高考数学二轮复习第二十章 概率与统计解答题策略（学生版）

第二十章概率与统计解答题策略知识梳理（一）涉及的概率知识层面主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的偏离程度，其算术平方根为随机变量的标准差．（1）离散型随机变量的分布列的性质=1\*GB3①；=2\*GB3②．（2）均值与方差的性质若，其中为常数，则也是随机变量，且（3）分布列的求法=1\*GB3①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．=2\*GB3②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．=3\*GB3③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．=4\*GB3④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型=1\*GB3①二项分布；=2\*GB3②超儿何分布．2、常见的连续型概率分布模型正态分布．（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力1、与数列结合的实际问题2、与函数导数结合的实际问题3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题4、与统计结合的实际问题5、与其他背景结合的实际问题

经典真题回顾1．（2024年北京高考数学真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？3．（2023年北京高考数学真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．(1)求，；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．7．（2022年新高考全国II卷数学真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．

考点一：求概率及随机变量的分布列与期望解题思路求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典例1-1】蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．(1)求顾客中奖的概率；(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．【典例1-2】随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．(1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率；(2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望．【变式1-1】年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会．(1)求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；(2)记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望．1．为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三（1）班利用课余时间开展一次投篮趣味比赛．已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为，且次投篮至少命中次的概率为．(1)求；(2)若甲同学连续投篮次，每次投进记分，未投进记分，记甲同学的总得分为，求的分布列和数学期望；(3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮次，设随机变量为投篮的次数，证明：．考点二：超几何分布与二项分布解题思路超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列．一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有．【典例2-1】高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）【典例2-2】在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.【变式2-1】某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长（小时）人数（人）34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求.高考预测1．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：123456甲252127272325乙182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.(1)估计甲队每局获胜的概率；(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）.考点三：概率与其它知识的交汇问题解题思路在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．【典例3-1】如图，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．

(1)若蚂蚁爬行5次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望．【典例3-2】在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.在维空间中，设点，定义维向量，数量积，为坐标原点，即.(1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点，求的概率；(2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量.（i）当时，若最大，求的值；（ii）求的分布列及期望值.【变式3-1】为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．高考预测1．在长方体中，已知，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点，用随机变量表示这两点之间的距离．（1）求随机变量的概率；（2）求随机变量的分布列.考点四：期望与方差的实际应用解题思路数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．【典例4-1】现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：方案一：投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率方案二：购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率(1)当时，求的值；(2)若要将万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．【典例4-2】某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有，，三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的，，三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的，，三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92.已知每个流程是否优秀相互独立.(1)求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率.(2)为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对，，三个流程进行赋分.当流程优秀时，赋30分，当流程不优秀时，赋0分；当流程优秀时，赋40分，当流程不优秀时，赋0分；当流程优秀时，赋50分，当流程不优秀时，赋0分.记甲生产线的，，流程的赋分分别为，，，乙生产线的，，流程的赋分分别为，，，计算与，并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀.【变式4-1】超轻黏土是一种集艺术性､趣味性､创造性于一体的手工造型材料.某小学为了丰富校园文化生活，举行了超轻黏土制作比赛活动.本次活动是在各班中选拔表现突出的学生，以班级为单位参加比赛.班级选拔共有6节课，每节课完成情况相互独立.每节课学生需独自完成3个动物作品与3个植物作品，若评优作品不少于5个，则将该学生评为“优秀制作人”.最后4节课中，被评为“优秀制作人”的次数不少于3次的学生将代表班级参加比赛.已知小章前2节课制作的作品中，有5个动物作品与4个植物作品为评优作品.(1)从小章前2节课制作的作品中随机抽取3个动物作品与3个植物作品，求其中至少有5个作品为评优作品的概率.(2)若小章经过课后练习水平有所提高，最后4节课每节课动物作品与植物作品为评优作品的概率分别为，且，以最后4节课中小章被评为“优秀制作人”的次数的数学期望为依据，试预测小章是否能代表班级参加比赛.高考预测1．组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y．若将100万资金按进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足，其中．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.(1)若，，求Z的期望与方差；(2)已知随机变量X满足分布列：X…………随机变量Y满足分布列：Y…………且随机变量X与Y相互独立，即，，．求证：；(3)若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目是低风险资产，满足．试问能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．考点五：正态分布与标准正态分布解题思路解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为【典例5-1】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为．(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；(2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望．(3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，【典例5-2】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名.(1)求的值．（结果保留位整数）(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数）(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：①当时，令，则．②当，，，，．【变式5-1】某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）．(1)利用正态分布的知识求．(2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案．方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费．（ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为获赠的随机话费/元50100概率方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券．参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案．①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望．②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策．（附：若，则，，）高考预测高考预测1．2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.(1)令，则，且，求，并证明：；(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.参考数据：，则，，.考点六：统计图表及数字特征解题思路1、制作频率分布直方图的步骤．第一步：求极差，决定组数和组距，组距第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；第四步：画频率分布直方图．2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．【典例6-1】为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图：(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）；(2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立．（ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点；（ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值．【典例6-2】睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动：*12345678910合计/人(3,4］10121001006(4,5］8786477454(5,6］812108171612131212(6,7］25252625222224232523240(7,8］667754567760(9,10］2211211202(1)小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的分位数（作图不要求写出过程）；(2)之后，小周同学收集了随机名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与；女生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与，请根据以上数据计算出这名同学的睡眠时长总方差.(3)睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般算合格.临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议.【变式6-1】某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）：10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日甲60656665676663乙57626362646360丙55606160626158(1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率；(2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望；(3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明）高考预测1．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．(1)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）(2)假设该厂计划用新设备全面投产，若生产一系列产品的指标数据不少于10.3即为质量优秀产品，以表中的频率估计概率，现从该厂生产的一批产品中随机抽取100件产品进行质量抽检，求抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望.考点七：线性回归与非线性回归分析解题思路线性回归分析的原理、方法和步骤：（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．【典例7-1】红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；252.964616842268850.470308(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？(2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，【典例7-2】随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为.年份代码中国健身器材市场规模(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）；(2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望.参考数据：其中，.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【变式7-1】某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示：编号12345678910身高164165170172173174176177179180体重57586565907075768084(1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测（ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；（ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；(2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）．参考公式及数据：样本相关系数，，，，．【变式7-2】某省级示范学校高三的一次考试后，为了调查学生们的偏科程度，在实验班随机抽取8名同学，比较物理成绩x与数学成绩y，得到下表（单位：分）：学生号12345678x98848794819185100y135124113125116120132135(1)求出y关于x的回归方程（精确到0.01）；(2)若相关系数r满足，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系，计算这8名学生的物理成绩和数学成绩是否具有较强的线性相关关系？（附：，，，，，相关系数）高考预测1．习近平总书记指出：要完整、准确、全面贯彻新发展理念，加快构建新发展格局，着力推动高质量发展.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一组的5名员工采取如下考核制度：在本季度末，由部门其他人对这5名员工进行投票，并统计5名员工本季度创造的营业收入.现将这5名员工所得票数x与本季度创造的营业收入单位：千元用数对表示：，，，，(1)求x与y的相关系数(2)若将本季度创造的营业收入最少的员工移除出组，请根据该小组剩余人员的数据求y关于x的线性回归方程.参考公式：①相关系数②在利用最小二乘法求得的线性回归方程的中，，参考数据：，，，，考点八：独立性检验解题思路解独立性检验应用问题的注意事项．（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题．（2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．【典例8-1】“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史.古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵.体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”.作为传统养生功法，对人体有着很多的益处.为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于60岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的200位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表：类型年龄(岁)合计男性36111女性25合计200(1)补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于65岁有关联?(2)在这200位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于65岁的情况下，为女性老年人的概率.附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【典例8-2】新能源汽车越来越引起广大消费者的关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表：偏好石墨烯电池车偏好铅酸电池车合计中老年驾驶者200100年轻的驾驶者合计S00(1)根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关：(2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0．1000．0500．0250．0100．0050．0012．7063．8415．0246．6357．87910．828【变式8-1】随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下：(1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异?一级品非一级品合计甲乙合计(2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，.（i）求，；（ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品?附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828高考预测1．一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车合计女性居民150250400男性居民350250600合计5005001000(1)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异；(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率；(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828考点九：与体育比赛规则有关的概率问题解题思路1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“三局两胜制问题”“五局三胜制问题”“七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏”．3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布【典例9-1】某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围；(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.【典例9-2】甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮.(1)求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；(2)求甲同学比赛获胜的概率．．【变式9-1】一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为．(1)求；(2)求甲参赛总分X的分布列和数学期望．高考预测1．第19届杭州亚运会-电子竞技作为正式体育竞赛项目备受关注.已知某项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组.第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组.第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）；获胜队伍成为败者组第一名.第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军.假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问：

(1)若第一轮队伍和队伍对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？(2)已知队伍在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍获得亚军的概率.考点十：决策型问题解题思路求解决策型问题的求解流程为：第一步：先确定函数关系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根据期望进行最后的决策．【典例10-1】2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.(1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据：689101223456请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）；(2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围.【典例10-2】某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：销售量销售周期个数市场3吨4吨5吨甲343乙253(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．【变式10-1】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖．(1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差；(2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由．高考预测1．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．考点十一：递推型概率命题解题思路递推型概率命题，综合性较强，主要有以下类型：1、求通项公式：关键与找出概率或数学期望的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式.2、求和：主要与数列中的倒序求和错位求和、裂项求和.3、利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.【典例11-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为．(1)求和．(2)证明：为等比数列．(3)求的数学期望（用n表示）．【典例11-2】如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为.(1)求及的值：(2)求数列的前项和.【变式11-1】马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.(1)求的值；(2)求的值（用表示）；(3)求证：的数学期望为定值.【变式11-2】有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行．(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；(2)求从第个盒子中取到红球的概率；(3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：．高考预测1．如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作，，，，，，，，.一个机器人从区域出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.

(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域的概率；(3)求经过秒机器人位于区域的概率.考点十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式解题思路1、一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．2、全概率公式3、贝叶斯公式一般地，当且时，有【典例12-1】放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和.试解决一下问题：(1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；(2)若年某航班在该机场准点放行，