2025-2026学年福建省泉州市永春第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年福建省永春第一中学高一（下）期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2+i20261-iA.12 B.12i C.32.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，AB=8，O是该正五角星的中心，则OA⋅AE=A.-32

B.32

C.-64

3.如图，△ABO的斜二测直观图是△A'B'O'，其中O'A.1

B.2

C.4

D.84.已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为2π3，则圆锥的表面积是A.23π B.63π5.已知正三棱台ABC-A1B1C1上下底面边长分别为3、2A.20π B.55π3 6.某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点进行测量.如图，AC=20(单位：米)，点B为AC中点，兴趣小组组长小王在A，B，C三点正上方2米处的A1，B1，C1观察建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tanα=62，tanβ=2，tanγ=3，点D为点E在地面上的正投影，点D1为A.20 B.22 C.40 D.427.如图，矩形LMNK，LM=6，sin∠MLN=23，⊙E半径为1，且E为线段NK的中点，P为圆E上动点，设MPA.1

B.54

C.74

8.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积S=14(b2-ab)tanC，角C的平分线交A.3 B.4 C.5 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，△ABC是边长为23的等边三角形，O是△ABC的外接圆圆心，延长AO与BC交于点D，P是外接圆上一点，则A.|AP|的最大值为4

B.AB⋅DB=3

C.BO=13BA+23BD

D.当AP⋅AB取最大值时，A，D，P三点共线

10.已知△ABCA.若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形

B.若a>b，则cosA>cosB

C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

D.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F，G分别是CB，CD的中点，E在棱CC1上，满足CE=kCC1，A.当k=12时，AD1//平面EFG

B.当34<k<1时，过点A，F，E的平面截该正方体所得的截面为五边形

C.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆台的体积为289π，上底面半径为1，高与母线的比值为45，则该圆台的下底面半径为

13.若正四面体的表面积为3，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为6③该正四面体的体积为212④该正四面体的外接球表面积为314.在复平面上，复数2和2i所对应的点分别A、B，复数z1所对应的点在线段AB上移动，若|z1-z2|=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知i为虚数单位，z1，z2是x2+mx+n=0(m,n∈R,Δ=m2-4n<0)的两个根．

(1)设z1，z2满足方程z1+(1-16.(本小题15分)

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E，F分别是棱AA1，B1C1的中点，过D1，E，F三点的截面为α．

(1)作出截面α(保留作图痕迹)；

(2)设截面α与平面BB17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且MD1=18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，acosA=2b-ccosC．

(1)求角A；

(2)若D是线段BC的中点，且AD=1，求S19.(本小题17分)

定义：对于非零向量OM=(m,n)，若函数f(x)=msinx+ncosx，则称f(x)为向量OM的“伴生函数”，向量OM为函数f(x)的“源向量”．

(1)若函数g(x)=sin(x+α)的“源向量”为OM，且以O为圆心，|OM|为半径的圆内切于正△ABC(顶点C恰好在y轴的正半轴上)，求证：MA2+MB2+MC2为定值；

(2)已知向量OM=(2,0)为函数h(x

参考答案1.A

2.A

3.D

4.D

5.C

6.B

7.B

8.B

9.ABC

10.ACD

11.ABD

12.2

13.①③④

14.415.解：(1)i为虚数单位，z1，z2是x2+mx+n=0(m,n∈R,Δ=m2-4n<0)的两个根，

z1，z2满足方程z1+(1-i)z2=9+6i，

∵m，n∈R，Δ=m2-4n<0，

∴方程x2+mx+n=0的两个根z1，z2为共轭复数，

设z1=a+bi，z2=a-bi(a,b∈R)，

由韦达定理得z1+z16.解：(1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，

连接D1F并延长交A1B1的延长线于点O，连接EO交BB1于G，连接FG，

则四边形D1EGF是过D1，E，F三点的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面α，如图：

(2)(ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1/​/平面BCC1B1，

平面D1EGF∩平面ADD1A17.解：(1)证明：连接BE，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是D1C1，AB中点，

∴D1E//GB且D1E=GB，

则四边形D1GBE是平行四边形，

∴D1G//EB，EB⊂平面DBFE，D1G⊄平面DBFE，

∴D1G//平面DBFE，

(2)存在，且A1NA1B1=14，理由如下：

∵D1M=34D1A1，所以A1NA1B1=A1MA1D1=14，

∴MN//B1D1，而EF//B1D1

∴MN//EF，

由MN⊄平面18.解：(1)a=1，acosA=2b-ccosC，

根据正弦定理得：sinAcosA=2sinB-sinCcosC，化简得sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，

∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=2sinBcosA，

又A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)，∴sinB=2sinBcosA，

∵sinB>0，∴cosA=12，

∵A∈(0,π)，∴A=π3；

(2)由(1)及余弦定理得：a2=b219.(1)证明：因为函数g(x)=sin(x+α)=cosαsinx+sinαcosx，

所以其“源向量”