,+8).

例3求暴级数的收敛半径.

〃二0

解因为

..4+i।(H+1)!

p=hm|—^|=lim--■—=+oo,

8an〃f»〃！

所以收敛半径为A=0,即级数仅在x=()处收敛.

例4求幕级数£粤/”的收敛半径.

£(〃!)2

解级数缺少奇次幕的项，定理2不能应用.可依据比值审敛法来求收敛半径：

辕级数的一般项记为〃〃(工)=舞/〃因为

(〃!)-

11ml七甲|=4国2,

〃-8Un(x)

当4司<1即凶苗时级数收敛；当4M>1即凶弓时级数发散，所以收敛半径为

17

3.3幕级数的运算

设哥级数£>〃炉及石4/〃分别在区间（-凡R）及（-R',*）内收敛，则在（-R,R）与

n=0n=0

（-/?；*）中较小的区间内有

nn

加法：^anx+%/〃=£(%+bn)x.

n=0n=0n=0

减法：为-E"x〃=Z(4-d)门•

〃=0〃=0;:=0

800

乘法：（Z/x">（lAx"）=岫）+（《）4+4瓦）工+（《仇+4，+生4））/+―,

n=0n=0

+（4瓦+^T+…+a,Mxn+….

«*、+a0+a,x+a-,x~-\----Faxn+…?„

除法：----!-----J---------------=c+c.x+c^x+…+ex+….

%+如+城+…+3”+…a

关于箱级数的和函数有下列重要性质：

性质1辕级数£乐加的和函数s（x）在其收敛域/上连续.

n=0

性质2幕级数丑册中的和函数s（x）在其收敛域/上可积，并且有逐项积分公式

〃二0

3劝心=£（孕："）心=型^/依=专备炉+1（XW/）,

逐项积分后所得到的塞级数和原级数有相同的收敛半径.

性质3鬲级数的和函数5。）在其收敛区间（一凡/?）内可导，并且有逐项求导公

n=0

式

s'（x）=（ZaX）'=E（a/〃）'=Z〃犷t《乂<R）,

"-0A?-0/I-I

逐项求导后所得到的塞级数和原级数有相同的收敛半径.

例6求寡级数£一1炉的和函数.

〃=0"+1

解求得幕级数的收敛域为［-1,1）.设和函数为s（x）,即

18

co1

明显s(0)=l.在XS(X)=£」7X〃+I的两边求导得:

”=0〃+1

(邓(幻，)=8£，扁1尸、=£00x"==1.

对上式从0到X积分，得

xv(x)=^y^tr=-ln(l-x).

于是，当xwO时，有s(x)=—!ln(l-x).从而

x

—In(l—x)xG[-1,0)<J(0,1),

s(x)=X

1x=0,

提示：应用公式夕F\x)dx=F(x)-F(0),即F(x)=/(0)+£F\x)dx.

----=1+X+x~+x，+…+xn+,,,.

\-x

习题7・3

1.求下列暴级数的收敛区间

8

(I)之办(2)

rr=1

yU+2foo2n+l

(3)(4)y(-ir--

4小2"£r2〃+i

8-5)〃82”

(5)E(6)E

n1+1

/r=ln=i

8℃yU-5)7

(7)(8)4册

2.利用逐项求导法或逐项积分法,求下列级数的和函数

℃2n-I

（i）£2尔1w〈i；⑵y^V—

n=\rr2/z-i

19

第4节函数绽开成嘉级数

4.1函数绽开成募级数

给定函数/（x）,要考虑它是否能在某个区间内“绽开成幕级数”，就是说，是否能找到

这样一个累级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数/（X）.假如能找到这样

的寤级数，我们就说，函数/（幻能绽开成幕级数，而该级数在收敛区间内就表达了函数

/3）.

假如/（1）在点/的某邻域内具有各阶导数

C〃（x）,…厂）⑴,•••，

则当〃-8时，/（X）在点/的泰勒多项式

P„M=/（殉）十八与）。-%）+^^。70）2+…6〃

成为哥级数

/（X。）+/'（%））（X-工0）+，；：。，（X_/）2+…J..）。—“。）〃+…

这一制级数称为函数/（4）的泰勒级数.

明显，当X=/时，/（犬）的泰勒级数收敛于/（•%）.

须要解决的问题：除了X=/外，/（X）的泰勒级数是否收敛假如收敛，它是否确定收

敛于fM

定理设函数/（X）在点与的某一邻域U（x0）内具有各阶导数，则/（X）在该邻域内能

绽开成泰勒级数的充分必要条件是/W的泰勒公式中的余项R,（x）当〃―8时的极限为

零，即

limR〃（x）=